莆田重点学校2023-2024学年九上第三次月考
一、单选题
1．下列漂亮的图案中似乎包含了一些曲线，其实它们这种神韵是由多条线段呈现出来的，这些图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C． D．
2．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是（ ）
A．频率就是概率 B．频率与试验次数无关
C．概率是随机的，与频率无关 D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率
3．如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（ ）
A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB
第3题 第4题
4．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心是点P，其位似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1： D．1：8
5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
6．内接于圆，延长到D，点E在上，连接，，如图所示．图中等于与之差的角是（ ）
A． B． C． D．
第6题 第8题
7．下列关于二次函数的说法正确的是( )
A．图象是一条开口向下的抛物线 B．图象与轴没有交点
C．当时，随增大而增大 D．图象的顶点坐标是
8．如图，已知直线直线和分别与直线，，交于点A，B，C和点D，E，F，若，，则的长是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
9．将函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线是（ ）
A． B． C． D．
10．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表垂直圭．已知该市冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，若表的长为，则圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11． 在平面直角坐标系中,点(1,3)关于原点对称的点的坐标是 ．
12．某班开展“梦想未来、青春有我”主题班会，第一小组有2位男同学和3位女同学，现从中随机抽取1位同学分享个人感悟，则抽到男同学的概率是 ．
13． 在半径为1 的圆中，1°圆心角所对的弧长是 ．
14．若实数、分别满足，，且b，则 ．
15．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到物体和实像的水平距离分别为，则实像的高度为 ．
16．已知抛物线与轴的交点为和，点，，，是抛物线上不同于，的两个点，记△的面积为，△的面积为.有下列结论：
①当时，；②当时，；
③当时，；④当时，.
其中错误的是 .（写出所有错误结论的序号）
三、解答题
17．计算：sin45°+2cos30°—tan60°.
如图，将绕点A顺时针旋转得到△DAE（为锐角），点D与点B对应，连接，．
求证：．
19．某超市为回馈广大消费者，在开业周年之际举行摸球抽奖活动．摸球规则如下：在一只不透明的口袋中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的2个球中任意摸出1个球．
(1)用树状图列出所有等可能出现的结果；
(2)活动设置了一等奖和二等奖两个奖次，一等奖的获奖率低于二等奖．现规定摸出颜色不同的两球和摸出颜色相同的两球分别对应不同奖次，请写出它们分别对应的奖次，并说明理由．
20．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．问：当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
21．如图，在中，，点，在上，．过，，三点作，连接并延长，交于点．
(1)求证；
(2)若，，，求的半径长．
22．在中，．
（1）如图①，点在斜边上，以点为圆心，长为半径的圆交于点，交于点，与边相切于点．求证：；
（2）在图②中作，使它满足以下条件：
①圆心在边上；②经过点；③与边相切．
（尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）
23．阅该素材，充成任务.
测试机器人行走路径
索材一 某校科技兴趣小组制作了一个机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为．
素材二 如图1，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图1图2易得所走路径形成的封闭图形的面积为．
素材三 如图3，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止．
解决问题
任务 固定变量 探索变用 探索内容
任务一 直行路程 庭转角度a 与路程1 α30°45°l
任务二 旋转角度a 直行路程 若a=60°,b =2,b =4,b =1.5,b =3.求,b5与b6的值.
任务三 旋转角度 α、路程l 路径形成的 封闭图形S 若，，，请直接写出与之间的数量关系，并求出当最大时的值．
24．如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标为，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；
（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
25．如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设．
G
图1 图2
（1）求的大小（用含的式子表示）；
（2）过点C作，垂足为G，连接．判断与的位置关系，并说明理由；
（3）将绕点B顺时针旋转得到，点E的对应点为点H，连接，．当为等腰三角形时，求的值．
参考答案：
一、单选题
1-5．ADBBA 6-10．DDCBB
10．分别解和，求出和的长度，然后利用线段的和差关系求解即可．
解：在中，，，，
∴，
在中，，，，
∴，
∴．
故选：B．
二、填空题
11．（-1,-3） 12．/ 13． 14．3 15．4 16．①②④
16.解：不妨假设.
①如图1中，，满足，
，
，故①错误.
②当，，满足，
则，故②错误.
③，
，在轴的上方，且离轴的距离比离轴的距离大，
，故③正确.
④如图2中，，满足，但是，故④错误.
故结论错误的是：①②④；同理，时，结论错误的是：①②④
17．解：sin45°+2cos30°—tan60°.
=
=
18．解：绕点旋转得到△DAE，
，，，
，
．
19．（1）解：画树状图如下：
由树状图知共有6种情况；
（2）解：由（1）知抽到颜色相同的两球共有2种情况，
抽到颜色不同的两球共有4种情况，
所以抽到颜色相同的两球对应一等奖，抽到颜色不同的两球对应二等奖．
20．解：设每件商品降价元，
根据题意得：，
解得：，
（符合题意）
（舍去）
答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元．
21．（1）解：证明：连接，，
，
，
在与中，
，
，
，
∴△ADE是等腰三角形，
∴边的垂直平分线经过点，
∵过，，三点，
∴点是△ADE的外心，
∴边的垂直平分线经过点，
∴垂直平分，
；
（2）如图，
，，
，
，
，
，
连接，设，
，
，
，
，
的半径长为5．
22．（1）证明：如图①，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）如图②所示为所求．①
①作平分线交于点，
②作的垂直平分线交于，以为半径作圆，
即为所求．
证明：∵在的垂直平分线上，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴与边相切．
23．(1)12，8 (2)b5=3，b6=2.5 ② (3)
（1）解：当时，，
当时，，
（2）①构造如图所示的三角形，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，则，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：3，2.5．
（3）如图，构造等边
∴，，，
∵，
∴，
∴，
如图：等边三角形边长为a，高为h，
，
∴等边三角形面积
∴
∴，
∴当最大时，．
24．（1）（2）或（3）为定值，定值为8．
解（1）∵抛物线经过点，．
∴，解得：．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）点的坐标为（- ，- ）或（- ， ）.
∵当，解得：，
∴
∵，，
∴，，
∴在中，
①若点在轴下方，如图1，过点P作轴交x轴于点H.
∵点P在抛物线上，不妨设P点的坐标为（h,h2+2h-3），且h2+2h-3＜0
∴当时，在中，
即 = ，解得h = - ，∴P（- ，- ），符合题意。
②若点在轴上方，如图2，过点P作轴交x轴于点T.
∵点P在抛物线上，不妨设P点的坐标为（t,t2+2t-3），且t2+2t-3＞0，
∴当时，在中，
即 = ，解得t = - ，∴P（- ， ）,符合题意。
综上所述，点的坐标为（- ，- ）或（- ， ）．
（3）为定值.
∵抛物线的对称轴为：直线，
∴，，
设，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：，
当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：，
当时，，
∴，
∴，为定值．
图1 图2
25．(1) ．(2)DG//CF．．(3) ．
(1)解：连接BF，设AF和BE相交于点N．
点A关于直线BE的对称点为点F
BE是AF的垂直平分线
，AB=BF
四边形ABCD是正方形
AB=BC，
．
(2) 位置关系：平行．
理由：连接BF，AC，DG
设DC和FG的交点为点M，AF和BE相交于点N
由(1)可知，
是等腰直角三角形
四边形ABCD是正方形
是等腰直角三角形
垂直平分AF
在 和 中，
在 和 中，
CF//DG
(3)为等腰三角形有三种情况：①FH=BH②BF=FH③BF=BH，要分三种情况讨论：
①当FH=BH时，作 于点M
由(1)可知：AB=BF，
四边形ABCD是正方形
设AB=BF=BC=a
将绕点B顺时针旋转得到
FH=BH
是等腰三角形，
在 和 中，
BM=AE=
②当BF=FH时，
设FH与BC交点为O
绕点B顺时针旋转得到
由(1)可知：
此时， 与 重合，与题目不符，故舍去
③当BF=BH时，
由(1)可知：AB=BF
设AB=BF=a
四边形ABCD是正方形
AB=BC=a
BF=BH
BF=BH=BC=a
而题目中，BC、BH分别为直角三角形BCH的直角边和斜边，不能相等，与题目不符，故舍去．
故答案为：
