2023—2024学年度上学期2023级（高一）分科指导考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，只有一项符合题目要求）.
1. 概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关系对学习数学十分重要．现有如下三个集合，{钝角}，{第二象限角}，{小于180°的角}，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
6. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增函数是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于成中心对称
B. 函数（且）的图象一定经过点
C. 函数的图象不过第四象限，则的取值范围是
D. 函数（且），，则的单调递减区间是
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 函数的最小值为16
C. 若，则最大值为
D. 若，，，则的最大值为
12. 设函数，集合，则下列命题正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时
C. 若，则k的取值范围为
D. 若（其中），则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 __________.
14. 已知函数奇函数，当时，，则__________.
15. 血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般不低于，在以下为供氧不足.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为80.若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要__________小时（取，，）
16. 已知函数满足，函数，若，则__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 化简求值：
（1）；
（2）.（为自然对数底数）
18. 已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.
（1）求集合、；
（2）若，求实数的取值范围
19. 已知，．
（1）求的值；
（2）若，试比较与大小．
20. 已知函数满足，当时，成立，且．
（1）求，并证明函数的奇偶性；
（2）当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21. 给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为. 在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定.
已知二次函数满足，且______.
（1）求的解析式；
（2）若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.
22. 若是奇函数．
（1）求，的值；
（2）已知，，使在区间上的值域为，求实数的取值范围．
2023—2024学年度上学期2023级（高一）分科指导考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，只有一项符合题目要求）.
1. 概念是数学的重要组成部分，理清新旧概念之间的关系对学习数学十分重要．现有如下三个集合，{钝角}，{第二象限角}，{小于180°的角}，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用钝角和第二象限角的定义即可判断.
【详解】钝角是大于，且小于的角，一定是第二象限角，故；
第二象限角的范围是，即第二象限角不一定小于，
故ABD错误，C正确；
故选：C
2. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据充分必要条件的定义结合三角函数从而得到答案．
【详解】推不出，所以“”是“”非充分条件，
推出，“”是“”必要条件.
故选：．
【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了三角函数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，是一道基础题．
3. 函数的单调递减区间为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复合函数单调性的判断方法，结合对数函数和二次函数的单调性，即可求得结果.
【详解】由，即，解得的定义域为，
又在单调递减，在单调递增；在单调递增，
故在单调递减，在单调递增.
故选：C.
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的定义域可排除B，再利用特殊值的函数值的符号即可排除AC.
【详解】解：，则，
所以函数的定义域为，故排除B；
当时，，故排除A；
，故排除C.
故选：D.
5. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.
【详解】因为，所以，
又因为，所以.
所以.
故选：B.
6. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 ，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为 时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．
【详解】与所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，
设与所在扇形圆心角分别为，
则 ，又，解得
故选:A
【点睛】本题考查圆与扇形面积计算，难度较易．扇形的面积公式：，其中是扇形圆心角的弧度数，是扇形的弧长．
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】变形得到，构造，由函数单调性得到.
【详解】变形为，
构造，显然在上递增，
又，所以.
故选：C.
8. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】使用定义判断每个函数的奇偶性，并利用常见函数的单调性判断每个函数的单调性.
【详解】对于A：，故为奇函数，在均为增函数，故在区间上单调递增，所以A正确；
对于B：，，故在区间上不是单调递增，故B错误；
对于C：故为奇函数，在均为增函数，故在区间上单调递增，所以C正确；
对于D：，在区间上单调递减，所以也是递减，故D错误；
故选：AC.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的图象关于成中心对称
B. 函数（且）图象一定经过点
C. 函数的图象不过第四象限，则的取值范围是
D. 函数（且），，则的单调递减区间是
【答案】AD
【解析】
【分析】根据分式分离得，结合反比例函数的图象性质即可得的对称中心，从而判断A；由指数函数的定点可得函数的定点，从而判断B； 由指数函数的图象平移可得函数的图象不过第四象限时的取值范围，从而判断C；利用复合函数单调即可判断D.
【详解】函数，其图象是由反比例函数的图象向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到，
故函数的图象关于成中心对称，故A正确；
当时，，则函数（且）的图象一定经过点，故B错误；
由指数函数的图象可得函数的图象不过第四象限，则，所以的取值范围是，故C错误；
函数中，，又且，所以，则，
由于函数，单调减区间为上，单调增区间为，函数在上单调递减，
则函数的单调递减区间是，故D正确.
故选：AD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数的最大值为
B. 函数的最小值为16
C. 若，则最大值为
D. 若，，，则的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】举反例可判断A项，运用“1”的代换及基本不等式可判断B项，由代入，转化为求二次函数的最大值可判断C项，计算，再结合即可判断D项.
【详解】对于A项，当时，，故A项不成立；
对于B项，因为，
当且仅当，即，时取等号，
所以函数的最小值为16，故B项正确；
对于C项，因为，所以，
所以，
所以当时，取得最大值为，故C项正确；
对于D项，因为，，，所以，
所以，当且仅当时取等号，
即，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故D项正确.
故选：BCD.
12. 设函数，集合，则下列命题正确的是（ ）
A. 当时，
B. 当时
C. 若，则k的取值范围为
D. 若（其中），则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A解一元二次方程直接求解集即可；B由题设易知集合中方程无解即可判断；C、D画出的图象，令根据二次函数的性质及所得的图象判断正误即可.
【详解】A：时，或，结合解析式：时有或，时有，所以，正确；
B：时，方程无解，则，正确；
由解析式可得其函数图象如下图示：
令，开口向上且对称轴为，
若，则，即，有以下情况：
1、，：
此时，令，则在上有一个零点，
∴，可得，
2、，，由A知：.
综上：，故C错误；
若，由函数的性质及图象知：必有，.
此时，，，
所以，，所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：C、D选项中，画出大致图象，结合二次函数的性质判断给定集合对应的的可能取值，再结合图象判断正误.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. __________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据指数幂以及根式的运算即可求解.
【详解】原式为
.
故答案为：
14. 已知函数为奇函数，当时，，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】运用奇函数性质可求得当时，，再运用奇函数定义即可求得结果.
【详解】因为函数为奇函数，
所以，解得，
所以当时，，
所以，
所以.
故答案为：.
15. 血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数.正常人体的血氧饱和度一般不低于，在以下为供氧不足.在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度（单位：%）随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为80.若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间至少还需要__________小时（取，，）
【答案】0.64
【解析】
【分析】先根据给氧1小时后，血氧饱和度得到方程，求出，再根据，求出，从而得到答案.
【详解】由题意知，，
当时，，得，
，
要使血氧饱和度达到正常，即需：，即：，
化简得：，
所以得：.
因为已经给氧1小时，所以还需要继续给氧时间至少为0.64小时.
故答案为：0.64
16. 已知函数满足，函数，若，则__________.
【答案】2020
【解析】
【分析】根据，即可结合对数的运算性质得，即可得求解.
【详解】依题意得，
设，则，
，
即，所以.
故答案为：2020
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 化简求值：
（1）；
（2）.（为自然对数的底数）
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式即可结合特殊角的三角函数值即可求解，
（2）根据对数的运算法则即可求解.
【小问1详解】
原式
.
【小问2详解】
原式
.
18. 已知函数的定义域为集合，函数的值域为集合.
（1）求集合、；
（2）若，求实数的取值范围
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）解不等式可得集合，求得的取值范围，利用指数函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）由可得，由此可得出关于实数的不等式，进而可求得实数的取值范围.
【详解】（1）对于函数，有，即，解得，即.
，则，则，
即；
（2）由，得，所以，，即，解得，
因此，实数的取值范围是.
19. 已知，．
（1）求的值；
（2）若，试比较与的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系变形，求出的值，再利用完全平方公式即可求出的值；
（2）根据第一问求出的值，再利用已知等式求出的值，进行比较即可.
【小问1详解】
对于，两边平方得，
所以，∵，∴，，所以，
∴，∴；
【小问2详解】
联立，解得，所以，
因为，且，所以分子分母同除以有：，解得．
∴.
20. 已知函数满足，当时，成立，且．
（1）求，并证明函数的奇偶性；
（2）当，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1），证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）令，可得，令，，从而即可证明；
（2）由已知条件，可得为增函数，又原不等式等价于恒成立，则在上恒成立，令，分离参数即可求解.
【小问1详解】
解：令，可得，
令，则，所以，
所以，
所以为奇函数；
【小问2详解】
解：，即，
所以，
又当时，成立，所以为增函数，
所以在上恒成立，
令，可得在上恒成立，
又，，所以当时，，
所以，即.
21. 给出下面两个条件：①函数的图象与直线只有一个交点；②函数的两个零点的差的绝对值为. 在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数的解析式确定.
已知二次函数满足，且______.
（1）求的解析式；
（2）若函数有且仅有一个零点，求实数t的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由代入解析式可解得，选①，只有一个交点则该交点为顶点；选②，由根与系数的关系列方程求解即可.
（2）原命题转化成有且仅有一个正实根，其中，讨论的符号，结合二次函数的性质求解即可.
【小问1详解】
因为二次函数满足，
，
所以，解得，所以，对称轴为.
选①，因为函数的图象与直线只有一个交点，所以，解得，
所以的解析式为.
选②，设、是函数两个零点，则，且，可得，
由根与系数的关系可知，，
所以，解得，
所以的解析式为.
【小问2详解】
因为函数有且仅有一个零点，
令，所以关于的方程有且仅有一个正实根，
因为，所以有且仅有一个正实根，
当，即时，方程可化，解得，不符合题意；
当，即时，函数的图象是开口向上的抛物线，且恒过点，
所以方程恒有一个正实根；
当，即时，要使得有且仅有一个正实根，则有
，解得.
综上，实数的取值范围为.
22. 若是奇函数．
（1）求，的值；
（2）已知，，使在区间上的值域为，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】(1)应用函数是奇函数,分别根据定义域关于原点对称及奇函数性质,分别求出即可.
(2)应用函数的单调性写出函数值域,找到与函数值的关系,进而找到之间的关系式,化简后数形结合即可求出的范围.
【小问1详解】
∵为奇函数，所以其定义域关于原点对称且
由得，∴，解得
又由得，经检验，时,满足,符合题意，∴，;
【小问2详解】
因为，所以且在上单调递减，
所以，在上的值域为，
∴，即
整理得：
即在内有两不等实根
令，当时，则关于的在内有两个不等实根，整理得：，
即与有两个不同的交点，
又，当且仅当时等号成立，
则在上递减，在上递增，且其值域为．
函数图像如下：
∴，即
