6.1幂函数小练习
一、单项选择题
1. 已知函数是幂函数，且当时，单调递增，则m的值为( )
A. 1 B. －1 C. 2或－1 D. 2
2. 已知幂函数的图象过点，则( )
A. B. 1 C. D. 2
3. 下列函数在区间上是严格增函数，且其图象关于y轴对称的是( )
A. B. C. D.
4. 有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1) 偶函数：(2) 值域是；(3) 在上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，
则他研究的函数是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
二、多项选择题
5.下列说法中，正确的是( )
A. 当时，的图象是一条直线
B. 幂函数的图象都经过点，
C. 幂函数的图象不可能出现在第四象限
D. 若幂函数在区间上单调递减，则
6. 如果幂函数的图象过点，则下列说法中正确的有( )
A. 且 B. 是偶函数
C. 是减函数 D. 的值域为
三、填空题
7. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线(如图)．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，交点分别为M，N，则________．
8. 幂函数的图象经过点，则________；满足的的值是________．
四、解答题
9. 已知幂函数．
(1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2) 若函数的图象经过点，试确定的值，并求满足的实数的取值范围．
10. 已知幂函数过点．
(1) 若，，判断与的大小关系，并证明；
(2) 求函数在区间上的值域．
参考答案
一、单项选择题
1. 已知函数是幂函数，且当时，单调递增，则m的值为( )
A. 1 B. －1 C. 2或－1 D. 2
【解析】由题意是幂函数，则，解得或.因为在上是增函数，当时，符合题意；当时，
，不符合题意，所以.故选D.
2. 已知幂函数的图象过点，则( )
A. B. 1 C. D. 2
【解析】因为是幂函数，所以.又因为函数的图象过点，所以，解得，所以.故选A.
3. 下列函数在区间上是严格增函数，且其图象关于y轴对称的是( )
A. B. C. D.
【解析】对于A，由知该函数是定义域在上的偶函数，且该函数在区间上为增函数，所以该函数在区间上为减函数，故A错误；对于B，由知该函数的定义域为，所以该函数为非奇非偶函数，故B错误；对于C，由知该函数是定义在上的偶函数．又该函数在区间上为减函数，则该函数在区间上为增函数，故C正确；对于D，由知该函数的定义域为，故函数为非奇非偶函数，故D错误．故选C.
4. 有四个幂函数：①；②；③；④.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：(1) 偶函数：(2) 值域是；(3) 在上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
【解析】对于①为奇函数，值域是，在上是减函数，故不符合；对于②为奇函数，值域为，在上是增函数，故不符合；对于③为奇函数，值域为，在上是增函数，故不符合；对于④，为偶函数，值域是，在上是增函数，故符合．故选D.
二、多项选择题
5.下列说法中，正确的是( )
A. 当时，的图象是一条直线
B. 幂函数的图象都经过点，
C. 幂函数的图象不可能出现在第四象限
D. 若幂函数在区间上单调递减，则
【解析】对于A，当时，的定义域为，所以函数的图象不是一条直线，故A不正确；对于B，由幂函数的性质可知幂函数图象一定经过，但不一定经过，如，故B不正确；对于C，由幂函数的性质可知，幂函数在第四象限没有图象，故C正确；对于D，若幂函数在区间上单调递减，此时，满足幂函数的性质，故D正确．故选CD.
6. 如果幂函数的图象过点，则下列说法中正确的有( )
A. 且 B. 是偶函数
C. 是减函数 D. 的值域为
【解析】因为为幂函数，所以.又过点，所以，解得，故A正确；所以，从而的定义域为，所以，所以为偶函数，故B正确；当时，单调递减，由偶函数性质知在上单调递增，故C错误；因为，所以，即的值域为，故D正确．故选ABD.
三、填空题
7. 幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一簇曲线(如图)．设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，交点分别为M，N，则________．
【解析】由条件知，，，所以，，所以，所以. 故答案为：1.
8. 幂函数的图象经过点，则________；满足的实数的值是________．
【解析】设(是常数)，则，解得，所以，所以.由，可得. 故答案为： .
四、解答题
9. 已知幂函数．
(1) 试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2) 若函数的图象经过点，试确定的值，并求满足的实数的取值范围．
【解析】(1) 因为，所以为偶数．令，，则，所以的定义域为，且在区间上为增函数．
(2) 由题意可得，所以，解得或(舍去)，所以
.由(1)知在定义域上为增函数，所以等价于，解得，所以实数的取值范围为.
10. 已知幂函数过点．
(1) 若，，判断与的大小关系，并证明；
(2) 求函数在区间上的值域．
【解析】(1) 因为幂函数过点，所以，解得，所以
.，理由如下：
因为，，
所以，
即，即.
(2) 由(1)得.
因为，则，故，
所以函数在区间上的值域为.
