广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、单选题（每小题5分，共40分，在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卷的选择题答案表中）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件
3．已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A．1 B． C． D．
4．函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数（即质数）中，随机选取两个不同的数，其和等于20或30的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C．1 D．
7．已知直线：，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．
8．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确答案的代号填在答题卷的选择题答案表中）
9．从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（ ）
A．至少有1个红球与都是红球
B．恰有1个红球与恰有2个红球
C．至少有1个红球与至少有1个白球
D．至多有1个红球与恰有2个红球
10．若不等式的解集为R，则实数a可能的取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．已知向量，，，则（ ）
A．向量，的夹角为 B．∥
C． D．
12．在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，则（ ）
A．
B．PB与平面ABCD所成角为
C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D．平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为
三、填空题：（本大题共4小题，共20分）
13．已知，则 ．（用含a，b的代数式表示）
14．若向量，，且，则
15．已知在△ABC中，，，，则S△ABC=
16．在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为
四、解答题：本大题共6小题，满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，．
（1）求；
（2）若，求△ABC的外接圆的面积．
18．第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数；
（3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
19．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
20．已知直线．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
21．如图，已知长方体中，，，连接，过B点作的垂线交于E，交于F．
（1）求证：平面；
（2）求点A到平面的距离
22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，且点分别为和中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为A={0，1}，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】 先求出集合A，由此能求出集合A∩B．
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为-1
故答案为：B.
【分析】直接利用充分必要条件的定义即可求解.
3．【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为z为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：C.
【分析】 利用复数的除法运算化简z，根据z是纯虚数可得答案.
4．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
因为，
所以，
根据正弦函数的性质，.
所以最小值为1，
故答案为：D.
【分析】根据三角函数的恒等变换化简，然后结合三角函数的性质求解即可.
5．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共10个，
随机选取两个不同数的试验有个基本事件，
其中和等于20的有3+17，7+13这2个，和等于30的有7+23，11+19，13+17这3个，
所以在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20或30的概率是.
故答案为：.
【分析】根据给定条件求出基本事件的个数，再利用列举法求出满足条件的基本事件的个数，即可求出古典概率.
6．【答案】B
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解： 因为，
所以，
所以 在上的投影向量 为
.
故答案为：B.
【分析】 利用投影向量的公式进行计算即可求解.
7．【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：令x=0，得y=1，
所以l1在y轴上的截距为1.
故答案为：1.
【分析】根据截距的定义直接令x=0即可得求出l1在y轴上的截距.
8．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线l的倾斜角为，其中，
可得，
因为，即，
结合正切函数的图象，
可得直线l的倾斜角.
故答案为：A.
【分析】根据倾斜角的正切值与斜率的关系，结合正切函数的图象即可求出倾斜角的取值范围.
9．【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：解：根据题意，依次分析选项：
对于A： “至少有1个红球”与“都是红球”这两个事件， 都包含有“取出3个红球”的事件， 故不是互斥事件，A错误；
对于B： “恰有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外， 任取3个球还包含“恰有0个红球”与“恰有3个红球”两种事件，故“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，
B正确；
对于C： “至少有1个红球”与“至少有1个白球”都包含由事件“1个红球和两个白球”与“2个红球和一个白球”两个事件，故不是互斥事件，
C错误；
对于D： “至多有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外， 任取3个球还包含“恰有3个红球”这一事件，故“至多有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，D正确.
故答案为：BD.
【分析】直接利用互斥、对立事件的定义逐个判断即可求解.
10．【答案】B,C,D
【知识点】一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：当a=0，，不等式恒成立，符合要求；
当a≠0时，因为关于x的不等式 的解集为R，
即所对应图象均在x轴上方，故须，解得．
综上满足要求的实数a的取值范围是.
故答案为：BCD.
【分析】先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为R转化为所对应图象均在x轴上方，列出满足的条件即可求实数a的取值范围.
11．【答案】B,C
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，且，
所以向量的夹角为，A错误；
对于B，因为，，
所以，
所以，B正确；
对于C，因为，，
所以，
所以 ，
C正确；
对于D，因为，，
所以 ，D错误.
故答案为：BC.
【分析】 对于A，直接利用向量夹角的定义判断即可；
对于B，直接利用向量共线定理即可判断；
对于C，D，直接利用向量的数量积计算即可.
12．【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；异面直线；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图，连接 BD，设AD=1 ，则AB=2 ，PD=1， ，
由余弦定理可得 ，
解得，
因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中 D(0，0，0)，A(1，0，0)，，，P(0，0，1)，
所以 ，，
因为，
所以，A正确；
，而平面ABCD的法向量为 ，
设PB与平面ABCD所成的角为，
则 ，
因为，
所以 ，B正确；
又 ，
又，
所以 ，
故直线AB与PC所成角的余弦值为，C正确；
设平面PAB的法向量为 ，
则，即，取y=1 ，则 ，
设平面PBC的法向量为 ，
则，即，取y=1 ，则 ，
所以 ，
因为二面角A-PB-C的平面角为钝角，
所以其余弦值为，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】首先利用余弦定理求出BD的值，结合勾股定理可得，建立如图所示的空间直角坐标系，再逐项分析即可求解此题.
13．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】直接利用对数的换底公式及对数的运算即可求解.
14．【答案】
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：， ，
因为，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】直接利用向量垂直的充要条件即可求解.
15．【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理得，即，
解得，
因为c
所以，
所以，
.
故答案为：.
【分析】首先利用正弦定理求出C， 再利用三角形面积公式计算即得.
16．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解： 取，，
则，，
所以点B到直线AC的距离为.
故答案为：.
【分析】 先求出直线AC的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可.
17．【答案】（1）解：
化简得
（2）解：，
在中，，，
设外接圆半径为R，由
所以外接圆面积为
【知识点】两角和与差的正切公式；正弦定理的应用
【解析】【分析】 (1)直接正弦定理将角化成边，再结合正弦的和角公式化简计算即可求解；
(2)根据(1)求出的tanA=2，再结合，利用正切的和角公式可求得tanC，进而求出sinC，利用正弦定理可得外接圆的半径即可.
18．【答案】（1）解：由题意可知：，，解得，
（2）解：由频率分布直方图得众数为
平均数为：（0.005×50+0.025×60+0.045×70+0.02×80+0.005×90）×10=（0.25+1.5+3.15+1.6+0.45）×10=69.5
（3）解：根据分层抽样，和的频率比为，
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和
则在这5人中随机抽取两人的样本空间包含的样本点有共10个，即，
记事件“两人来自不同组”，则事件包含的样本点有共4个，即，
所以
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】 （1）根据频率分布直方图列出方程，即可求出a，b的值；
（2）根据众数、平均数定义可解．
（3）根据古典概型的概率可求出.
19．【答案】解：解：设矩形另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360
由xa＝360，得a＝，
∴y＝225x＋－360
∵x>0，∴225x＋≥2＝10800
∴y＝225x＋－360≥10440
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】 设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．
20．【答案】（1）解：因为，所以，
整理得，解得或
当时，，符合题意，
当时，与重合，故．
（2）解：因为，所以，
整理得，解得或
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】 (1)根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解即可；
(2)利用斜率存在的两条直线垂直，则它们的一般式方程中，对应一次项系数乘积的和等于零，列方程，求出实数a的值.
21．【答案】（1）证明：根据题意，平面，平面，得，
又，平面，平面，，
所以平面，所以.
同理，平面，得
因为平面，平面，，，，
所以平面.
（2）解：因为平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，设为d，
因为，即，即
因为，所以，
所以.故点A到平面的距离等于.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)根据三垂线定理证线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；
(2)利用线面平行，将A到平面的距离转化为B到平面的距离，再利用三棱锥的换底性求高即可.
22．【答案】（1）证明：取的中点，连接，
在中，因为分别为的中点，可得且，
又因为为的中点，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）解：因为底面是菱形，且，连接，可得为等边三角形，
又因为为的中点，所以，则，
又由平面，以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为底面是菱形，且，，则
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以
设直线与平面所成的角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为.1
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取PC的中点M，连接MF，EM，利用M，F分别是PC，PD的中点，可得，再利用线面平行的判定即可求解；
（2）以所在的直线分别为和轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，利用即可求解.
广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高二上学期数学期中试卷
一、单选题（每小题5分，共40分，在每一题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卷的选择题答案表中）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为A={0，1}，
所以 ，
故答案为：A.
【分析】 先求出集合A，由此能求出集合A∩B．
2．已知，，则是的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充要也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为-1
故答案为：B.
【分析】直接利用充分必要条件的定义即可求解.
3．已知是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
因为z为纯虚数，
所以，解得.
故答案为：C.
【分析】 利用复数的除法运算化简z，根据z是纯虚数可得答案.
4．函数在区间上的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
因为，
所以，
根据正弦函数的性质，.
所以最小值为1，
故答案为：D.
【分析】根据三角函数的恒等变换化简，然后结合三角函数的性质求解即可.
5．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数（即质数）中，随机选取两个不同的数，其和等于20或30的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：不超过30的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共10个，
随机选取两个不同数的试验有个基本事件，
其中和等于20的有3+17，7+13这2个，和等于30的有7+23，11+19，13+17这3个，
所以在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于20或30的概率是.
故答案为：.
【分析】根据给定条件求出基本事件的个数，再利用列举法求出满足条件的基本事件的个数，即可求出古典概率.
6．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】空间向量的投影向量；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解： 因为，
所以，
所以 在上的投影向量 为
.
故答案为：B.
【分析】 利用投影向量的公式进行计算即可求解.
7．已知直线：，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】解：令x=0，得y=1，
所以l1在y轴上的截距为1.
故答案为：1.
【分析】根据截距的定义直接令x=0即可得求出l1在y轴上的截距.
8．若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线l的倾斜角为，其中，
可得，
因为，即，
结合正切函数的图象，
可得直线l的倾斜角.
故答案为：A.
【分析】根据倾斜角的正切值与斜率的关系，结合正切函数的图象即可求出倾斜角的取值范围.
二、多选题（每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请把正确答案的代号填在答题卷的选择题答案表中）
9．从装有大小和形状完全相同的3个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么下列各对事件中，互斥而不互为对立的是（ ）
A．至少有1个红球与都是红球
B．恰有1个红球与恰有2个红球
C．至少有1个红球与至少有1个白球
D．至多有1个红球与恰有2个红球
【答案】B,D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：解：根据题意，依次分析选项：
对于A： “至少有1个红球”与“都是红球”这两个事件， 都包含有“取出3个红球”的事件， 故不是互斥事件，A错误；
对于B： “恰有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外， 任取3个球还包含“恰有0个红球”与“恰有3个红球”两种事件，故“恰有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，
B正确；
对于C： “至少有1个红球”与“至少有1个白球”都包含由事件“1个红球和两个白球”与“2个红球和一个白球”两个事件，故不是互斥事件，
C错误；
对于D： “至多有1个红球”与“恰有2个红球”为互斥事件，除了这两个事件外， 任取3个球还包含“恰有3个红球”这一事件，故“至多有1个红球”与“恰有2个红球”不是对立事件，D正确.
故答案为：BD.
【分析】直接利用互斥、对立事件的定义逐个判断即可求解.
10．若不等式的解集为R，则实数a可能的取值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B,C,D
【知识点】一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：当a=0，，不等式恒成立，符合要求；
当a≠0时，因为关于x的不等式 的解集为R，
即所对应图象均在x轴上方，故须，解得．
综上满足要求的实数a的取值范围是.
故答案为：BCD.
【分析】先对二次项系数分为0和不为0两种情况讨论，在不为0时，把解集为R转化为所对应图象均在x轴上方，列出满足的条件即可求实数a的取值范围.
11．已知向量，，，则（ ）
A．向量，的夹角为 B．∥
C． D．
【答案】B,C
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：对于A，因为，且，
所以向量的夹角为，A错误；
对于B，因为，，
所以，
所以，B正确；
对于C，因为，，
所以，
所以 ，
C正确；
对于D，因为，，
所以 ，D错误.
故答案为：BC.
【分析】 对于A，直接利用向量夹角的定义判断即可；
对于B，直接利用向量共线定理即可判断；
对于C，D，直接利用向量的数量积计算即可.
12．在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，则（ ）
A．
B．PB与平面ABCD所成角为
C．异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D．平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为
【答案】A,B,C
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；异面直线；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法
【解析】【解答】解：如图，连接 BD，设AD=1 ，则AB=2 ，PD=1， ，
由余弦定理可得 ，
解得，
因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
其中 D(0，0，0)，A(1，0，0)，，，P(0，0，1)，
所以 ，，
因为，
所以，A正确；
，而平面ABCD的法向量为 ，
设PB与平面ABCD所成的角为，
则 ，
因为，
所以 ，B正确；
又 ，
又，
所以 ，
故直线AB与PC所成角的余弦值为，C正确；
设平面PAB的法向量为 ，
则，即，取y=1 ，则 ，
设平面PBC的法向量为 ，
则，即，取y=1 ，则 ，
所以 ，
因为二面角A-PB-C的平面角为钝角，
所以其余弦值为，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】首先利用余弦定理求出BD的值，结合勾股定理可得，建立如图所示的空间直角坐标系，再逐项分析即可求解此题.
三、填空题：（本大题共4小题，共20分）
13．已知，则 ．（用含a，b的代数式表示）
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式的应用
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】直接利用对数的换底公式及对数的运算即可求解.
14．若向量，，且，则
【答案】
【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：， ，
因为，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】直接利用向量垂直的充要条件即可求解.
15．已知在△ABC中，，，，则S△ABC=
【答案】
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理得，即，
解得，
因为c
所以，
所以，
.
故答案为：.
【分析】首先利用正弦定理求出C， 再利用三角形面积公式计算即得.
16．在空间直角坐标系中，，，则点到直线的距离为
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解： 取，，
则，，
所以点B到直线AC的距离为.
故答案为：.
【分析】 先求出直线AC的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可.
四、解答题：本大题共6小题，满分70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为，，，，．
（1）求；
（2）若，求△ABC的外接圆的面积．
【答案】（1）解：
化简得
（2）解：，
在中，，，
设外接圆半径为R，由
所以外接圆面积为
【知识点】两角和与差的正切公式；正弦定理的应用
【解析】【分析】 (1)直接正弦定理将角化成边，再结合正弦的和角公式化简计算即可求解；
(2)根据(1)求出的tanA=2，再结合，利用正切的和角公式可求得tanC，进而求出sinC，利用正弦定理可得外接圆的半径即可.
18．第19届亚运会在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a，b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的众数和平均数；
（3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
【答案】（1）解：由题意可知：，，解得，
（2）解：由频率分布直方图得众数为
平均数为：（0.005×50+0.025×60+0.045×70+0.02×80+0.005×90）×10=（0.25+1.5+3.15+1.6+0.45）×10=69.5
（3）解：根据分层抽样，和的频率比为，
故在和中分别选取4人和1人，分别设为和
则在这5人中随机抽取两人的样本空间包含的样本点有共10个，即，
记事件“两人来自不同组”，则事件包含的样本点有共4个，即，
所以
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】 （1）根据频率分布直方图列出方程，即可求出a，b的值；
（2）根据众数、平均数定义可解．
（3）根据古典概型的概率可求出.
19．围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元)．试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【答案】解：解：设矩形另一边长为am，则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360
由xa＝360，得a＝，
∴y＝225x＋－360
∵x>0，∴225x＋≥2＝10800
∴y＝225x＋－360≥10440
当且仅当225x＝时，等号成立．
即当x＝24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】 设矩形的另一边长为am，则根据围建的矩形场地的面积为360m2，易得，此时再根据旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，我们即可得到修建围墙的总费用y表示成x的函数的解析式，利用基本不等式，我们易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的x值．
20．已知直线．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：因为，所以，
整理得，解得或
当时，，符合题意，
当时，与重合，故．
（2）解：因为，所以，
整理得，解得或
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定
【解析】【分析】 (1)根据直线与直线平行的充要条件，列出方程求解即可；
(2)利用斜率存在的两条直线垂直，则它们的一般式方程中，对应一次项系数乘积的和等于零，列方程，求出实数a的值.
21．如图，已知长方体中，，，连接，过B点作的垂线交于E，交于F．
（1）求证：平面；
（2）求点A到平面的距离
【答案】（1）证明：根据题意，平面，平面，得，
又，平面，平面，，
所以平面，所以.
同理，平面，得
因为平面，平面，，，，
所以平面.
（2）解：因为平面，所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离，设为d，
因为，即，即
因为，所以，
所以.故点A到平面的距离等于.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】 (1)根据三垂线定理证线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；
(2)利用线面平行，将A到平面的距离转化为B到平面的距离，再利用三棱锥的换底性求高即可.
22．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，且点分别为和中点.
（1）求证：直线平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：取的中点，连接，
在中，因为分别为的中点，可得且，
又因为为的中点，所以且，
所以且，所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）解：因为底面是菱形，且，连接，可得为等边三角形，
又因为为的中点，所以，则，
又由平面，以为坐标原点，以所在的直线分别为和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为底面是菱形，且，，则
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以
设直线与平面所成的角为，则
所以直线与平面所成角的正弦值为.1
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取PC的中点M，连接MF，EM，利用M，F分别是PC，PD的中点，可得，再利用线面平行的判定即可求解；
（2）以所在的直线分别为和轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，利用即可求解.
