人教B版（2019）必修第一册《3.2 函数与方程、不等式之间的关系》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在下列区间中，函数的零点所在的区间为
A. B. C. D.
2.（5分）函数的零点所在的大致区间是
A. B. C. D.
3.（5分）设是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内，函数，恰有个零点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
4.（5分）已知函数在区间有三个零点，，，且，若，则的最小正周期为
A. B. C. D.
5.（5分）函数的零点所在区间为
A. B.
C. D.
6.（5分）函数的零点一定位于区间
A. B. C. D.
7.（5分）函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
8.（5分）用二分法求方程的近似解，求得的部分函数值数据如表所示：
则当精确度为时，方程的近似解可取为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知函数对于任意，均满足当时若函数，下列结论正确的为
A. 若，则恰有两个零点
B. 若，则有三个零点
C. 若，则恰有四个零点
D. 不存在使得恰有四个零点
10.（5分）已知函数，则
A. 函数是奇函数
B. 函数在上单调递增
C. 函数的值域是
D. 方程有三个实数根
11.（5分）是定义在上的偶函数，对，均有，当时，，则下列结论正确的是
A. 函数的一个周期为
B.
C. 当时，
D. 函数在内有个零点
12.（5分）下列关于函数零点的论述中，正确的是
A. 函数的零点是
B. 图像连续的函数在区间内有零点，则
C. 二次函数在时没有零点
D. 设函数，则零点的个数为
13.（5分）关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是
A. “二分法”求方程的近似解一定可将在内的所有零点得到；
B. “二分法”求方程的近似解有可能得不到在内的零点；
C. 应用“二分法”求方程的近似解，在内有可能无零点；
D. “二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解；
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知函数，，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________________.
15.（5分）方程的解为 ______ ．
16.（5分）若关于的方程有实数解，则实数的取值范围是 ______ ．
17.（5分）已知，设，若，则的取值范围是______．
18.（5分）已知函数的图象是如图所示的折线段，其中，，，则______函数零点的个数为______
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数，．
求函数在区间上的最大值与最小值；
求函数的零点；
求函数在区间上的值域．
20.（12分）已知函数，，定义函数．
设函数，，求函数的解析式；
在的条件下，，函数有三个不同的零点，求实数的取值范围；
设函数，，函数，求函数的最小值．
21.（12分）已知函数
若，求在上的最大值；
已知函数，若存在实数使得函数有三个零点，求实数的取值范围．
22.（12分）已知函数是偶函数．
求的值；
设函数，若恒成立，求实数的取值范围．
设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．
23.（12分）已知
当时，求函数的零点；
若有零点，且，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】
此题主要考查函数的零点存在性定理，属于基础题.
由函数零点存在性定理即可得出零点所在区间.
解：，
，
，
函数的零点所在的区间为
故选
2.【答案】D;
【解析】解：由于函数在上是增函数，
，，，
故函数的零点所在的大致区间是，
故选：．
由于函数在上是增函数，，，由此得出结论．
该题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．
3.【答案】D;
【解析】解：是定义在上的偶函数，
，
又，
即
，
则函数是以为最小正周期的函数，
当时，，
是定义在上的偶函数，
当时，，
结合题意画出函数
在上的图象
与函数的图象，
结合图象分析可知，
要使与的图象，
恰有个交点，
则有或，
解得或，
即的取值范围是．
故选：．
由是定义在上的偶函数，且，推出函数是以为最小正周期的函数，结合题意画出在区间内函数和的图象，注意对讨论，分，，结合图象即可得到的取值范围．
这道题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用，同时考查数形结合的数学思想方法，以及对底数的讨论，是一道中档题．
4.【答案】C;
【解析】解：当时，，
由对称轴可知，满足，
即．
同理，满足，
即，
，
，
最小正周期为，
故选：．
直接利用正弦型函数的性质的应用，函数的对称性和函数的零点的应用求出结果．
该题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，函数的零点的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5.【答案】B;
【解析】解：，，
由函数零点的存在性定理，函数的零点所在的区间为
故选：
由函数零点的存在性定理，结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可．
该题考查函数零点的判定定理的应用，属基础知识、基本运算的考查．
6.【答案】C;
【解析】解：当时，，
当时，，
即，
又函数为连续函数且单调递增，
故函数的零点一定位于区间，
故选：．
根据函数零点存在定理，若若在区间上存在零点，则，根据函数零点存在定理，对四个答案中的区间进行判断，即可得到答案．
该题考查的知识点是零点存在定理，我们求函数的零点通常有如下几种方法：解方程；利用零点存在定理；利用函数的图象；当函数的解析式已知时如本题，我们常采用零点存在定理．
7.【答案】B;
【解析】解：函数的图象如图：
，当且仅当时取等号，
函数与在有解，而且看作向左平移而得，，可得切点横坐标为：，即，
此时取得最小值：，解得．
函数与的图象上存在关于轴对称的点，
所以实数的取值范围是：．
故选：．
画出函数的图象，求出函数的最小值，利用已知条件转化列出不等式求解即可．
该题考查函数的零点，函数的图象的画法，考查数形结合以及转化思想的应用．
8.【答案】C;
【解析】
由二分法及函数零点的判定定理可知，属基础题 .
由表格数据，得该函数的零点在之间，从而可得出答案 .
解：由表格可得，函数的零点在之间；结合选项可知，方程方程的近似解可取为精确度为可以是；故选：
9.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了由函数零点个数求参数，考查了函数的零点的个数转化为函数图象的交点个数，属于中档题．
由知关于对称，再将函数的零点个数问题转化为与函数的图象的交点个数问题，利用函数与函数相切时的的值可解决．
解：根据知关于对称，
作出函数与函数的图象如图：
设与相切时的切点为，
则，解得，此时，
若，则恰有个零点，故正确；
当过点时，，故时，有个零点，故选项正确；
当，恰有个零点，故选项正确、选项错误；
故选：
10.【答案】ABD;
【解析】解：对，对于任意，故正确；
对，对于函数，当 时，，
可知在上单调递增，又因为函数为奇函数，
所以函数在上单调递增，故正确；
对，当时，
当时，，
，，
又因为函数为奇函数，函数的值域为，故不正确；
对 ，当时，方程显然成立，所以是方程的解，
当时，方程，
可知时，与有一个交点，
在时有一个正根，
又因为是奇函数，也是奇函数，故在时有一个负根．
故正确．
故选：
对 ，对于任意，；
对 ，当时，为单调递增函数，又因为函数 为奇函数，所以函数在上单调递增；
对 ，当时，当 时，，又因为函数为奇函数，函数的值域为；
对 ，当时，是方程的解，当时，在有一个正根，在时有一个负根．
此题主要考查函数的性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】AC;
【解析】
本题以函数关系式和对数函数为背景，考查函数的奇偶性、周期性及函数的零点，属于中档题.
依题意分析出函数的周期，从而判断，即可判断，，
解：是定义在上的偶函数，对，均有，
，
故函数的周期为，且的图象关于点对称，故选项正确；
由，故选项错误；
当时，，
则，故选项正确；
易知，
于是函数在内有个零点，故选项错误.
故选
12.【答案】CD;
【解析】
中，的零点是，故错；中，是连续函数在内有零点的充分不必要条件，故错；
显然是正确的；中，令，则，
令，，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像，如图所示，两个函数图像的交点个数就等于函数零点的个数，容易看出函数零点的个数为是正确的．故选，
13.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了用二分法求方程的近似解，属于基础题.
根据零点存在定理和二分法求方程近似解的方法，逐一分析判断即可.
解：如函数的零点，不可以用二分法来得到，错误，正确.
应用“二分法”求方程的近似解，首先函数在内满足零点存在性定理，即在内有零点，错误；
“二分法”求方程的近似解可能得到在内的精确解，正确.
故选或
14.【答案】;
【解析】
此题主要考查函数零点存在性定理，关键是由，利用方程和函数之间的关系，
转化为求函数的极值问题，利用数形结合即可得到结论．
解：由 ， 即 ，
当 时 ，，则 ， 由 ， 解得 ，
当 时 ， 函数 取得极小值 ，
当 时 ，，作出函数 的图象 ，
由图象可知 ， 要使 有恰有两个不同的交点，
则满足 或或 ，
即 或 或 ，
故答案为
15.【答案】-1;
【解析】解：．
，，解得．
故答案为：．
化简方程为的二次方程，然后求解即可．
该题考查函数的零点与方程根的关系，考查计算能力．
16.【答案】;
【解析】
该题考查了根的存在性问题，函数值域的计算，属于中档题．
令，则关于的方程在上有解，求出右侧函数的值域即可得出的范围．
解：有得，
令，则，．
令，则在上单调递增，
，，
关于的方程有实数解，
关于的方程在上有解，
．
故答案为．
17.【答案】（，2];
【解析】解：作出函数的图象，
当时，若；
则；
由图象可知
故答案为：
作出函数函数的图象，利用图象和条件确定出，的范围，将转化为的形式，再将代入；
这道题主要考查函数交点的应用，利用数形结合是解决本题的关键，转化为二次函数是本题的突破口，属于中档题．
18.【答案】2 ; 2 ;
【解析】解：由图可知，，，
函数的零点个数即为函数与函数的交点个数，由图象可知，有两个交点，即有两个零点．
故答案为：，．
观察图象即可得解．
该题考查函数的图象表示，考查识图读图能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）因为对数函数t=lox是增函数，
在区间[1，32]上，x=1时，t有最小值lo1=0，
x=32时，t有最大值lo32=5……………（4分）
（2）令，
解得t=2或t=4……………（5分）
t=2时，lox=2，x=4，
t=4时，lox=4，x=16……………（7分）
因此函数f（x）的零点为x=4和x=16……………（8分）
（3）……………（9分）
由（1）得0≤t≤5，所以t=3时，f（x）有最小值-1……………（10分）
所以当t=0时，f（x）=8，当t=5时，f（x）=3，……………（11分）
因此，函数f（x）的值域为[-1，8]……………（12分）;
【解析】
根据函数的单调性求出函数的最大值和最小值即可；
令，解方程，求出函数的零点即可；
根据对数函数以及二次函数的性质求出函数的值域即可．
该题考查了函数的单调性，最值问题，考查对数函数以及二次函数的性质，考查换元思想，转化思想，是一道中档题．
20.【答案】解：（1）∵（x）=x+3，，
当（x）≤（x）时，即x+3≤-x，-2x-3≥0，x≥3或x≤-1，
当（x）＞（x）时，同理可得-1＜x＜3，
当．
（2）函数h（x）=f（x）-g（x）有三个不同的零点，
即方程f（x）=g（x）有三个不同的实数根，
∵函数，函数g（x）=mx+2（m∈R），
∴mx+2=x+3在x≤-1或x≥3上恰有一个实数解，
mx+2=-x在-1＜x＜3上恰有两个不同的实数解，
当mx+2=x+3时，（m-1）x=1，x≥3，则，∴；
x≤-1，则，∴m∈[0，1），
∴．
当mx+2=-x时，设函数ω（x）=-（m+1）x-2，
由题意可得，∴，∴，
综上，m的取值范围为．
（3）F（x）=（x）+（x）=+|x-a|-2
==．
①若a＞，则函数F（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，
此时，函数F（x）的最小值为；
②若，则函数F（x）在（-∞，a）上是单调减函数，在（a，+∞）上是单调增函数，
此时，函数F（x）的最小值为F（a）=-2；
③若，则函数F（x）在上是单调减函数，在上是单调增函数，
此时，函数F（x）的最小值为；
综合①②③，得．;
【解析】
根据，，由求出的解析式；
函数有三个不同的零点，即方程有三个不同的实数根，然后分类讨论求出的范围；
根据条件求出的解析式，然后分，和三种情况求出的最小值．
该题考查了函数解析式的求法，函数的零点与方程根的关系和函数的最值及其几何意义，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
21.【答案】解：，
当则；
当，则，
综上，。
有三个零点有三个不同实根
函数与直线有三个不同的交点，
令，
则，
①当时，在上递增，在上递减，在上递增
，即；
②当时，在上递增，在上递减，在上递增
，
即，
综上，实数的取值范围为;
【解析】此题主要考查绝对值函数求最值及函数的零点与方程的根之间的关系，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题.
根据绝对值的意义去绝对值得到函数解析式，然后讨论最大值可得；
利用方程的根与函数零点的关系，对分类讨论结合函数图像与轴交点横坐标关系，数形结合可得.
22.【答案】解：（1）∵函数是偶函数，
∴==f（x），
整理得：（2k+1）x=0，又x不恒为0，
∴k=-；
（2）∵=+x=，
∴恒成立 ＞恒成立 4x+1＞2x+t恒成立，
∴t＜=，
即实数t的取值范围为（-∞，）．
（3）f（x）=lo（4x+1）-x=lo（4x+1）-lo=lo（2x+2-x），
若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，只需方程lo（2x+2-x）=lo（a 2x-a）有且只有一个实根，即方程2x+2-x=a 2x-a有且只有一个实根．
令t=2x＞0，则方程（a-1）-at-1=0有且只有一个正根．
①a=1时t=-，不合题意；
②若△=0则a=或者a=-3；
若a=，则t=-2，不合题意；
若a=-3则t=，符合题意；
③若△＞0，则方程有两根，显然方程没有零根．
所以依题意知，方程有一个正根与一个负根，即-＜0，解得a＞1，
综上所述：实数a的取值范围是{-3}∪（1，+∞）．;
【解析】
利用偶函数的定义即可求得的值；
恒成立恒成立恒成立，分离参数，即可求得实数的取值范围；
与的图象有且只有一个公共点，等价于只需方程有且只有一个实根，即方程有且只有一个实根，换元转化，令，则方程有且只有一个正根，对系数讨论，即可求得实数的取值范围．
该题考查函数恒成立问题，考查了函数奇偶性的判断以及借助于方程根的问题解决图象交点问题，考查等价转化思想与分类讨论思想，运算量大，属于难题．
23.【答案】解：时，，
令，得：，
，，
故函数的零点是；
若有零点，
则，
，
，
，
，
，
，
故的范围是．;
【解析】
令，求出函数的零点即可；
求出的范围，从而求出的范围．
该题考查了函数的零点问题，考查二次函数以及指数函数的性质，考查转化思想，是一道中档题．
