04函数的概念及基本性质- 浙江省2023-2024学年高一上学期数学期末复习专题练习（人教版）
一、单选题
1．（2023上·浙江台州·高一统考期末）函数的定义域是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）下列哪组中的两个函数是同一函数（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
3．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022上·浙江温州·高一统考期末）已知函数，则是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．（2022上·浙江金华·高一浙江金华第一中学校联考期末）图（1）是某条公共汽车线路收支差额关于乘客量的图象，图（2） （3）是由于目前本条路线亏损，公司有关人员提出的两种扭亏为盈的建议，则下列说法错误的是（ ）
A．图（1）的点的实际意义为：当乘客量为0时，亏损1个单位
B．图（1）的射线上的点表示当乘客量小于3时将亏损，大于3时将盈利
C．图（2）的建议为降低成本而保持票价不变
D．图（3）的建议为降低成本的同时提高票价
6．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023上·浙江温州·高一统考期末）已知函数，其中，若，使得关于x的不等式成立，则正实数a的取值范围为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）已知， ，且，则（ ）
A．有最小值1 B．有最小值1
C．有最小值 D．有最小值
二、多选题
9．（2021上·浙江温州·高一统考期末）已知函数的值域是，则其定义域可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）已知函数，则（ ）
A． B．
C．定义域为时，值域为 D．值域为时，定义域为
11．（2023上·浙江台州·高一统考期末）已知，都是定义在上的增函数，则（ ）
A．函数一定是增函数 B．函数有可能是减函数
C．函数一定是增函数 D．函数有可能是减函数
12．（2023上·浙江杭州·高一校考期末）已知函数，若存在实数m，使得对于任意的，都有，则称函数有下界，m为其一个下界，类似的，若存在实数M，使得对于任意的，都有，则称函数有上界，M为其一个上界．若函数既有上界，又有下界，则称该函数为有界函数．下列四个命题中为真命题是（ ）
A．若函数有下界，则函数有最小值；
B．若定义在R上的奇函数有上界，则该函数是有界函数；
C．对于函数，若函数有最大值，则该函数是有界函数
D．若函数的定义域为闭区间，则该函数是有界函数
三、填空题
13．（2023上·浙江台州·高一统考期末）定义在上的函数满足，，则 ．
14．（2022上·浙江杭州·高一统考期末）若函数，则 ．
15．（2023上·浙江宁波·高一校联考期末）设函数，若函数的最小值为，则实数的取值范围为 .
16．（2022上·浙江台州·高一统考期末）设函数，若，则实数a的值为 .
17．（2022上·浙江湖州·高一统考期末）函数的定义域是 ．
18．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据这一结论，可以求出函数的对称中心是 .
19．（2023上·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）用表示a、b两个数中的最大值，设函数，若恒成立，则m的最大值是 .
四、解答题
20．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）新定义：若存在满足，且，则称为函数的次不动点.已知函数，其中.
(1)当时，判断是否为函数的次不动点，并说明理由；
(2)求出的解析式，并求出函数在上的次不动点.
21．（2023上·浙江杭州·高一杭十四中校考期末）已知函数是定义在R上的偶函数.
(1)求实数m的值；
(2)利用定义证明在上的单调性；
(3)若，求实数a的取值范围.
22．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）已知，函数.
(1)若，求；
(2)若，当时，求的最小值.
五、证明题
23．（2023上·浙江丽水·高一统考期末）已知函数.
(1)若，判断函数在区间上的单调性并用定义证明；
(2)，恒成立，求实数的取值范围.
24．（2022上·浙江绍兴·高一统考期末）设函数．
(1)证明：函数在上单调递减；
(2)求函数的值域．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】依题意可得，求解即可.
【详解】依题意可得，解得，
所以函数的定义域是.
故选：B.
2．D
【分析】利用函数的定义判断.
【详解】A. 的定义域为，的定义域为R，故错误；
B. 的定义域为，的定义域为，给错误；
C. 的定义域为，的定义域为R，故错误；
D. 的定义域为，的定义域为，故错误；
故选：D
3．B
【分析】根据题意，由绝对值的意义分析可得函数和的根为和，然后按的符号分4种情况讨论，求出的解析式即可.
【详解】由可知函数的分段点为和，
而函数，，为一次函数，所以可得函数和的根为和，
假设的根为，的根为，
分4种情况讨论：
（1）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（2）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（3）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
（4）时，，时，，
当时，，
当时，，
两式相加可得，
综上可得
故选：B
4．C
【分析】由分段函数解析式中自变量的范围，先求，再求即可.
【详解】由题设，，
∴.
故选：C.
5．D
【分析】根据一次函数的性质，结合选项逐一判断即可.
【详解】A：当时，，所以当乘客量为0时，亏损1个单位，故本选项说法正确；
B：当时，，当时，，所以本选项说法正确；
C：降低成本而保持票价不变，两条线是平行，所以本选项正确；
D：由图可知中：成本不变，同时提高票价，所以本选项说法不正确，
故选：D
6．C
【分析】由函数的奇偶性以及定义域判断BD，由判断AC.
【详解】由图可知，函数为奇函数，且定义域不是.
对于B，的定义域为，故B错误；
对于D，，即该函数为偶函数，故D错误；
对于AC，两个函数的定义域都为，因为，所以A错误，C正确；
故选：C
7．B
【分析】根据题意得出分段函数，若，使得关于x的不等式成立，则在上的最小值，即，即可分类求解得出答案.
【详解】由题意可知，
若，使得关于x的不等式成立，
则在上的最小值，
，
为正实数，
则当时，，解得；
当时，，解得，
综上，正实数a的取值范围为或，
故选：B.
8．D
【分析】由题意可得，则，无最小值，判断A；设，则，结合基本不等式可判断B； ，结合函数的单调性，可判断C；利用，结合基本不等式求得的最小值，判断D.
【详解】由，且可知，
而，则，则无最小值，A错误；
设，且，
则，当且仅当，即时取等号，
这与题设矛盾，故最小值不为1，B错误；
，由于函数在上递增，
故在上无最小值，即无最小值，C错误；
，当且仅当时，即时取等号，D正确，
故选：D
【点睛】关键点睛：该题为根据条件等式求最值问题，解答时由可得，由此看到两个因式之积为定值，由此设，进而将问题转化为基本不等式求最值问题或利用函数单调性，解决问题.
9．BC
【分析】根据二次函数的性质对各选项逐一验证即可.
【详解】函数，
当定义域是时，函数单调递减，
当时，，当时，，故其值域为，不合题意；
当定义域是时，函数单调递减，
当时，，当时，，故其值域为，符合题意；
当定义域是时，函数在单调递减，在单调递增，
当时，，当时，，故其值域为，符合题意；
当定义域是时，函数单调递增，
当时，，当时，，故其值域为，不合题意.
故选：BC.
10．ABC
【分析】根据函数的解析式分别从函数的对应法则，定义域和值域逐项进行检验即可判断.
【详解】对于，因为函数，则，故选项正确；
对于，因为函数，则，故选项正确；
对于，因为函数，若函数的定义域为，函数在定义域内单调递减，由二次函数的图象和性质可得，函数的值域为，故选项正确；
对于，因为函数的值域为，所以函数对应的定义域为或或，故选项错误，
故选：.
11．ABD
【分析】根据单调性的定义即可判断各选项.
【详解】对于A，设，设，则
又由都是定义在上的增函数，则且，
所以，故函数一定是增函数，A正确；
对于B，设，此时为减函数，B正确；
对于C，设，此时，在上为减函数，C错误；
对于D，当时，函数为减函数，D正确.
故选：ABD.
12．BC
【分析】举特例说明AD不正确；由奇函数的性质结合已知，可判断B；根据已知推导出，即可判断C；
【详解】对于A，设，则恒成立，即函数有下界，但函数没有最小值，故A错误；
对于B，若定义在上的奇函数有上界，设上界为，则，根据题意有，，有成立.
所以当，成立，则当时，，则，所以，所以；
当时，成立，则当时，，则，所以，所以；
当时，由奇函数性质，可得，所以.
所以当时，成立；当时，成立；
当时，，显然满足.
所以，都有成立，所以函数是有界函数，故B正确；
对于C，对于函数，若函数有最大值，
设，则，该函数是有界函数，故C正确；
对于D，令，则函数的定义域为闭区间，
则函数的值域为，则只有下界，没有上界，
即该函数不是有界函数.故D错误；
故选：BC
13．
【分析】根据题意，分别令，得到，在令，求得，进而求得，即可求得的值.
【详解】因为，
当时，可得；当时，可得；
当时，可得；当时，可得，
所以，
又因为，
当时，可得；当时，可得；
当时，可得；当时，可得，
由，，可得，
又因为，所以，所以.
故答案为：
14．2
【分析】根据解析式可得，再求即可.
【详解】由题意知，
，，
所以.
故答案为：2.
15．
【分析】对分大于0，小于0，等于0，
同时利用函数图像及函数单调性进行分析求解即可.
【详解】①当时，
，
即，如图所示：
由图知此时函数无最值，所以，
②当时，
，
即，
当时，，对称轴为，
所以在单调递减，在单调递增，
故，
当时，在上单调递增，
所以，
由函数的最小值为，
此时 ，
所以函数最小值为，
所以，即，
解得：或（舍去），
③当时，由时，
，此时在上单调递减，
所以最小值为，
由时，
，
此时函数在单调递减，在单调递增，
所以，
所以当时，函数最小值为满足题意，
综上所述，当函数最小值为时，
实数的取值范围为：，
故答案为：.
16．5
【分析】先求，再求，列出方程，求出a的值.
【详解】，，解得：.
故答案为：5
17．
【分析】根据二次根式的定义进行求解即可.
【详解】由二次根式的定义可知：，
所以该函数的定义域为：，
故答案为：
18．
【分析】设的对称中心是，根据题中结论利用奇函数的定义可得，化简整理即可求得，即得答案.
【详解】设的对称中心是，
则函数为奇函数，即，
故，
所以，
整理得，
则，
故的对称中心是，
故答案为：
19．0
【分析】写出的分段函数形式，结合恒成立有，即可得m范围，进而确定最大值.
【详解】由题设，要使恒成立，只需，
而，则.
所以m的最大值是0.
故答案为：0
20．(1)是函数的次不动点，理由见解析
(2)，次不动点为.
【分析】写出函数解析式，利用新定义，建立方程，可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
因为，，所以是函数的次不动点.
（2）由得，此时；
由得，此时；
由得，此时；
由得，此时；
所以
当时，由得，
此时，所以是函数的次不动点；
当时，由得，
此时，所以不是函数的次不动点；
综上可知函数在上的次不动点为.
21．(1)-1.
(2)证明见解析.
(3).
【分析】（1）由偶函数的性质即可求出m的值；（2）利用单调性的定义即可证明；（3）利用单调性与奇偶性解抽象不等式.
【详解】（1）因为函数是定义在R上的偶函数，
，
.
（2）由（1）可知，
设，
，，，
，，
，在上的单调递增.
（3）,,
又因为函数是定义在R上的偶函数，在上的单调递增.
，
当，当
，求实数a的取值范围是.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据所给条件代入函数解析式，即可得到方程组，解得、，即可求出函数解析式；
（2）设，，，根据对勾函数的性质对分、、三种情况讨论，分别求出函数的最小值，即可得解.
【详解】（1）解：由题意知，，解得，
.
（2）解：，，
设，因为，则，令，，
根据对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，
当时在上单调递增，所以，
当时在上单调递减，在上单调递增，所以，
当时在上单调递减，所以，
.
23．(1)单调递增，证明见解析
(2)或.
【分析】（1）先取值，再对函数值作差，变形后判断符号，从而可得结论；
（2）由，得恒成立，从而可求出实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
在区间上单调递增.
证：，且，则
，
，
，即，
在区间上单调递增.
（2）由，
因为，所以有，
可得，
可得，
可得，
可得或，
因为，，
所以的最大值为1，的最小值为，
综上可知，的取值范围是或.
24．(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）由单调性定义法（任取、作差、变形、断号、写结论）可证明.
（2）换元法转化为求含参分式型函数的值域，对参数进行分类讨论研究函数的单调性即可得值域.
【详解】（1）对任意的，，且，
∵，
∴，
∴，
即：
∴函数在上单调递减．
（2）
∴的定义域为，
令，则，
①当时，在单调递减，又∵，
所以的值域为；
②当时，，所以在单调递减，又∵，
所以的值域为；
③当时，，所以在单调递减，在单调递增，
，
所以的值域为．
所以，综上可得：
当时，的值域为；
当时，的值域为．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
