2023-2024 学年度第一学期初三年级练习 3
数学
2023.12
考 1. 本练习共三道大题 28 小题，共 6 页，满分 100 分。练习时间 120 分钟。
2. 在试卷和答题卡上准确填写姓名、学号。
生
3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
须 4. 在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字
知 笔作答。
5. 考试结束，将答题卡交回。
一、 单选题（每题 2 分，共 16分）
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
1
2．将抛物线 = ( + 3)2 4先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，那么平移后所
2
得新抛物线的表达式是（ ）．
1 1
A． = ( + 5)2 1 B． = ( + 5)2 + 1
2 2
1 1
C． = ( + 1)2 1 D． = ( + 1)2 + 1
2 2
3．如图，圆心角∠ = 100°，则∠ 的度数是（ ）
A．70° B．55° C．125° D．130°
4．利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案．右面图 2 中的图案可以由
图 1 中的基本图案以点 为旋转中心，顺时针（或逆时针）旋转角 ，依次
旋转若干次形成，则旋转角 的值不可能是（ ）
A．36° B．72° C．144° D．216°
5．已知点 ( 3, 1)， (1, 2)， (4, 3)在抛物线 = ( 2)
2 + 5上，则 1， 2， 3的大
小关系是（ ）
A． 1 < 2 < 3 B． 2 < 3 < 1 C． 1 < 3 < 2 D． 3 < 1 < 2
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6．如图， 是⊙ 的一条弦，点 C 是⊙ 上一动点，且∠ = 30°，
点 E，F 分别是 , 的中点，直线 与⊙ 交于 G，H 两点，若⊙ 的
半径是 4，则 + 的最大值是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．抛物线 = 2 + + 上，部分点的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表：
x …… ﹣1 0 1 2 3 ……
y …… 1 ﹣2 ﹣3 ﹣2 1 ……
则下列结论正确的有（ ）
① > 0；
② = 2；
③抛物线的对称轴为直线 x=1；
④方程 2 + + = 0的两个根满足 1 < 1 < 0，2 x2 3．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．下面三个问题中都有两个变量 y 与 x：
①小清去香山观赏红叶，他登顶所用的时间 与平均速度 x m/min；
②用绳子围成周长为10 的矩形，矩形的一边长 与它的面积 2；
③正方形边框的边长 x cm与面积 2；
其中，变量 y 与 x 之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可用如图所示
的函数图象表示的有（ ）
A．① B．② C．③ D．②③
二、填空题（每题 2分，共 16分）
9．方程 2 = 的解是 ．
4
10．一个扇形的弧长为 ，半径为 6，则此扇形的圆心角度数为 °，此扇形的面
3
积为 ．
11．如图， 是半径为 4 的⊙ 的弦， ⊥ 于点 ，交⊙ 于点 ，若
= 1，则弦 为 .
第 2 页，共 8 页
12．若关于 的一元二次方程 2 + + 2 = 0有两个不相等的实数根，则 的取值范围
是 ．
13．写出一个函数值有最大值，且最大值是 2 的二次函数解析式 ．
14．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A，B 的坐标分别是(2,0)，(3,3)，⊙ 是△
的外接圆，则点 M 的坐标为 ．
15．《九章算术》是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作之一．书中记载了一个
问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容圆半径几何？”译文：
“如图，今有直角三角形，勾（短直角边）长为 5 步，股（长直角
边）长为 12 步，问该直角三角形能容纳的圆（内切圆）的半径是
多少步？”根据题意，该直角三角形内切圆的半径为 步．
16．如图，在平面直角坐标系 中，直线 过点 ( 4,0)、 (0,4)，⊙ 的半径为 1（
为坐标原点），点 在直线 上，过点 作⊙ 的一条切线 PQ， 为切点，则切线长 PQ的
最小值为 ．
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三、解答题(本题共 68 分.第 17题-22题每小题 5 分，第 23-26题每题 6分，第 27-28题每
题 7分.）
17．解方程： 2 2 8 = 0.
18．求证：圆内接四边形的对角互补．
己知：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O．
求证：∠BAD+∠BCD = 180°
请根据上图中的辅助线，完成定理的证明过程.
证明：
19．如图，△ 内接于⊙ ， 是⊙ 的直径， ⊥ ，
垂足为 ，求证：∠ = ∠ ．
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20．在平面直角坐标系 中，抛物线 = ( 2)2 1经过
点(4,3)．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)在坐标系中画出该函数图象，并结合函数图象回答，当 y>0
时，x 的取值范围是_____________________．
21．已知关于 x 的一元二次方程 2 ( 4) + 3 = 0．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)若该方程恰有一个实数根为非负数，求 m 的取值范围．
22．已知：⊙ 和圆外一点 ，求作：过点 的⊙ 的切线．
作法：①连接 ；
1
②分别以 ， 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于 ， 两点，连接 ，交 于
2
点 ．
③以 为圆心， 长为半径作⊙ ，交⊙ 于点 ， ；
④作直线 ， ．
所以直线 ， 为⊙ 的切线．
(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接 ， ， ， ， ， ．
∵ = ， = ，
∴ 是线段 的垂直平分线（______）（填推理的依据）．
∴CP = CO ．
∵ 为⊙ 的直径， ， 在⊙ 上
∴ ∠ = ∠ = 90°（______）（填推理的依据）．
∴半径 ⊥ ，半径 ⊥ ．
∴直线 ， 为⊙ 的切线（______）（填推理的依据）．
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23．2021年公司某产品产量为5000件，公司规划到2024年底生产产品的产量达到16500
件. 经过两年, 到2023年底年产量达到了11250件，保持这样的增长率不变，到2024年底
是否能完成公司的五年规划？请计算说明．
24．如图， 是⊙ 的直径，直线 PQ经过⊙ 上的点 ， ⊥ 于点 ，交⊙ 于 ，
平分∠ ．
(1)求证：直线 PQ是⊙ 的切线；
(2)若 = 6， = 2，求 的长．
25．实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分．甲、乙两人分别进行了一次投
掷，从投掷到着陆的过程中，通过测量得到实心球的竖直高度 （单位： ）与水平距离
（单位： ）的相关数据信息，如下所示：
信息 1：甲投掷时，实心球的水平距离 x 与竖直高度 y 的几组数据如下：
水平距离 /m 0 2 4 6 8 10
竖直距离 /m 1.87 2.95 3.31 2.95 0.07
建立如图所示的平面直角坐标系，绘制图象如下：
信息 2：甲、乙两人投掷时，出手高度相同；
信息 3：乙投掷后，实心球的水平距离为3.5 时达到了竖直高度的最大值2.85 ．
根据以上信息，回答问题：
(1)直接写出甲投掷的实心球竖直高度的最大值_________
(2)求甲投掷的实心球运动轨迹所满足的函数关系；
(3)记甲实心球成绩为 1，乙实心球成绩为 2，则 1_________ 2（填“>”、“<”或“=”）．
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26．在平面直角坐标系 中， ( 21, 1)， ( 2, 2)是抛物线 = 2 +
2 1上任
意两点．
(1)求抛物线的顶点坐标（用含 m 的式子表示）；
(2)若 1 = 2， 2 = + 2，比较 1与 2的大小，并说明理由；
(3)若对于 1 ≤ 1 < 4， 2 = 4，都有 1 ≤ 2，直接写出 m 的取值范围．
27．如图，在△ABC 中， BAC = 90 ， AB = AC =1，延长 CB，并将射线 CB 绕点 C 逆时
针旋转 90°得到射线 l，D 为射线 l 上一动点，点 E 在线段 CB 的延长线上，且BE =CD ，
连接 DE，过点 A 作 AM ⊥ DE 于 M．
（1）依题意补全图 1，并用等式表示线段 DM 与 ME 之间的数量关系，并证明；
1
（2）取 BE 的中点 N，连接 AN，添加一个条件：CD 的长为_______，使得 AN = DE
2
成立，并证明．
A A
B B
C C
D
l l
图 1 备用图
第 7 页，共 8 页
28．在平面直角坐标系 xOy 中，⊙O 的半径为 2．点 P，Q 为⊙O 外两点，给出如下定义：
若⊙O 上存在点 M，N，使得以 P，Q，M，N 为顶点的四边形为矩形，则称点 P，Q
是⊙O 的“成对关联点”．
（1）如图，点 A，B，C，D 横、纵坐标都是整数．在点 B，C，D 中，与点 A 组成
⊙O 的“成对关联点”的点是 ；
y
6
5
4
A B
3
C
2
1
–6 –5 –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 6 x
–1
–2
–3
D
–4
–5
–6
（2）点 E (t, t )在第一象限，点 F 与点 E 关于 x 轴对称．若点 E，F 是⊙O 的“成
对关联点”，直接写出 t 的取值范围；
（3）点 G 在 y 轴上．若直线 y = 4 上存在点 H，使得点 G，H 是⊙O 的“成对关
联点”，直接写出点 G 的纵坐标 yG 的取值范围．
第 8 页，共 8 页2023-2024学年度第一学期初三年级数学练习3参考答案及评分标准
一、选择题（每题2分，共16分）
题号
1
3
4
6
>
8
答案
B
0
B
D
◇
二、填空题（每题2分，共16分）
9
10
11
12
x1=0,x2=1
40,4π
215
a<且a≠0
13
14
15
16
y=-x2+2(答案
(1,2)
2
V7
不唯一)
三、解答题
17.解：方法一：x2-2x-8=0
(x-4)(x+2)=0.
…3分
x-4=0或x+2=0」
X1=4,X2=-2:
…5分
方法二：x2-2x-8=0
移项，得x2-2x=8.
配方，得x2-2x+1=9
(x-1)2=9.
…3分
直接开平方，得x-1=±3.
x1=4,X2=-2:
…5分
方法三：x2-2x-8=0
a=1,b=-2,c=-8.
4=b2-4ac=(-2)2-4×1×(-8)=36>0.…1分
x=2生36=26
…3分
2×1
2
x1=4,x2=-2.
…5分
1
18.证明：作直径AE,连接BE,DE.…1分
D
,AE为⊙0直径
∴.∠ADE=∠ABE-90°
…2分
.∠DAE+∠DEA=90°，∠BAE+∠BEA=90°
B
C
∴.∠DAE+∠DEA+∠BAE+∠BEA=180
E
即∠DAB+∠DEB=180
…3分
,弧BD=弧BD
.∠DCB=∠DEB
…4分
.∠DAB+∠DCB=180
…5分
19.证明：，△ABC内接于⊙O,AE是⊙O的直径，AE⊥BC,
..BE CE
…2分
∴.∠BAE=∠CAE,
…4分
0B=0A,
.∠AB0=∠OAB,
.∠AB0=∠CAE.
…5分
20.(1),·抛物线y=a(x-2)2-1经过点(4,3)，
.4a-1=3,
…1分
解得：a=1
∴.该抛物线的表达式为y=(x-2)2-1.
…2分
(2)函数图象：略
…3分
范围：x<1或x>3
…5分
21.(1)解：.x2-(m-4)x+3-m=0,
.4=[-(m-4)]2-4(3-m)=m2-4m+4=(m-2)2≥0，…2分
∴.该方程总有两个实数根：
…3分
(2)解：x2-(m-4)x+3-m=0,
.(x+1)(x+3-m)=0,
解得，x1=-1,x2=m-3,
…4分
2
,该方程恰有一个实数根为非负数，
m-3≥0，解得，m≥3，
∴.m的取值范围为m≥3.
…5分
22、(1)解：如图，PA、PB即为所作，
…2分
M
B
(2)到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上…3分
直径所对的圆周角是直角
…4分
经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线是圆的切线
…5分
23.解：设2021年技术改造后增长率为x,
…1分
5000(1+x)2=11250,
…3分
解得：x=0.5或x=-2.5(不合题意，舍去)，
:2021年技术改造后每年的增长率为50%，
…4分
2024年产品产量为11250×(1+50%)=16875>16500.
…5分
答：保持这样的增长率，到2024年能完成公司的五年规划.
…6分
24.(1)解：连接0E,
…分
:AE平分∠BAC,
.∠BAE=∠EAC,
'A0=E0
·.∠OEA=OAE
∴∠OEA=∠EAC
÷OE II AC,
OE⊥PQ,
…2分
且OE为⊙0半径，
直线PQ是⊙O的切线：
…3分
3
