数学评分标准
一、单选题 BABC
二、多选题 9.AB 10. 11.ACD 12.
三、填空题 13. 14. 15. 16.．
四、解答题
17.解：原式．-----5分
原式．----10分
18.解：函数为奇函数．
证明如下：易知的定义域为，
因为，所以为上的奇函数.------------------4分
，是奇函数且在定义域上单调递增．
不等式有解即有解，
由的奇偶性可知进一步等价于有解，
由的单调性可知进一步等价于有解，
即不等式有解． ---------------------------------8分
因为，所以，，所以的取值范围是，---10分
所以，即，
所以实数的取值范围是． --------------------------12分
19.解：由，，
知，当且仅当时，取到最小值；----------3分
由，，
知,当且仅当时，取到最小值； ---------------4分
由，，
知；
当且仅当时，取到最小值． --------------------------------------------------5分
20.解：令，有，
再令，，又， ----------------2分
为上的单调递减函数. -------------------------------3分
证明如下：
设且，令，
，=，，
综上，为上的单调递减函数 ----------------------------------7分
令，结合，得， --------------------------8分
所以，原不等式化为：，
令，，， -------------------------9分
令，得，
又，， --------------------------10分
为上的单调递减函数，，解集为 ----------------------12分
21.解：若是“不动点”函数，则令，
解得，
故是“不动点”函数，且不动点为和； ------------------------------2分
由是的次不动点知，，
所以或，
因为，所以，
故实数的值为； ---------------------------------4分
由在上仅有一个不动点知，在上仅有一解， 即，
所以在上仅有一解， -----------5分
令，，
设为区间上的任意两个值，且，则
， ----------------7分
由且函数为上的单调增函数知，，
则，则，即，
则为上的单调增函数， ---------------------9分
则有，所以； -----------10分
由在上仅有一个次不动点知，
在上仅有一解，即，
等价于在上仅有一解， ---------------------11分
由为上的单调增函数知其值域为，所以；
综上所述，实数的取值范围为 ---------------------12分
22.解：，且，， -------------1分
，从而； ---------------------2分
由知，所以方程可化为：，
即， -----------------------------3分
于是问题转化为的图象与直线有交点， -----------4分
令，则可化为， -----------5分
当时，，当时，，
所以实数的取值范围是； -----------------------6分
由题意可知 --------------------7分
函数的反函数，
，
令，，则，对称轴方程为， --------------------8分
若，即时，当时，，
此时，在上为减函数，，
由可得，不合题意，舍去； ---------------------------------9分
若，即时，时，，
此时，在上的最大值，
由和可得； ----------------------------10分
若，即时，当时，，
此时，在上为增函数，，
由和可得； -------------------11分
综合可知或所以，
即实数的取值范围是 ------------------------------------12分夏津育中万隆中英文高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题
本试卷共2页，22小题，满分150分，考试时间120分钟.
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则集合的真子集个数为
A. B. C. D.
2.设>0，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是
A. B. C. 或 D. 或
3.近日，华为在官方网站发布了手机，其中大部分件已实现国产化，技术更是遥遥领先，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当信噪比比较大时，公式中真数中的可以忽略不计按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从提升至，则大约增加了参考数值：，本题可认为信噪比比较大
A. B. C. D.
4.若，，，则、、的大小关系是
A. B. C. D.
5.已知函数是定义在上的单调递增函数，且满足对任意的实数都有，则的最小值为
A. B. C. D.
6.已知，且，则的最小值是
A. B. C. D.
7.已知是方程的一个根，则的值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若有四个不等实根，且，求的取值范围
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.若，使得成立是假命题，则实数可能的取值是
A. B. C. D.
10.已知，，，则
A. B. C. D.
11.波恩哈德黎曼是德国著名的数学家他在数学分析微分几何方面作出过重要贡献，开创了黎曼几何并给后来的广义相对论提供了数学基础他提出了著名的黎曼函数，该函数的定义域为，其解析式为：，下列关于黎曼函数的说法正确的是
A. B.无最小值 C. D.
12.已知正数，，满足，，且，记，，则下列说法正确的是
A. 若，则，都有
B. 若，则，都有
C. 若，则，都有
D. 若，则，都有
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.方程的一根大于，一根小于，则实数的取值范围是 ．
14.下列判断正确的是 把正确的序号都填上．
函数与是同一函数；
若函数在区间上递增，在区间上也递增，则函数必在上递增；
对定义在上的函数，若，则函数必不是偶函数；
函数在上单调递减；
15.已知函数，设，若，则的取值范围是 ．
16.已知函数在上是偶函数，对任意都有：，，且时，，给出如下命题：
函数在上为增函数； 直线是图象的一条对称轴；
点是的对称中心； 函数在上有四个零点．
其中所有正确命题的序号为 ．
四、解答题（本大题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
计算：；
计算：．
18.本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性并加以证明
若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
19.本小题分
某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：
例：求函数的最小值．
解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值．
老师请你模仿例题，研究函数的最小值
提示：基本不等式，
求函数的最小值；
当时，求函数的最小值．
20.本小题分
满足对一切，且；当时，有．
求的值；
判断并证明在上的单调性；
解不等式．
21.本小题分
布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点现新定义：若满足，则称为的次不动点．
判断函数是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说明理由；
已知函数，若是的次不动点，求实数的值；
若函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数的取值范围．
22.本小题分
函数，且，函数．
求的解析式；
若关于的方程在区间上有实数根，求实数的取值范围；
设的反函数为，，，若对任意的，均存在，满足，求实数的取值范围．
