专题 函数图象的分析与计算
类型一 根据实际问题分析、判断函数图象
模型分析：根据实际问题分析与判断函数图象的方法：
(1)根据题目的文字信息确定函数的自变量与因变量.
(2)观察函数图象时应先注意横轴与纵轴所表示的意义.
(3)要注意函数图象：
①起始点的位置；②当函数值不变时，函数图象的表示形式；③发生方向变化时，拐点的位置、每段图象对应的意义与图象的变化趋势.
例1 某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息了一段时间，出发时油箱中有 40 升油，到乙地后发现油箱中还剩4升油.则油箱中所剩油y(升)与时间t(小时)之间的函数图象大致是( )
解题思路 两个关键：一是“匀速”，说明图象中有2段线段平行；二是“中途停车休息一段时间”，说明图象中有一段线段与x轴平行.
类型二 几何图形背景下函数图象的判断
模型分析：此类题一般以几何图形为背景，判断线段与线段、周长、面积之间的函数关系图象等，常结合特殊四边形、三角形、圆的相关知识及平移等变换进行考查.解决这类问题的关键是找出几何图形中两个变量之间的关系，并且用函数表示出来，要注意函数自变量的取值范围，有时还需分类讨论.
例2 如图,在△ABC中,点O 是△ABC的内心,连接 OB,OC,过点 O 作 EF∥BC 分别交 AB,AC于点 E,F.已知△ABC的周长为8,BC=x,△AEF的周长为y，则表示y与x的函数图象大致是( )
解题思路 由三角形内心的性质可知 BO，CO 分别平分利用 EF∥BC 可得角度之间的关系，进而得分别表示△ABC 和 的周长，可得y与x之间的关系，并由△ABC的三边关系求x的取值范围.
类型三 纯函数类型图象探究
例3 小红同学在研究函数 的图象时，发现有如下结论：①该函数有最小值；②该函数图象与坐标轴无交点；③当x>0时，y随x的增大而增大；④该函数图象关于y轴对称；⑤直线 与该函数的图象有两个交点，则上述结论中正确的个数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解题思路 作出函数的图象，利用函数图象的特征以及函数的增减性对选项逐一判断即可.
专项训练
水滴入一个玻璃容器的示意图(滴水速度保持不变)如图所示，能正确反映容器中水的高度(h)与时间(t)之间对应关系的大致图象是( )
如图,在 中, 动点 P、Q 分别在直线 BC 上运动(点 P 在点 B 左侧,点Q 在点 C 右侧),且始终保持. 设 则y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为( )
如图, 为等边三角形，边长为4cm，矩形DEFG的长和宽分A别为4 cm和 点C 和点 E 重合,点B,C(E),F 在同一条直线上,令矩形DEFG不动，等边三角形ABC 以每秒1cm的速度向右移动，当点 C 与点 F重BC(E)F合时停止移动，设移动x秒后，等边三角形ABC 与矩形DEFG重叠部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致是( )
如图,等腰 Rt△ABC 与矩形DEFG 在同一水平线上,AB=DE=2,DG=3,现将等腰 Rt△ABC沿箭头所指方向水平平移,平移距离x 自点C 到达DE 之时开始计算，至AB 离开 GF 为止.等腰Rt△ABC与矩形DEFG的重合部分面积记为y，则能大致反映y与x的函数关系的图象为( )
5.小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 的图象与性质进行探究.
因为 即 所以可以对比函数 来探究.
列表：
(1)下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值：
x … -4 -3 -2 -1 - 1 2 3 4 …
y=- … 1 2 4 -4 -2 -1 - - …
y=x-2 … 2 3 m -3 -1 0 n …
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以 相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：
(2)请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；
(3)观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当x<0时,y随x的增大而__________;(填“增大”或“减小”)
②函数 的图象是由 的图象向_________平移_________个单位而得到；
③函数图象关于点____________中心对称.(填点的坐标)
巩固练习
1.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满.在注水过程中，水面高度 h随时间t的变化规律如图所示(图中O→A→B→C 为一折线).这个容器的形状可能是( )
2.一段笔直的公路AC 长 20 千米,途中有一处休息点 B，AB长15 千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点 A 出发.甲以15 千米/时的速度匀速跑至点 B，原地休息半小时后，再以10 千米/时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点 C.下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(千米)与时间x(小时)之间函数关系的图象是( )
3.如图,已知正三角形ABC的边长为1,E,F,G分别是AB,BC,CA 上的点,且. 设 的面积为y，AE 的长为x，则y关于x的函数图象大致是 ( )
4.已知函数
(1)画出函数图象.
列表：
x … …
y … …
描点，连线，得到函数图象.
(2)该函数是否有最大值或最小值 若有，求出其值；若没有，简述理由.
(3)设 是函数图象上的点，若 证明：
参考答案
例1 C 某 人驾车匀速从甲地前往乙地，单位时间内油箱中油的减少量是不变的，中途停车休息时油箱内剩余油量不变，选项 C 中的函数图象符合.故选 C.
例 2 B ∵点O 是△ABC的内心,∴∠ABO=∠CBO,∠ACO=∠BCO,∵EF∥BC,∴ ∠EOB=∠CBO,∠FOC=∠BCO,∴∠ABO=∠EOB,∠ACO=∠FOC,∴BE=OE,CF=OF,∴△AEF 的周长y=AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AB+AC.∵△ABC的周长为8,BC=x,∴AB+AC=8-x,∴y=8-x.∵AB+AC>BC,∴y>x,∴8-x>x,∴x<4,又x>0,∴0
观察图象可知，该函数有最小值，结论①正确；该函数图象与坐标轴没有交点，结论②正确；当 时，y先随x的增大而减小，后随 x 的增大而增大，结论③不正确；该函数图象关于y轴对称，结论④正确；令 整理得 或 易知两个方程都有两个不相等的实数根，即共有四个根，并且这四个根互不相等，∴直线 与该函数图象有四个交点，结论⑤不正确.
综上，正确的结论有3个，故选 B.
专项训练
1. D 由于容器的形状是下宽上窄，且最上方部分为均匀的圆柱形，所以在滴水速度保持不变的情况下，容器中水的高度逐渐变大，且水面上升的速度逐渐变快，到达一定时间后，水面上升的速度保持不变，结合选项易知，选项D 符合题意.
2. A ∵AB=AC=a,∠BAC=18°,= 81°,∴∠ABC=∠APB+∠PAB=81°,∵∠PAQ=99°,∠BAC=18°, ∴∠APB=∠QAC,同理可得∠PAB=∠AQC, 即 整理得 ∵x、y都是边的长度，是正数，∴y与x之间的函数关系用图象表
示是反比例函数在第一象限内的部分,故选 A.
3. A 当AC经过点 D时,如图所示.
∵△ABC 为等边三角形,∴∠DCE=60°,∵DE= ,∠DEC=90°, 当AB 经过点 D时，如图所示.
∵∠B=60°,DE= ,∴ BE=1,∴EC=BC-BE=4-1=3.
①当0≤x≤1时,如图所示.
此时EC=x,∠HCE=60°,
②当1
③当3＜x≤4时,如图所示.
此时 ∴CR=1,∵ EC=x,∴ER=DI=x-1,BE=BC-EC=4-x ，=x-3,观察选项，只有A 选项中图象符合，故选 A.
4. B 如图,作 CH⊥AB 于点 H,∵AB=2,△ABC 是等腰直角三角形,∴CH=1.
当0≤x≤1时,
当1
5.解析
(2)函数图象如图所示：
(3)①增大.
②上;1.
③(0,1).
巩固练习
1. A 在注水过程中，水面高度 h 随时间t的变化规律：最初 h 升高的速度较慢，然后h 升高的速度变快，最后h升高的速度更快，由此说明从下到上，容器的底面半径依次减小，故选 A.
2. A 由题意得甲在出发 1小时后停留0.5小时，这段时间其路程不变，故排除选项 B、D；由题意得乙跑至终点C用时 小时，故排除选项C,故选 A.
3. B 由题意得 故 均全等.在 中, 则 故 故选 B.
4.解析 (1)列表如下:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … -1 - -3 0 3 1 …
函数图象如图所示：
(2)根据图象可知：
当 时，函数有最大值3；当 -1时，函数有最小值
(3)证明: 是函数图象上的点， 和x 互为相反数.
①当 时,
②当 时,
③同理，当 时,
综上所述，
思路分析
(1)选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在坐标系中描点，画出图象即可；(2)观察图象可得函数的最大值与最小值;(3)根据 得到x 和x 互为相反数，分 三种情况验证
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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