广州重点学校2023—2024学年（上）12月质量检测
高二年级数学试题
注意：
1.考试时间为150分钟、满分为150分。
2.试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
3.选择题答案必须用2B铅笔在答题卡对应题号答题框内填涂，非选择题需在问卷指定位置作答注意事项：
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.已知数列满足，，则（ ）
A. B. C.2 D.1
2.如图，在四面体中，是的中点.设，，，用，，表示，则（ ）
A. B.
C. D.
3.三角形的三个顶点为，，，则的中线的长为（ ）
A.3 B.5 C.9 D.25
4.等差数列的前项和为，若，，则等于（ ）
A.12 B.8 C.20 D.16
5.点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A.4 B.3 C.5 D.
6.已知圆：，直线：，直线被圆截得的弦长最短时，实数的值为（ ）
A. B. C.1 D.
7.椭圆的两焦点为，，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8.在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（ ）
A. B.9 C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.已知直线：，：，则下列说法正确的是（ ）
A.恒过点 B.若，则
C.若，则或 D若不经过第三象限，则
10.已知为等差数列，，则（ ）
A.的公差为 B.的通项公式为
C.的前项和为 D.的前50项和为2565
11.如图，已知，分别是正方体的棱和的中点，则（ ）
A.与是异面直线
B.与所成角的大小为
C.与平面所成角的正弦值为
D.二面角的余弦值为
12.抛物线：的焦点为、为其上一动点，当运动到时，，直线与抛物线相交于、两点，点，下列结论正确的是（ ）
A.抛物线的方程为
B.的最小值为4
C.当直线过焦点时，以为直径的圆与轴相切
D.存在直线，使得，两点关于对称
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知，，，则______.
14.已知，，则过的中点且倾斜角为120°，直线的点斜式方程是______.
15.设双曲线：的左、右焦点分别为和，以的实轴为直径的圆记为，过点作的切线，与的两支分别交于，两点，且，则的离心率的值为______.
16.已知为不超过的最大整数，例如，，，设等差数列的前项和为，且，记，则数列的前100项和为______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18.已知圆过点，.
（1）求线段的垂直平分线所在的直线方程；
（2）若圆的圆心在直线上，求圆的方程.
19.已知抛物线：上的点到焦点的距离为6.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于，两点，且点是线段的中点，求直线方程.
20.已知数列是等差数列，其前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）求，并求出的最小值；
（3），求数列的前项和.
21.如图所示，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，，，平面，，点在线段上，且，.
（1）求实数的值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）若点是直线上的动点，求面积的最小值，并说明此时点的位置.
22.已知椭圆：的离心率为，其左、右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，面积的最大值为1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知，过点的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，与轴的交点分别为，，证明：以为直径的圆过定点.
12月月考数学参考答案
1.A 由题意，数列满足，，可得，，，，…，
所以数列构成以3项为周期的周期数列，则.故选：A.
2.D 由是的中点，可知，
所以
3.B 设边的中点为，则点坐标为，即，故的中线的长为，故选：B
4.D 因为等差数列的前项和为，则、、为等差数列，其公差为，因此，.故答案为：16.
5.B 双曲线中，，，且焦点在轴上，所以渐近线方程为，即，由对称性可知，点到两条渐近线的距离相等，不妨求点到的距离，得.故选：B.
6.B 因为直线：，方程可化为，令，解得，故直线过定点，且在圆：内，又，故当直线被圆截得的弦长最短时，有，则，解得，故选：B.
7.D 设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是，，易得，，∴，∴，∴
8.C 如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得：，，，，，
，，
设平面的法向量，则，得
解得：，，，即.由于直线与平面平行，则，
得：，即：，，.
，，
可知，由于，当时，取得最小值，最小值为，故选C
9.AC A选项，，即，解得，所以直线过定点，故选项A正确；
B选项：若，则，解得，当时，：，：，两直线重合，舍去；当时，：，：，两直线平行，符合题意.
所以，故选项B错误；
C选项：若，则，解得或者，故选项C正确；
D选项：当时，直线：不过第三象限，满足题意；当时，直线：不过第三象限，则，解得，综上，故选项D错误；故选：AC.
10.BCD 设该等差数列的公差为，因为，所以由，所以选项A不正确，由，所以，所以选项B正确；的前项和为，所以选项C正解：设的前50项和为，由，所以，因此选项D正解
11.对A，因为在平面外，在平面内，在平面内，所以与是异面直线，故A正确；对B，由中点知，，又，所以，即为与所成的角，在等边中，，故B错误；以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设正方体长为2，，，，，，
由解意可知，平面的法向量可取，
设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值为，故C错误；又，，
设平面的法向量为，则令，得，设平面的法向量，则，令，可得，则，又因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为，故D正解.故选：AD.
12.BCD 对于A：当运动到时，，故，即抛物线为，故A错误；
对于B：由，故，则，故B正确；
对于C：当直线过焦点时，设为，则，
故以为直径的圆的半径为，又，故以为直径的圆的圆心坐标为，有圆心到轴的距离与该圆半径相等，即该圆与轴相切，故C正确；
对于D：设存在该直线，则与直线垂直，则该直线的斜率，即可设该直线为，、分别设为、，由，消去可得，，则，即，有，，故，
，则弦的中点在直线上，即有，解得，故存在直线，使得，两点关于对称，故D正确.故选：BCD.
13. 因为，，，
所以.故答案为：.
14. 设的中点为，则，又斜率，
所以直线的点斜式方程为.故答案为：
15. 设直线与圆的切点为，则，，由，
得，过点作于点，则，
由为的中点，得，，
因为，为锐角，所以，
有，得，
所以，由双曲线的定义知，，即，
解得，又，所以，所以双曲线的离心率为.故答案为：
16.480 由题意得，
所以，，所以.
所以公差，所以，，
当时，，当时，，当时，，
当时，，当时，，当时，，
当时，，
所以数列的前100项和为.
故答案为：480.
17.【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，
因为，所以，又，所以公差，
所以.
（2）由（1）知，，
所以.
18.（1）；（2）.
（1）∵线段的斜率，
∴的垂直平分线的斜率，
∵中点，即为点，
∴的垂直平分线的方程为，整理得.
（2）∵圆心一定在的垂直平分线上，又在直线上，
联立直线，解出，
即圆心，，
∴圆的方程为.
19.（1）（2）
（1）由题设，抛物线准线方程为，
∴抛物线定义知：可得，
故：
（2）由题设，直线的斜率存在且不为0，设
联立方程，得，
整理得，则.
又是线段的中点，∴，即，
故：
20.（1）（2），的最小值为（3）
（1）设等差数列的公差为，由已知条件得，
解得，
所以数列的通项公式；
（2）由（1）知.
所以当时，取最小值；
（3）令，得，
所以当时，，则，故，
当时，，
则，
所以.
21.（1）1；（2）；（3），在的延长线上且.
（1）∵平面，平面，
∴，∴
∴；
（2）在中，，∵
，，∴，∴，
∴，∴
∵四边形是平行四边形，∴，选中点，则，
∵，
∴，∴，，两两垂直，
∴以，，为，，轴建立直角坐标系，
则，∵为边上的高，，
∴，，
∵，∴为中点，∴，
∴，，，
设平面的法向量为，∴，
∴，取，
设平面的法向量为，
∴，，∴，
取，∴，，
∴，
∴平面与平面夹角余弦值为；
（3）设∴，，，
∴，
∴
∵
∴
当时，面积取最小值为，
此时，在的延长线上且，即为的中点.
22.（1）（2）证明见解析
（1）解：因为椭圆的离心率为，所以.
又当位于上顶点或者下顶点时，面积最大，即.
又，所以，.
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由题知，直线的斜率存在，所以设直线的方程为，
设，，
将直线代入椭圆的方程得：，
由韦达定理得：，，
直线的方程为，直线的方程为，
所以，，
所以以为直径的圆为，
整理得：.①
因为，
令①中的，可得，所以，以为直径的圆过定点.
