宁夏中卫市宣和中学2019-2020学年八年级下学期数学第一次月考试卷
一、单选题
1．（2018八上·慈溪期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )
A．12 B．15 C．12或15 D．18
2．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ）
A．18° B．24° C．30° D．36°
3．（2015八下·南山期中）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
4．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．48cm2
5．（2017八上·鄂托克旗期末）面积相等的两个三角形（ ）
A．必定全等 B．必定不全等
C．不一定全等 D．以上答案都不对
6．（2014·盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
7．（2016八上·鄱阳期中）如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠F C．∠B=∠DEF D．∠ACB=∠D
8．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．（2020八下·中卫月考）“等边对等角”的逆命题是 .
10．（2018八上·云南期末）已知 中， ，角平分线BE、CF交于点O，则 ．
11．（2020八下·中卫月考）如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度.
12．（2018八上·云南期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，腰长为6，则其底边上的高是 ．
13．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A＝30° ，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝2cm，则AC= .
14．（2020八下·中卫月考）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，则AC与AB两边的关系是 .
15．（2020八下·中卫月考）在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 .
16．（2018八上·互助期末）如图，在△ABC中，∠A=40 ，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是 ．
三、解答题
17．（2017八上·南和期中）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知：．
求证：．
证明：
18．（2020八下·中卫月考）已知线段AB，求作以AB为底边，以2AB为高的等腰三角形.
19．（2020八下·中卫月考）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在何处.（不写作法，保留作图痕迹）
20．（2018八上·云南期末）如图，在 和 中，已知 ，求证：AD是 的平分线．
21．（2020八下·中卫月考）如图，∠A=∠D=90°，AC=BD，求证：OB=OC.
22．（2018八上·云南期末）如图， ，求证： ．
23．（2020八下·中卫月考）如图，DC⊥CA，EA⊥CA，CD=AB，CB=AE.求证：△BCD≌△EAB.
24．（2020八下·中卫月考）已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于点D，且BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上.
25．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰 的垂直平分线.求∠DBC的度数.
26．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论。
①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；
②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去。
综上所述，这个等腰三角形的周长为15.
故选B.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，∠A＝36°
∴∠C＝72°
∵BD是AC边上的高
∴∠DBC＝180°-90°-72°＝18°
故答案为：A.
【分析】先根据等腰三角形的性质求得∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选B．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形．
∴△ABC的面积为： ×6×8=24．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形；求出△ABC的面积.
5．【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等．故答案为：C．
点评：本题考查了全等三角形的判定．解答此题需要熟悉三角形的面积公式．
【分析】因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等．
6．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为 =70°．
故选：D．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A，添加∠A=∠D，满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF；
B，添加∠ACB=∠F，满足SAS，能判定△ABC≌△DEF；
C，添加∠B=∠DEF，满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF；
D，添加∠ACB=∠D，两角不是对应角，不能判定△ABC≌△DEF；
故选B．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，有AC=DF，BC=EF，可以加∠ACB=∠F，就可以用SAS判定△ABC≌△DEF．
8．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①③正确；
∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF，∠BAC＝∠FAC＋∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；
条件不足，无法证明∠FAB＝∠EAB，故②错误；
综上所述，结论正确的是①③④共3个.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的对应角相等，对应边相等即可一一判断得出答案.
9．【答案】等角对等边
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；
故答案为等角对等边.
【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题；
10．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵角平分线BE、CF交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=45°，
∴∠BOC=180°﹣45°=135°．
故答案为：135°．
【分析】根据觊的内角和得出∠ABC+∠ACB=90°，根据角平分线的定义，得出∠OBC+∠OCB==45°,然后根据三角形的内角和即可算出∠BOC的度数。
11．【答案】20或80
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当80°的角是等腰三角形的顶角时，顶角为80°，
当80°的角是等腰三角形的底角时，顶角＝180° 80°×2＝20°，
即顶角是20或80度，
故答案为：20或80.
【分析】
12．【答案】3或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：①三角形是钝角三角形时，如图1，
∵∠ABD=30°，∴AD= AB= ×6=3，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB= ∠BAD= （90°﹣30°）=30°，∴∠ABD=∠ABC，∴底边BC上的高AE=AD=3；
②三角形是锐角三角形时，如图2，由于此题没有告知三角形是什么三角形，故需要分类讨论：
∵∠ABD=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∴△ABC是等边三角形，∴底边上的高为 ×6= ．
综上所述，底边上的高是3或 ．故答案为：3或 ．
【分析】①三角形是钝角三角形时，如图1，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AD的长，根据等边对等角及三角形的外角定理得出∠ABC=∠ACB= ∠BAD=30°，从而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出底边BC上的高AE=AD=3；②三角形是锐角三角形时，如图2，根据三角形的内角和得出∠A=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，根据含30°直角三角形的边之间的关系即可算出底边上的高，综上所述即可得出答案。
13．【答案】6cm
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
在Rt△BCD中，BD＝2CD＝4cm，
又∵∠A＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BD＝4cm，
∴AC＝6cm.
故答案为6cm.
【分析】根据∠C＝90°，∠A＝30°，易求∠ABC＝60°，而BD是角平分线，易得∠ABD＝∠DBC＝30°，根据△BCD是含有30°角的直角三角形，易求BD，然后根据等角对等边可得AD＝BD，从而可求AC.
14．【答案】AB=2AC
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则AB=2AC.
故答案为:AB=2AC.
【分析】根据直角三角形中，含30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得出结论.
15．【答案】PA=PB=PC
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC.
故答案为：PA=PB=PC.
【分析】根据线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，PB=PC，进而根据等量代换即可得出结论.
16．【答案】30°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD
∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°．
故答案为：30°．
【分析】已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．
17．【答案】在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE|∠1=∠2．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：解法一：如果AB=AC，AD=AE，BD=CE，那么∠1=∠2．
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE，
求证：∠1=∠2．
证明：∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠1=∠2．
解法二：如果AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，那么BD=CE．
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，
求证：BD=CE．
证明：∵∠1=∠2
∴∠BAD=∠CAE，而AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE
∴BD=CE．
【分析】有不同的解法：已知条件中，两三角形的三边对应相等，及∠1=∠2可得出∠BAD=∠CAE，因此利用两种不同的方法，可解答此题。
18．【答案】解：如图，△ABC为所作.
【知识点】等腰三角形的判定；作图-三角形
【解析】【分析】先作线段AB的垂直平分线EF交AB于F，再在垂直平分线上截取FC＝2AB，然后连结CA、CB，则△ABC即为所求.
19．【答案】解：如图，点P即为所求.
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故只需要利用尺规作图法，分别作出AC,BC两边的垂直平分线，其交点就是所求的超市的建造位置.
20．【答案】证明：连接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． ∵∠ABD=∠ACD，∴∠DBC=∠DCB，∴BD=CD． 在△ADB和△ADC中， BD=CD，AB=AC，AD=AD，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 连接BC ，根据等边对等角得出 ∠ABC=∠ACB ，然后根据等量减去等量差相等得出 ∠DBC=∠DCB ，根据对角对等边得出 BD=CD ，然后根据SSS判断出 △ADB≌△ADC ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．
21．【答案】证明：在Rt△BAC与Rt△CDB中， AC=BD,BC=CB， ∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）∴∠ACB＝∠DBC，即∠OCB＝∠OBC，∴OB＝OC.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝CB，可得Rt△BAC≌Rt△CDB，则∠ACB＝∠DBC，所以有OB＝OC.
22．【答案】证明：连接AC， CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠D=∠B=90°．在Rt△ADC和Rt△ABC中，∵AD=AB，AC=AC，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），∴CD=CB．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】 连接AC， 根据垂直的定义，得出 ∠D=∠B=90° ，然后利用HL判断出 Rt△ADC≌Rt△ABC ，根据全等三角形的对应边相等得出 CD=CB．
23．【答案】证明：如图，∵DC⊥CA，EA⊥CA，
∴∠C=∠A=90°，
∴在△BCD与△EAB中， ，
∴△BCD≌△EAB（SAS）.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】根据垂直的定义得出 ∠C=∠A=90° ，从而利用SAS判断出 △BCD≌△EAB .
24．【答案】证明：在△BDE和△CDF中，
∠BED=∠CFD=90°，∠BDE=∠CDF，BD=CD
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
又∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴D在∠BAC的平分线上.
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】首先根据已知条件易证△BDE≌△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质的逆定理可得D在∠BAC的平分线上.
25．【答案】解：∵∠A=50°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= （180°﹣∠A）=65°
又∵DE垂直且平分AB，
∴DB=AD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°.
即∠DBC的度数是15°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC.
26．【答案】解：过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，BD=1，
∴DE=BD=1，
∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠C=∠BAC=45°，
在Rt△DEC中，sin45°= ，
∴DC= = .
【知识点】角平分线的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质求出DE=1，求出∠C=45°，解直角三角形求出DC即可.
宁夏中卫市宣和中学2019-2020学年八年级下学期数学第一次月考试卷
一、单选题
1．（2018八上·慈溪期中）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为( )
A．12 B．15 C．12或15 D．18
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论。
①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；
②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去。
综上所述，这个等腰三角形的周长为15.
故选B.
2．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（ ）
A．18° B．24° C．30° D．36°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，∠A＝36°
∴∠C＝72°
∵BD是AC边上的高
∴∠DBC＝180°-90°-72°＝18°
故答案为：A.
【分析】先根据等腰三角形的性质求得∠C的度数，再根据三角形的内角和定理求解即可.
3．（2015八下·南山期中）到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点．
A．三个内角平分线 B．三边垂直平分线
C．三条中线 D．三条高
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．
故选B．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．
4．已知△ABC的三边长分别是6cm、8cm、10cm，则△ABC的面积是（ ）
A．24cm2 B．30cm2 C．40cm2 D．48cm2
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵62+82=102，
∴△ABC是直角三角形．
∴△ABC的面积为： ×6×8=24．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形；求出△ABC的面积.
5．（2017八上·鄂托克旗期末）面积相等的两个三角形（ ）
A．必定全等 B．必定不全等
C．不一定全等 D．以上答案都不对
【答案】C
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等．故答案为：C．
点评：本题考查了全等三角形的判定．解答此题需要熟悉三角形的面积公式．
【分析】因为两个面积相等的三角形，则面积的2倍也相等，也就是底乘高相等；但是一个数可以有许多不同的因数，所以说这两个三角形的对应边、对应高不一定相等；故面积相等的两个三角形不一定全等．
6．（2014·盐城）若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：因为等腰三角形的两个底角相等，
又因为顶角是40°，
所以其底角为 =70°．
故选：D．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数．
7．（2016八上·鄱阳期中）如图，在△ABC和△DEF中，已知AC=DF，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要的条件是（ ）
A．∠A=∠D B．∠ACB=∠F C．∠B=∠DEF D．∠ACB=∠D
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A，添加∠A=∠D，满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF；
B，添加∠ACB=∠F，满足SAS，能判定△ABC≌△DEF；
C，添加∠B=∠DEF，满足SSA，不能判定△ABC≌△DEF；
D，添加∠ACB=∠D，两角不是对应角，不能判定△ABC≌△DEF；
故选B．
【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，有AC=DF，BC=EF，可以加∠ACB=∠F，就可以用SAS判定△ABC≌△DEF．
8．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△AEF，
∴AC＝AF，EF＝BC，∠EAF＝∠BAC，故①③正确；
∵∠EAF＝∠EAB＋∠BAF，∠BAC＝∠FAC＋∠BAF，
∴∠EAB＝∠FAC，故④正确；
条件不足，无法证明∠FAB＝∠EAB，故②错误；
综上所述，结论正确的是①③④共3个.
故答案为：C.
【分析】根据全等三角形的对应角相等，对应边相等即可一一判断得出答案.
二、填空题
9．（2020八下·中卫月考）“等边对等角”的逆命题是 .
【答案】等角对等边
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“等边对等角”的逆命题是等角对等边；
故答案为等角对等边.
【分析】交换命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题；
10．（2018八上·云南期末）已知 中， ，角平分线BE、CF交于点O，则 ．
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，
∵角平分线BE、CF交于点O，
∴∠OBC+∠OCB=45°，
∴∠BOC=180°﹣45°=135°．
故答案为：135°．
【分析】根据觊的内角和得出∠ABC+∠ACB=90°，根据角平分线的定义，得出∠OBC+∠OCB==45°,然后根据三角形的内角和即可算出∠BOC的度数。
11．（2020八下·中卫月考）如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度.
【答案】20或80
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当80°的角是等腰三角形的顶角时，顶角为80°，
当80°的角是等腰三角形的底角时，顶角＝180° 80°×2＝20°，
即顶角是20或80度，
故答案为：20或80.
【分析】
12．（2018八上·云南期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，腰长为6，则其底边上的高是 ．
【答案】3或
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：①三角形是钝角三角形时，如图1，
∵∠ABD=30°，∴AD= AB= ×6=3，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB= ∠BAD= （90°﹣30°）=30°，∴∠ABD=∠ABC，∴底边BC上的高AE=AD=3；
②三角形是锐角三角形时，如图2，由于此题没有告知三角形是什么三角形，故需要分类讨论：
∵∠ABD=30°，∴∠A=90°﹣30°=60°，∴△ABC是等边三角形，∴底边上的高为 ×6= ．
综上所述，底边上的高是3或 ．故答案为：3或 ．
【分析】①三角形是钝角三角形时，如图1，根据含30°直角三角形的边之间的关系得出AD的长，根据等边对等角及三角形的外角定理得出∠ABC=∠ACB= ∠BAD=30°，从而根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出底边BC上的高AE=AD=3；②三角形是锐角三角形时，如图2，根据三角形的内角和得出∠A=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABC是等边三角形，根据含30°直角三角形的边之间的关系即可算出底边上的高，综上所述即可得出答案。
13．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC中，∠C=90°，∠A＝30° ，BD平分∠ABC交AC于D，若CD＝2cm，则AC= .
【答案】6cm
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝30°，
在Rt△BCD中，BD＝2CD＝4cm，
又∵∠A＝∠ABD＝30°，
∴AD＝BD＝4cm，
∴AC＝6cm.
故答案为6cm.
【分析】根据∠C＝90°，∠A＝30°，易求∠ABC＝60°，而BD是角平分线，易得∠ABD＝∠DBC＝30°，根据△BCD是含有30°角的直角三角形，易求BD，然后根据等角对等边可得AD＝BD，从而可求AC.
14．（2020八下·中卫月考）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，则AC与AB两边的关系是 .
【答案】AB=2AC
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：如图所示，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则AB=2AC.
故答案为:AB=2AC.
【分析】根据直角三角形中，含30°角所对的直角边等于斜边的一半即可得出结论.
15．（2020八下·中卫月考）在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 .
【答案】PA=PB=PC
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC.
故答案为：PA=PB=PC.
【分析】根据线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，PB=PC，进而根据等量代换即可得出结论.
16．（2018八上·互助期末）如图，在△ABC中，∠A=40 ，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是 ．
【答案】30°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠A=40°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，又∵DE垂直平分AB，∴DB=AD
∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°．
故答案为：30°．
【分析】已知∠A=40°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．
三、解答题
17．（2017八上·南和期中）如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC；②AD=AE；③∠1=∠2；④BD=CE．以其中三个条件为题设，填入已知栏中，一个论断为结论，填入下面求证栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．
已知：．
求证：．
证明：
【答案】在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE|∠1=∠2．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：解法一：如果AB=AC，AD=AE，BD=CE，那么∠1=∠2．
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，BD=CE，
求证：∠1=∠2．
证明：∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠BAD=∠CAE，
∴∠1=∠2．
解法二：如果AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，那么BD=CE．
已知：在△ABD和△ACE中，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，
求证：BD=CE．
证明：∵∠1=∠2
∴∠BAD=∠CAE，而AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE
∴BD=CE．
【分析】有不同的解法：已知条件中，两三角形的三边对应相等，及∠1=∠2可得出∠BAD=∠CAE，因此利用两种不同的方法，可解答此题。
18．（2020八下·中卫月考）已知线段AB，求作以AB为底边，以2AB为高的等腰三角形.
【答案】解：如图，△ABC为所作.
【知识点】等腰三角形的判定；作图-三角形
【解析】【分析】先作线段AB的垂直平分线EF交AB于F，再在垂直平分线上截取FC＝2AB，然后连结CA、CB，则△ABC即为所求.
19．（2020八下·中卫月考）如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在何处.（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，点P即为所求.
【知识点】作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，故只需要利用尺规作图法，分别作出AC,BC两边的垂直平分线，其交点就是所求的超市的建造位置.
20．（2018八上·云南期末）如图，在 和 中，已知 ，求证：AD是 的平分线．
【答案】证明：连接BC，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB． ∵∠ABD=∠ACD，∴∠DBC=∠DCB，∴BD=CD． 在△ADB和△ADC中， BD=CD，AB=AC，AD=AD，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】 连接BC ，根据等边对等角得出 ∠ABC=∠ACB ，然后根据等量减去等量差相等得出 ∠DBC=∠DCB ，根据对角对等边得出 BD=CD ，然后根据SSS判断出 △ADB≌△ADC ，根据全等三角形的对应角相等得出 ∠BAD=∠CAD，即AD是∠BAC的平分线．
21．（2020八下·中卫月考）如图，∠A=∠D=90°，AC=BD，求证：OB=OC.
【答案】证明：在Rt△BAC与Rt△CDB中， AC=BD,BC=CB， ∴Rt△BAC≌Rt△CDB（HL）∴∠ACB＝∠DBC，即∠OCB＝∠OBC，∴OB＝OC.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，BC＝CB，可得Rt△BAC≌Rt△CDB，则∠ACB＝∠DBC，所以有OB＝OC.
22．（2018八上·云南期末）如图， ，求证： ．
【答案】证明：连接AC， CD⊥AD，CB⊥AB，∴∠D=∠B=90°．在Rt△ADC和Rt△ABC中，∵AD=AB，AC=AC，∴Rt△ADC≌Rt△ABC（HL），∴CD=CB．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【分析】 连接AC， 根据垂直的定义，得出 ∠D=∠B=90° ，然后利用HL判断出 Rt△ADC≌Rt△ABC ，根据全等三角形的对应边相等得出 CD=CB．
23．（2020八下·中卫月考）如图，DC⊥CA，EA⊥CA，CD=AB，CB=AE.求证：△BCD≌△EAB.
【答案】证明：如图，∵DC⊥CA，EA⊥CA，
∴∠C=∠A=90°，
∴在△BCD与△EAB中， ，
∴△BCD≌△EAB（SAS）.
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】根据垂直的定义得出 ∠C=∠A=90° ，从而利用SAS判断出 △BCD≌△EAB .
24．（2020八下·中卫月考）已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于点D，且BD=CD.求证：点D在∠BAC的平分线上.
【答案】证明：在△BDE和△CDF中，
∠BED=∠CFD=90°，∠BDE=∠CDF，BD=CD
∴△BDE≌△CDF（AAS），
∴DE=DF，
又∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴D在∠BAC的平分线上.
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定
【解析】【分析】首先根据已知条件易证△BDE≌△CDF（AAS），则DE=DF，再由角平分线性质的逆定理可得D在∠BAC的平分线上.
25．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰 的垂直平分线.求∠DBC的度数.
【答案】解：∵∠A=50°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB= （180°﹣∠A）=65°
又∵DE垂直且平分AB，
∴DB=AD，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°.
即∠DBC的度数是15°.
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【分析】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC.
26．（2020八下·中卫月考）如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC的长.
【答案】解：过D作DE⊥AC于E，
∵△ABC中，∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，BD=1，
∴DE=BD=1，
∵∠B=90°，AB=BC，
∴∠C=∠BAC=45°，
在Rt△DEC中，sin45°= ，
∴DC= = .
【知识点】角平分线的性质；锐角三角函数的定义；等腰直角三角形
【解析】【分析】过D作DE⊥AC于E，根据角平分线性质求出DE=1，求出∠C=45°，解直角三角形求出DC即可.
