06圆锥曲线方程（双曲线）- 浙江省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教版）
一、单选题
1．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）如图，加斯帕尔·蒙日是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫蒙日圆．则双曲线 的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）若直线与双曲线的一条渐近线平行，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知双曲线，过左焦点作一条渐近线的垂线，记垂足为，点在双曲线上，且满足，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
4．（2023上·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知双曲线经过点，且与椭圆有相同的焦点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）双曲线的左焦点为F，离心率为e，过点F且斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于点A，B，若AB的中点为M，若等于半焦距，则（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）双曲线的离心率是2，左右焦点分别为为双曲线左支上一点，则的最大值是（ ）
A． B．2 C．3 D．4
7．（2023上·浙江宁波·高二期末）双曲线的一个焦点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知双曲线的左 右焦点分别为，若左支上的两点与左焦点三点共线，且的周长为8，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（2023上·浙江金华·高二统考期末）有以下三条轨迹：
①已知圆，圆，动圆P与圆A内切，与圆B外切，动圆圆心P的运动轨迹记为；
②已知点A，B分别是x，y轴上的动点，O是坐标原点，满足，AB，AO的中点分别为M，N，MN的中点为P，点P的运动轨迹记为；
③已知，点P满足PA，PB的斜率之积为，点P的运动轨迹记为．设曲线的离心率分别是，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·浙江温州·高二校考期末）已知点是双曲线右支上的动点，，两点满足，点，分别为双曲线的左，右焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C．24 D．26
二、多选题
11．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，双曲线的左右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，与轴相交于点，的内切圆与边相切于点.若，则下列说法正确的有（ ）
A．双曲线的渐近线方程为
B．过点存在两条直线与双曲线有且仅有一个交点
C．点在变化过程中，面积的取值范围是
D．若，则的内切圆面积为
12．（2023上·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知曲线分别是曲线C的左、右焦点，则下列说法中正确的有（ ）
A．若，则曲线C的两条渐近线所成的夹角为
B．若曲线C的离心率，则
C．若，则曲线C上不存在点P使得
D．若，P为曲线C上一个动点，则面积的最大值为
13．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）已知分别为椭圆和双曲线的公共左，右焦点，（在第一象限）为它们的一个交点，且，直线与双曲线交于另一点，若，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为 B．双曲线的离心率为
C．椭圆的离心率为 D．
14．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）已知曲线的方程为，则（ ）
A．曲线可以表示圆
B．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
C．曲线可以表示焦点在轴上的椭圆
D．曲线可以表示焦点在轴上的双曲线
15．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）已知双曲线的左 右焦点分别为 ，左右顶点分别为，点是双曲线上的点（异于），则下列结论正确的是（ ）
A．该双曲线的离心率为2
B．该双曲线的渐近线方程为
C．若，则的面积为16
D．点到两点的连线斜率乘积为
16．（2023上·浙江舟山·高二统考期末）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m=6
C．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m=2
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
三、填空题
17．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知是双曲线的左右焦点，点是双曲线上在第一象限内的一点且，则该双曲线的离心率的取值范围是 ．
18．（2023上·浙江杭州·高二杭十四中校考期末），为双曲线的左、右焦点，过点且斜率为1的直线与两条渐近线分别交于A，B两点，若，为双曲线C上一点，的内切圆圆心为I，过作，垂足为T，则 ．
19．（2023上·浙江杭州·高二校考期末）已知点，点P是双曲线左支上的动点，为其右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ．
20．（2023上·浙江台州·高二期末）已知双曲线C与双曲线有相同渐近线，但焦点不同，则C的方程可以是 ．（写出一个即可）
21．（2023上·浙江宁波·高二期末）已知双曲线，其离心率，直线的，若l与C交于A，B两点，过A点作C的其中一条渐近线的垂线，其垂足为M，连接MB，则的面积为 ．（可用a，b，k表示）
22．（2023上·浙江杭州·高二统考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作直线交两条渐近线于点，，且．若点在轴上的射影为，则 ．
23．（2023上·浙江舟山·高二统考期末）已知曲线C1方程：，曲线C2方程：，曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，且它的渐近线过C1与C2的交点，则曲线C3的离心率的取值范围是 .
四、解答题
24．（2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，且过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且，求直线l的斜率．
25．（2023上·浙江台州·高二期末）已知双曲线，点A，B在双曲线右支上，O为坐标原点．
(1)若过点A作双曲线的两条渐近线的平行线，分别交两条渐近线于点M，N，证明：平行四边形的面积为定值；
(2)若，D为垂足，求点D的轨迹的长度．
26．（2023上·浙江宁波·高二期末）已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为，
(1)求双曲线C的离心率e
(2)若直线与C相交于不同的两点A，B，且，求双曲线C的方程．
27．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，右顶点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程.
28．（2023上·浙江温州·高二校考期末）已知双曲线：的焦距为8．过左焦点的直线与的左半支交于，两点，过，作直线：的垂线，垂足分别为，，且当垂直于轴时，．
(1)的标准方程；
(2)设点，判断是否存在，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
29．（2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知双曲线：与双曲线：的渐近线相同，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的直线与双曲线的右支交于，两点，与轴交于点.设，，求的取值范围.
30．（2023上·浙江金华·高二统考期末）已知双曲线，斜率为1的直线过双曲线C上一点交该曲线于另一点B，且线段中点的横坐标为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知点为双曲线C上一点且位于第一象限，过M作两条直线，且直线均与圆相切．设与双曲线C的另一个交点为P，与双曲线C的另一个交点为Q，则当时，求点M的坐标．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】设两条互相垂直的切线的交点为，设过点且与曲线相切的一条切线方程是，，由直线与双曲线相切联立方程，且，得出关于的一元二次方程组，由根与系数的关系即可得出该双曲线蒙日圆的方程，即可求解．
【详解】设两条互相垂直的切线的交点为，
由题可知，双曲线上两条互相垂直的切线的斜率均存在且均不为0，
设过点且与曲线相切的一条切线方程是，，
由得，
，
则，即，
整理得，，
因为过点有两条直线与曲线相切，
所以，且，即，则，
得，
又因为过点的这两条切线互相垂直，
所以，
即，
故该双曲线的蒙日圆方程为：，半径为，
所以该双曲线蒙日圆的面积为，
故选：B．
2．A
【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，注意，结合直线平行列方程求参数值即可.
【详解】由题设且，故，
所以，双曲线渐近线为，其中一条与平行，
所以，则.
故选：A
3．A
【分析】设在渐近线上，直线的方程为，联立求得，由，求得，代入双曲线的方程化简即可得出答案.
【详解】解：设在渐近线上，直线的方程为，
由，得，即，
由，得为的中点，又因为
所以，
因为在双曲线上，所以化简得：
所以
故选：A
4．D
【分析】根据椭圆方程可求出焦点，将代入双曲线，结合，解方程即可求解.
【详解】椭圆焦点为，
双曲线焦点为，且，
将代入双曲线，
得，
又，
解得，，
故双曲线的方程为，
故选：D.
5．B
【分析】设直线方程，然后与渐近线方程联立即可得出两点坐标，最后通过两点坐标得出中点坐标
并运用两点间的距离公式得出算式，化简整理，即可得出结果．
【详解】双曲线的渐近线方程为，
设双曲线的半焦距为，
则双曲线的左焦点，过点且斜率为1的直线方程为，
联立，可得，
联立，可得，
不妨设，，
故中点坐标为，
则有，
所以，因为，
所以，
所以（矛盾舍去）或，
所以
所以，
所以，
故，
故选：B．
6．C
【分析】结合焦半径公式讨论分式函数的最大值.
【详解】由焦半径公式得，，则当时，.
故选：C.
7．A
【分析】由双曲线的标准方程结合a，b，c的关系求出c的值即可得到结论．
【详解】双曲线的焦点在轴上，且，
所以焦点坐标为．
故选：A.
8．A
【分析】利用双曲线的定义求解.
【详解】解：因为双曲线，
所以a=1，
由双曲线的定义得：，
两式相加得 ，
又因为的周长为8，即 ，
两式相减得 ，
故选：A
9．A
【分析】根据题意，分别求出三个曲线方程，并求出对应的离心率即可求解.
【详解】①，设动圆圆心，半径为，
由题意可知：圆的圆心坐标，半径；
圆的圆心坐标，半径；
由条件可知：，，所以，
所以点的轨迹方程为：，则；
②设，，则，由中点坐标公式可得：，，所以的中点，因为，所以点的坐标满足，也即：，所以；
③设点，由题意可知：，
整理化简可得：，所以，
则，
所以，
故选：.
10．C
【分析】由可得点，在以点为圆心，半径为1的圆上，结合点与圆的位置关系可得，结合双曲线定义及性质求的最小值.
【详解】因为，两点满足，
所以点，在以点为圆心，半径为1的圆上，
所以，当且仅当点为线段与圆的交点时等号成立，
，当且仅当点为射线与圆的交点时等号成立，
所以，又，
设，则，且，
设，则，，
所以，当且仅当，即时等号成立；
所以当且点在线段上，点在射线上，且时
取最小值24.
故选：C.
11．AC
【分析】结合双曲线的定义、圆的切线长定理求得，从而求得双曲线的方程，结合双曲线的渐近线、直线和双曲线的交点、焦点三角形的性质、三角形内切圆面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题可得，
因为的内切圆与边相切于点，设的内切圆与分别切于，如图，
由切线长定理可知，，
所以，
，
所以双曲线的方程为，
对A，由题可得双曲线的渐近线方程为，故A正确；
对B，由双曲线的性质可知过点的直线与渐近线平行时与双曲线有且仅有一个公共点，
又过点的直线斜率不存在时，即与双曲线有且仅有一个公共点，
故过点的直线存在三条直线与双曲线有且仅有一个交点，故B错误.
对C，因为面积为，因此只需求的范围即可，可取临界位置，
当与渐近线平行时，不妨设，令可得，
当与另一条渐近线平行时，不妨设，联立双曲线方程，
解得，即，所以，令可得，
所以，，故C正确；
对D，当时，则，，解得，
故的内切圆的周长为，
的面积为，
由题可知，故，，即，
所以，，设的内切圆的半径为，
则，即，的内切圆的面积为，故D错误.
故选：AC.
【点睛】圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法有：
（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；
（2）代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
12．BC
【分析】对于A选项：求出双曲线的渐近线，求出两渐近线的夹角；
对于B选项：根据双曲线的离心率求即可；
对于C选项：先判断出短轴顶点与两焦点连线夹角为锐角，可知不成立；
对于D选项：当P在短轴顶点时面积的最大值.
【详解】对于A选项，当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，
故渐近线的倾斜角分别为，所以曲线的两条渐近线所成的锐角为，故A选项错误；
对于B选项，离心率，则曲线为焦点在轴上的双曲线，，故，
所以，所以，故B选项正确；
对于C选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，此时，
设椭圆的短轴的一个顶点坐标为，
则，故为锐角，
所以曲线上不存在点，使得，故C选项正确；
对于D选项，若，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，
此时，为上一个动点，
则面积的最大值为，故D选项错误.
故选：BC
13．BCD
【分析】设，则，由双曲线定义得，，再由余弦定理得，然后由椭圆定义得，利用余弦定理求得，再求三角形周长，求出椭圆、双曲线的离心率，从而判断各选项．
【详解】设，则，，，
中由余弦定理，得
，化简得，
，D正确；
又，所以，又，
的周长为，A错误；
中，，由余弦定理得，所以，
因此双曲线的离心率为，B正确；
椭圆的离心率为，C正确，
故选：BCD．
14．CD
【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程定义列式求解判断.
【详解】对A，若曲线表示圆，则有，无解，A错；
对BC，若曲线表示椭圆，则有，此时，则曲线表示焦点在轴上的椭圆，C对B错；
对D，若曲线表示双曲线，则有，此时，此时曲线表示焦点在轴上的双曲线，D对.
故选：CD.
15．BCD
【分析】由双曲线方程得，然后计算离心率，确定渐近线方程，即可判断AB；结合双曲线的定义和垂直求得，从而可得的面积，即可判断C；设，根据直线的斜率公式及点在双曲线上计算即可判断D．
【详解】由双曲线方程得，，，
焦点为，，，
离心率为，A错；
渐近线方程是，B正确；
若，不妨设，
则，∴，，C正确；
设，则，，
，故D正确.
故选：BCD.
16．BC
【分析】直接根据双曲线的性质逐一判断即可.
【详解】双曲线C：1中实轴长为4，故A错误；
由于（4，0）是双曲线C的一个焦点，即，所以，解得，故B正确；
双曲线C：的渐近线为，所以，得，故C正确；
双曲线C的焦点到渐近线的距离为，故D错误；
故选：BC.
17．
【分析】在中，由正弦定理可得，再结合双曲线的定义和“三角形的两边之和大于第三边”，即可得解.
【详解】在中，，由正弦定理得，
，又点P是双曲线C上在第一象限内的一点，所以，
所以，在中，由，
得，即，所以，又，所以，
故答案为：
18．4
【分析】设直线AB方程为，联立渐近线方程可得A、B坐标，再根据和点在双曲线上可得a，然后结合图形，利用内切圆圆心为角平分线交点和双曲线定义可解.
【详解】设直线AB方程为，两条渐近线方程分别为，，
联立解得，联立解得，
因为，，
所以，解得①
又点在双曲线上，所以②，
联立①②解得，
延长交于点，
因为I为的内切圆圆心，所以，
又，，所以，
所以为的中点，且
又O为的中点，所以
由双曲线定义可知，，
所以，
故答案为：4
19．/
【分析】根据双曲线定义有，则，，，则得到最小值.
【详解】因为双曲线的焦点为,
圆的圆心,恰好为双曲线的左焦点,
，
(当且仅当三点共线时取等号)，
(当且仅当,,三点共线时取等号),
，
的最小值为.
故答案为：.
20．（只要双曲线的渐近线为即可）
【分析】先求出易知双曲线的渐近线，然后利用有相同渐近线找到所求双曲线的方程特点即可解答
【详解】因为双曲线的渐近线为，
若焦点在x轴上，设双曲线C的方程为：，由题意，即，所以双曲线C的方程方程为；
若焦点在x轴上，设双曲线C的方程为：，由题意，即，所以双曲线C的方程方程为；
综上，双曲线C的方程为，
当时，（只要双曲线的渐近线为即可）
故答案为：
21．（或或）
【分析】根据对称性，直线和双曲线联立，表示出，利用三角形的面积公式进行求解.
【详解】
由，所以，所以，不妨考虑直线和双曲线的交点在一三象限，且第一象限交点是，根据对称性可知.如图，设，则，，则，则，且，则，由于，也可写成或．
故答案为：（或或）
22．
【分析】根据题意，利用三角形面积公式和比例性质，由求解即可.
【详解】如图所示：
则，
双曲线的渐近线为，
，
，
不妨设，，，
则，，，，
，
.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用比例的性质与点的坐标的关系求得，从而求得，由此结合求解即可.
23．
【分析】根据题意分析可得C1与C2的交点均在，即，进而根据题中取值范围可求离心率的取值范围.
【详解】联立的方程，整理可得，
∵，则，
∴，故C1与C2的交点均在，
又∵曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，设双曲线的渐近线为，则，
故双曲线的离心率，
∵，则，可得，
∴.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：双曲线离心率(离心率范围)的求法：
双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值．
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程为和双曲线过点，联立求解；
（2）由题意设直线方程为，令，得到M的坐标，设，根据，用k表示点Q的坐标，再根据点Q在双曲线上，代入双曲线方程求解.
【详解】（1）解：因为双曲线C：的渐近线方程为，
所以，
又因为双曲线C：过点，
所以，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由（1）知：，则，
由题意设直线方程为，令，得，则，
设，则，
因为，
所以，则，
解得，因为点Q在双曲线上，
所以，解得，
所以直线l的斜率为.
25．(1)证明见解析
(2)
【分析】(1) 设，将渐近线方程分别与过点直线的直线方程联立得到，，进而得到即可求解；
(2) 设，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理和已知条件得到，然后将椭圆方程和双曲线方程联立得到，进而计算即可求解.
【详解】（1）设，双曲线的渐近线为，
∴，解得，记，
同理可得．
∴．
所以．
（2）设，
当直线斜率不存在时，为，∴．
当直线斜率存在时，令，
由方程组得．其中.
∴．
∵，
∴，
解得．
∴到直线的距离为．∴．
又∵A，B在双曲线右支上，∴D在双曲线右支内部，
则，解得（取正），或（取正），，
记，
∴．
∴．
∴D的轨迹为圆心角为的圆弧．所以D的轨迹长度为．
【点睛】圆锥曲线的定值问题常见的两种方法：
（1） 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2） 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值.
26．(1)
(2)
【分析】（1）由双曲线C的渐近线方程结合即可求出双曲线C的离心率；
（2）联立直线与双曲线C的方程，由弦长公式代入求解即可.
【详解】（1）可设双曲线C的方程为，则其渐近线方程为，
所以，
所以离心率；
（2）设，则由得，
所以，
因为，
所以，得，
故双曲线C的方程为．
27．(1)
(2)或
【分析】（1）利用点到直线的距离求出b，再结合顶点求出a，从而求出双曲线方程；
（2）设直线方程，联立双曲线，分类讨论，判别式法求解
【详解】（1）双曲线的一条渐近线为，故焦点到直线的距离为，所以，又，
所以双曲线方程为
（2）由题知，直线的斜率必存在.
设直线方程为：
联立，消y得
①当时，上述方程只有一解，符合题意，
所以；
②当时，为使上述方程只有一解即，
，
化解得：，所以，
所以.
综上，直线方程为：或.
28．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据焦距得，利用及通经长度即可求得的值，从而得的标准方程；
（2）讨论直线斜率不存在与存在两种情况，存在时，直线方程为，，联立直线与双曲线，得交点坐标关系，利用直线方程与双曲线方程转化，通过系数成比例解方程确定定值是否存在即可.
【详解】（1）由题可知，焦距，所以，当AB垂直于x轴时，，
又，联立，解得或（舍），所以
则的标准方程为；
（2）如图，
①当直线斜率不存在时，此时，则，所以，要使得为定值，则；
②当直线斜率存在时，设直线方程为，，则，由于均在左半支，所以，且，
所以，消去得，则
所以，同理，
则
，
要使得为定值，则满足，解得，
此时，经检验，此结果也符合斜率不存在的情况
综上，存在使得为定值.
29．(1)
(2)
【分析】（1）根据共渐近线方程设双曲线，代入点即可求得的值，可得双曲线的方程；
（2）根据双曲线与直线的位置关系，求得交点坐标关系，根据向量线性关系列式，即可求得的取值范围.
【详解】（1）由双曲线C与双曲线的渐近线相同，可设双曲线，
代入，可得，
所以求双曲线的方程为，即.
（2）易知直线的斜率存在且不为0，设为，则直线的方程为，则.
设.
联立可得，
方程有两个不同的正根可得
，解得.
记点的横坐标为，即.
由可得，代入双曲线C的方程，可得.
同理可得，由可得.
所以是方程的两个根，
由韦达定理可得.
所以.
令，，
则
令，，则在上单调递增，
所以且.
因此，.
30．(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意可求得B点坐标，将代入双曲线方程，解方程组，求得，可得答案；
（2）由题意设出的方程，和双曲线方程联立，利用根与系数的关系求得的坐标，继而可得的表达式，由可列出关于的方程，解方程求得，即得答案.
【详解】（1）因为，且AB中点的横坐标为，所以,
又因为直线AB的斜率为1，即,所以点，
点坐标代入双曲线方程，得,解得，
所以双曲线方程为．
另解：设，由已知条件可得直线，
即，代入得，
需满足，所以，
由于线段中点的横坐标为，令，得，①
又双曲线C过，得，②
由①②得，满足，所以双曲线方程为．
（2）由题意可知的斜率存在，且互为相反数，
点为双曲线C上一点且位于第一象限，故，
设直线的斜率为k，则的斜率为，则．
与圆相切，于是圆心到的距离为，
得．
联立，得，
当时，直线将与双曲线渐近线平行，此时与双曲线不会有两个交点，不合题意，
故，即，则此时与双曲线有两个交点；
设，
于是，得，
，
所以，
同理，
所以，
又．
，
令，解得或．
所以点M的坐标为或．
【点睛】难点点睛：解答第二问求解点M的坐标，方法是由题意判断的斜率存在，且互为相反数，由此设直线方程，联立双曲线方程，求得坐标，即可表示出，列方程求解即可，但难点在于求解的坐标计算十分复杂，计算量较大，涉及到字母系数较多，因此要十分小心.
答案第1页，共2页
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