汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试
数学（理科）
本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量，，若与共线且同向，则实数的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 或4
4. 已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（ ）
A. 67.5π B. π C. π D. π
5 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 将数据 这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“”否定形式是“”
D. “”是“”的充分不必要条件
8. 已知双曲线一条渐近线的斜率为2，则（ ）
A. －4 B. 4 C. D.
9. 下列函数中，既是偶函数，又在上是增函数是（ ）
A. B. C. D.
10. “欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则使得函数单调递增的区间的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 如图，已知抛物线E：的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.
14. 函数，则__________.
15. 已知中，，，，则的外接圆面积为___________.
16. 已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知等差数列的前n项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
18. 佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：
年度 2018 2019 2020 2021
年度序号 1 2 3 4
不戴头盔人数 1250 1050 1000 900
（1）请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号之间的回归直线方程，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；
（2）交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？
不戴头盔 戴头盔
伤亡 7 3
不伤亡 13 27
参考公式：
其中
19. 如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面上的射影为边的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
20. 已知椭圆：经过点，点为椭圆C的右焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作两条斜率都存在且不为的互相垂直的直线，，直线与椭圆相交、，直线与椭圆相交、两点，求四边形的面积S的最小值.
21. 已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程的根为、，且，求证：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．
[选修4－4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系：中曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求的参数方程；
（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，将曲线、的方程转化为极坐标方程后，求．
[选修4－5：不等式选讲]
23. 设函数
（1）当时，解不等式；
（2）若存在，使得成立，求a的取值范围.
汉中市2024届高三年级教学质量第一次检测考试
数学（理科）
本试卷共23小题，共150分，共4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内．
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑．
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将集合化简，再结合集合的交集运算即可得到结果.
【详解】将集合化简可得，
则
故选:A
2. 已知，则复数z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的四则运算及定义计算即可.
【详解】由可得，即虚部为.
故选：A
3. 已知向量，，若与共线且同向，则实数的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D. 或4
【答案】C
【解析】
【分析】通过向量共线且同向，即可求出实数的值.
【详解】由题意，
，，
∵与共线且同向
∴，解得或，
当时，与共线且反向，舍去，
故选：C．
4. 已知一平面截某旋转体，截得的几何体的三视图如图，则该截得几何体的体积为（ ）
A. 67.5π B. π C. π D. π
【答案】A
【解析】
【分析】将两个几何体合并成一个完整的圆柱，再计算体积即可.
【详解】将两个几何体可以合并成一个完整的圆柱，则体积为.
故选：A
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合二倍角公式与同角三角函数关系，构造齐次式即可求解.
【详解】．
故选：D.
6. 将数据 这五个数中随机删去两个数，则所剩下的三个数的平均数大于5的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出所有的随机删去两个数的方法，再求出剩下数据的平均数大于5的删去方法，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.
【详解】从5个数中随机删去两个数有 共10种方法，
要使剩下数据的平均数大于5，删去的两个数可以是共有4种，
所以剩下数据的平均数大于5的概率为，
故选：C
7. 下列说法正确的是（ ）
A. “”是“”的充要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. 命题“”的否定形式是“”
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的性质判断A的正误，利用正切函数的性质判断B的正误，利用命题的否定形式判断C的正误，利用对数的定义判断D的正误.
【详解】对A，若中，时也成立，故A错；
对B，当时，，故，
若，则，故B对；
对C，存在量词命题的否定是，故C错；
对D，若均为负数，则无意义，故D错.
8. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为2，则（ ）
A －4 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用双曲线的方程求解渐近线，求出的值.
【详解】根据,得到,
则焦点在轴，故渐近线为，
则，故.
故选：A
9. 下列函数中，既是偶函数，又在上是增函数的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用奇偶性的定义判断函数奇偶性，判断AD错误，结合常见基本初等函数的单调性判断B错误，C正确即可.
【详解】选项A中，，定义域R，，则是奇函数，不符合题意；
选项D中，，定义域R，，则是奇函数，不符合题意；
选项B中，，定义域R，，则是偶函数，但二次函数在上是减函数，在上是增函数，故不符合题意；
选项C中，，定义域为，，则是偶函数.当时，是减函数，所以由偶函数图象关于y轴对称可知，在上是增函数，故符合题意.
故选：C.
【点睛】方法点睛：
定义法判断函数奇偶性的方法：
（1）确定定义域关于原点对称；
（2）计算；
（3）判断与的关系，若，则是偶函数；若，则是奇函数；若两者均不成立，则是非奇非偶函数.
10. “欢乐颂”是音乐家贝多芬创作的重要作品之一.如图，如果以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点恰好在函数的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则使得函数单调递增的区间的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知得出函数的周期，求出，根据点的坐标，结合的取值范围，求出的值.然后得出函数的单调区间，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，所以，，.
又图象过点，所以有，
所以，.
因为，所以，
所以，所以，.
由可得，，
所以，函数的单调递增区间为.
当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为；
当时，单调递增区间为；
对于A项，，故A项错误；
对于B项，因为，故B项正确；
对于C项，因为，故C项错误；
对于D项，因为，故D项错误.
故选：B.
11. 如图，已知抛物线E：焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，轴于点N.若四边形的面积等于8，则E的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据求出的坐标，然后得的方程，令，得的坐标，利用直角梯形的面积求出，可得抛物线方程.
【详解】易知，直线AB的方程为，四边形OCMN为直角梯形，且.
设，，，则，
所以，所以，，∴.
所以MC直线方程为，∴令，∴，∴.
所以四边形OCMN的面积为，∴.
故抛物线E的方程为.
故选：B.
12. 已知函数，若是在区间上的唯一的极值点，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数导数，由题可知需使得在上没有变号零点，因此分离参数，令，利用导数求得其最小值，则可得，即可求得答案.
【详解】由题意得，
由题意可得是函数在区间上唯一变号的零点，
令，则需满足在上没有变号零点；
令，得，令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时取得最小值，其大致图象如图：
要使没有变号零点，则需，即，即实数k的取值范围是.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题考查的时根据函数在区间上有唯一的极值点，求参数的范围，那么要满足这一点，解答的关键在于求出导数后，需使得 在上没有变号零点，由此转化为函数的最值问题解决.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用通项公式即可得出．
【详解】解：（1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1（3x）r＝3rxr．
∵含有x2的系数是54，∴r＝2．
∴54，可得6，∴6，n∈N*．
解得n＝4．
故答案为4．
【点睛】本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14. 函数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，结合对数运算，求得所求表达式的值.
【详解】依题意
.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查分段函数求值，考查对数运算，属于基础题.
15. 已知中，，，，则的外接圆面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理求解边长，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可得外接圆面积.
【详解】解：根据题意，由余弦定理可得
，
该的外接圆的半径为r，
则由正弦定理得：.
故答案为：.
16. 已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据球的性质，结合导数的性质、棱锥的体积公式、球的表面积公式进行求解即可.
【详解】因为，所以正三棱锥外接球半径，
如图所示，设外接球圆心为O，过向底面作垂线垂足为D，，
要使正三棱锥体积最大，则底面与在圆心的异侧，
因为是正三棱锥，所以D是的中心，
所以，
又因为，所以，
，
所以，
令，
解得或，
当，；当，，
所以在递增，在递减，
故当时，正三棱锥的体积最大，此时正三棱锥的高为，
故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为.
故答案为：
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17. 已知等差数列的前n项和为，且满足，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列前项和以及通项公式结合已知联立方程组，求出基本量即可.
（2）由分组求和法以及等比数列公式法即可求解.
【小问1详解】
设公差为d，依题意得,解得,
所以，．
【小问2详解】
因为， ，
所以
．
18. 佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：
年度 2018 2019 2020 2021
年度序号 1 2 3 4
不戴头盔人数 1250 1050 1000 900
（1）请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号之间的回归直线方程，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；
（2）交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？
不戴头盔 戴头盔
伤亡 7 3
不伤亡 13 27
参考公式：
其中
【答案】（1），775
（2）能有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，理由见解析.
【解析】
【分析】（1）先求出与，代入公式后求出，，得到回归直线方程；（2）代入公式求出，与比较，显然有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关.
【小问1详解】
，，，，回归直线方程为
时，
【小问2详解】
，故有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关，
19. 如图，在斜三棱柱中，是边长为4的正三角形，侧棱，顶点在平面上的射影为边的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先证明出面，利用面面垂直的判定定理即可证明；
（2）以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.
【小问1详解】
因为是边长为4的正三角形，边的中点，所以.
因为顶点在平面上的射影为，所以平面,.
因为面，面，,
所以面.
所以面，所以平面平面.
小问2详解】
以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系.
因为是边长为4的正三角形，为边的中点，
所以.
在直角三角形中，.
所以，，，，.
所以,.
在三棱柱中，由，可求得：.
同理求得：.
所以，,.
设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量.
因为，即，不妨设，则.
同理可求：.
设为二面角的平面角，由图可知：为锐角，
所以.
即二面角的余弦值为.
20. 已知椭圆：经过点，点为椭圆C的右焦点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作两条斜率都存在且不为的互相垂直的直线，，直线与椭圆相交、，直线与椭圆相交、两点，求四边形的面积S的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列式求出可得椭圆C的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出和，求出后，根据基本不等式求出最值可得解.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
设直线的方程为，
联立得：，,
设，，则，，
所以
，
同理可得，
则，
当且仅当，即时取等号.
所以四边形的面积S的最小值为.
21. 已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程的根为、，且，求证：．
【答案】（1）单调递减区间为，无单调递增区间；
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出的解析，从而求出导函数，即可得到函数的单调区间；
（2）求导分析的单调性，，推出，设直线与的交点的横坐标为，则，证明当时，，即可得证．
【小问1详解】
解：因为，，
所以定义域为，
，
所以在上单调递减，即的单调递减区间为，无单调递增区间；
【小问2详解】
证明：，，
当时，当时
所以在上是单调递减，在上单调递增，则，
当时，，所以，且，
当时，，所以，即，
设直线与的交点的横坐标为，则，
下面证明当时，，
设，
，
则，
当时，，当时，，
所以在上是减函数，在上增函数，
又因为，，
所以当时，，，
故当时，，
设直线与的交点的横坐标为，则，
所以，得证．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．
[选修4－4：坐标系与参数方程]
22. 在直角坐标系：中曲线的参数方程为（为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．
（Ⅰ）求的参数方程；
（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，将曲线、的方程转化为极坐标方程后，求．
【答案】（Ⅰ）（为参数）．（Ⅱ）2
【解析】
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程和直角坐标方程进行转换．
（Ⅱ）利用极径的应用和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
【详解】解：（Ⅰ）设由于点满足，所以，由于点在上，
所以，整理得的参数方程（为参数）．
（Ⅱ）曲线的参数方程转换为极坐标方程为，曲线的参数方程转换为极坐标方程为，
直线转换为极坐标方程为．
所以，解得，
同理，解得，
故．
【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用，其中涉及到轨迹方程的求解、极坐标中两点间的距离求解，难度一般.极坐标系中，极角相同的两点间的距离等于极径差的绝对值.
[选修4－5：不等式选讲]
23. 设函数
（1）当时，解不等式；
（2）若存在，使得成立，求a的取值范围.
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）当时，利用零点法进行分类，求出不等式的解集；
（2）若存在，使得成立，即，
根据之间的大小关系，进行分类，最后求出的取值范围.
【详解】解：（1）当时，，或或，即，或，或，即或.
（2）即，
当时，恒成立；
当时，，
可知，得；
当时，，
同理，得.
综上，的取值范围为.
【点睛】本题考查了解绝对值不等式，考查了不等式存在性问题，正确的分类是解题的关键.
