2023-2024学年上第二次月考高三数学试卷
单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量满足，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
3．已知复数满足，其中是虚数单位，则（ ）
A．10 B． C．5 D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图， 是双曲线：的左 右焦点，过的直线与双曲线交于 两点.若是中点且则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到个面有颜色的小正方体的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．黎曼函数由德国著名数学家黎曼（Riemann）发现提出黎曼函数定义在上，其解析式为：当为真约数且时，当或上的无理数时，若函数是定义在R上的偶函数，且，，当时，，则：（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．关于函数，，下列命题正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数在上单调递增
C．函数的表达式可改写为
D．函数图像可先将图像向左平移，再把各点横坐标变为原来的得到
10．圆柱高为1，下底面圆的直径长为2，是圆柱的一条母线，点分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（ ）．
A．若，则点的轨迹为圆
B．若直线与直线成，则的轨迹是抛物线的一部分
C．存在唯一的一组点，使得
D．的取值范围是
11．设，若为函数的极小值点，则下列关系可能成立的是（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
12．已知等差数列中，，公差为，，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则
D．若，则
第II卷（非选择题）
三、填空题（共20分）
13．若一个偶函数的值域为，则这个函数的解析式可以是 .
14．的展开式中，项的系数为 ．
15．记双曲线：的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值 ．
16．已知椭圆，过C中心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为 ．
四、解答题（共70分）
17（本题10分）．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
18（本题12分）．在中，角所对的边分别为，若且.
(1)求的值；
(2)若平分，且交于点，求的面积.
19（本题12分）．如图，多面体中，四边形为正方形，平面平面，，，，，与交于点．
(1)若是中点，求证：；
(2)求直线和平面所成角的正弦值．
20（本题12分）．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在名男性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人.在名女性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人.
参考公式：，其中.
参考数据：
(1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过的人与性别有关；
平均车速超过平均人数 平均车速不超过人数 合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
(2)以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取辆，记这辆车中驾驶员为女性且车速不超过的车辆数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望.
21（本题12分）．．已知函数．
(1)若，证明：；
(2)若，对任意正实数x恒成立，求正实数b的取值范围．
22（本题12分）．．已知抛物线：（）上一点的纵坐标为3，点到焦点距离为5.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作直线交于，两点，过点，分别作的切线与，与相交于点，过点作直线垂直于，过点作直线垂直于，与相交于点，、、、分别与轴交于点、、、.记、、、的面积分别为、、、.若，求直线的方程.
高三数学参考答案：
1．C 2．B 3．D4．D5．A6．C7．B
8．A解因为，连接和,得割线方程,
因为在上是下凸函数，
所以在上，割线在正切曲线上方，即,
所以当时，,
令，，
，
当时，因为,即，
所以在单调增，即,
因为，
所以，即，
故，即.
故选：A.
9．AC
10．BC
解对B，如图，不妨以为原点，以的垂直平分线，
分别为轴建立空间直角坐标系，则，
，设，则，
由题意，，化简得，，
由于点在上底面内，所以的轨迹是抛物线的一部分，故B正确；
对A， ，化简得，即点的轨迹为椭圆，故A错误；
对C，设点在下平面的投影为，若，
则，则，
当在线段上时，可取最小值，
由均值不等式，，
当且仅当时等号成立，
所以，即，
而点只有在与点重合时，才能取到，
此时点与点重合，点与点重合，故C正确；
对D，当点与点，点与点重合，
的值为，故D错误.
故选：BC
11．AC
解由函数，可得，
令，可得或，
要使得为函数的极小值点，
当时，则满足，解得，所以A正确；
当时，则满足，解得，所以C正确.
故选：AC.
12．BCD
【详解】由为等差数列，，公差为，则
当时，，则选项A不正确.
当为偶数时，
当为奇数时，
故，所以选项B正确.
当为偶数时，
当为奇数时，
所以， 故选项C正确.
所以
，所以选项D正确
故选：BCD
13．（答案不唯一）
14．252
15．（答案不唯一）
16．
【详解】
设，，则，，
设、、，分别为直线、、的斜率，
则，，，
因直线是以为直径的圆的切线
所以，，
所以，
又在直线上，所以，
因、在上，
所以，，
两式相减得，
整理得，
故，即，
，
故.
故答案为：
17．（1）设的公比为，为的等差中项，
，
；
（2）设的前项和为，，...............4分
，①
，②
①②得，
，
................10分
18．（1）因为，
由正弦定理得：，则，
又，由余弦定理得：
化简为，
把代入上式，并化简可得：；...............5分
（2）设,
因为平分，且交于点，
则，
即，
又，，
化简为，
又，所以
则
所以的面积
...............12分
19．（1）因为四边形为正方形，
所以，
因为平面平面，平面平面，，
所以平面，
又因为平面，
所以，
连接，则，
在中，，
所以，
因为，，平面，且，
从而平面，
又平面，
所以，
因为，，平面，且，
所以平面，
又平面，
所以，
又因为，所以，
又是中点，，所以，
因为，，平面，且，
所以平面，
又因为平面，
所以．..............5分
（2）由（1）知，平面，且，
以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则、、、，
则，，，
由得，，所以，
所以，，
设面的法向量为，由得，，取，则，
设直线和平面所成角为，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．...............12分
20．
（1）解：由题中数据可得如下列联表：
平均车速超过平均人数 平均车速不超过人数 合计
男性驾驶员人数
女性驾驶员人数
合计
所以，，
所以，有的把握认为平均车速超过的人与性别有关...............4分
（2）解：由题意可知，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取辆，
抽中的车辆驾驶员为女性且车速不超过的概率为，则，
则，，
，，
随机变量的分布列如下表所示：
所以，................12分
21．【详解】（1）解：若，则，，
所以.
令，所以，
当时，，；
当时，，，；
所以，对恒成立，
所以，在上单调递增.
又因为 ，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
又因为，所以................5分
（2）解：若，则，
由，
得，
令，
再令，则，
若，令，则，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以，，得和，
则，满足题意；
若，则，不合题意，
若，因为在上单调递增，
且，
所以存在，使得，
即，即，
所以，当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以
，
综上，数的取值范围是................12分
22．（1）设，由题意可得，即，
解得或（舍去），所以抛物线的方程为...............4分
（2）如图，
设经过，两点的直线方程为：（），
与抛物线方程联立可得，
即，
∴，.
∵，则，
∴，
∴过点作的切线方程为，
令，得，即.
同理，过点作的切线方程为，
令，得，即.
∴.
联立两直线方程，解得，即，
则到直线的距离.
又∵过点作直线垂直于，
直线的方程为，
令，得，即.
同理，直线的方程为，
令，得，即.
∴.
联立两直线方程，解得，
整理后可得，即，
则到直线的距离.
由上可得，，
，，
∴，得，
∴直线的方程为即................12分
