南阳名校 2023 年秋期高三年级第五次月考
数学试题
一、单选题（每小题 5分共 40分）
1．已知集合 A x x 3或 x 2 ，B x x a 1 ，若 A B R ，则实数a的取值范围是（ ）
A． ( 4, ) B．[ 4, ) C． (3, ) D． 3,
π
2. 已知P sin ,cos 是角 的终边上一点，则 tan （ ）
3
3 3
A. 3 B. C. D. 3
3 3
3.把△ 'ABC按斜二测画法得到△A B'C '（如图所示），其中
3
B'O' C 'O' 1 ， A'O ' 那么△ABC是一个（ ）
2
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.三边互不相等的三角形
4. 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，E 为DD1中点，F 为棱 CD 上异于端点的动点，若平
面 BEF 截该正方体所得的截面为四边形，则线段 CF 的取值范围是（ ）
1 1 1 2 1
A． ( ,1) B． ( ,1) C．[ , ) D． (0, ]
3 2 2 3 2
5. 已知函数 f x x是定义域为 R 的偶函数 f x 1 为奇函数，当 x 0,1 时， f x k 2 a，
若 f 0 f 3 6，则 f log2 96 （ ）
A. 2 B. 0 C. -3 D. -6
2 2 1
6．若直线 l 与曲线 y= x 和 x +y = 都相切，则 l 的方程为（ ）
5
1 1 1 1
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
2 2 2 2
7.在三棱锥 A-BCD 中,△ ABD 与△ CBD 均是边长为 2 的等边三角形,且二面角 A-BD-C 的平面角为
,则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A.7π B.8π C. D.
8．若函数 f x ln x 的图象在 x x1与 x x2 x1 x2 处的切线分别为 l1， l2，且 l1 l2，则（ ）
A． x1 + x2 1 B． x1 x2的最小值为 2
高三数学 1
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
C． l1， l2在 y 轴上的截距之差为 2 D． l1， l2在 y 轴上的截距之积可能为 1
二、多选题（每小题 5分共 20分）
9．给出下列命题，其中正确的是（ ）
1
A．若空间向量m 3,1,3 ，n 1, , 1 ，且m∥n，则实数
3
B．若a∥b，则存在唯一的实数 ，使得a b
C．若空间向量a 1,0,1 ，b 2, 1,2 ，则向量b 在向量a 上的投影向量是 2,0,2
D．点M 3, 2,1 关于平面 yOz对称的点的坐标是 3, 2, 1
π π
10. 将函数 f (x) 3sin 2x 的图象向左平移 个单位长度后关于 y 轴对称，则 的值
3 12
π π 2π 5π
可能为（ ） A. B. C. D.
3 2 3 6
11. 已知a,b R ，且a2b2 a2 b2 3，则（ ）
A. ab 的最大值为 1 B. ab 的最小值为－1
1 1
C. 的最小值为 4 D. 2a2 b2 的最小值为2 3 3
| a | | b |
12．如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为a .现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说
法中正确的是（ ）
2a2
A．过棱 AC 的截面中，截面面积的最小值为
4
B．若过棱 AC 的截面与棱BD（不含端点）交于点 P ，则
1 1
cos APC
3 2
a2
C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为
4
D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有 7 个
三、填空题（每小题 5分共 20 分）
1
13．设向量 AB x, 2x 在向量 AC 3, 4 上的投影向量为 AC ，则 x ．
5
M m 8，则a ______．
15．甲、乙两队进行篮球比赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束），
高三数学 2
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
2
根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主主客客主”，设甲队主场取胜的概率为 ，
3
1
客场取胜的概率为 ，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4 : 2 获胜的概率是 ．
2
16. 已知△ABC 的面积为 1，且 AB=2BC，则当 AC 取得最小值时， BC 的长为________.
四、解答题 （70 分）
2 1
17. （10 分）已知向量a 2cos x,sin x ,b , 3 cos x ，函数 f x a b．
2
（1）求 f x 的最小正周期和单调递减区间；
7
（2）在 ABC 中， A B π, f A 1, BC 2 3 ，求边 AC 的长．
12
x2 y2
18. （12 分）已知椭圆 1，A 是椭圆的右顶点，B 是椭圆的上顶点，直线 l : y kx b k 0
16 9
与椭圆交于 M、N 两点，且 M点位于第一象限．
（1）若b 0，证明：直线 AM 和 AN 的斜率之积为定值；
3
（2）若 k ，求四边形 AMBN 的面积的最大值．
4
19．（12 分）如图，现有三棱锥 A BCD和E BCD，其中三棱锥 A BCD的棱长均为 2，三棱锥
E BCD有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面
完全重合组成一个组合体 ABCDE .
(1)求这个组合体 ABCDE的体积；
(2)若点 F 为 AC 的中点，求二面角E BC F 的余弦值.
高三数学 3
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
20. （12 分）数列 a 的前 n项和 S ，已知a a 4，2Sn nan n k n Nn n 2 1 ，k为常数.
（1）求常数 k和数列 an 的通项公式；
1 4 1 3
（2）数列 前 n项和为Tn ，证明： T
.
n
Sn 3 2n 1 2
1
21. （12 分）如图所示的几何体是由等高的 个圆柱和半个圆柱组合而成，点 G 为DE 的中点，
4
1
D 为 圆柱上底面的圆心，DE 为半个圆柱上底面的直径，O，H 分别为 DE，AB 的中点，点 A，
4
D，E，G 四点共面，AB，EF 为母线．
（1）证明：OH∥平面 BDF；
15
（2）若平面 BDF 与平面 CFG 所成的较小的二面角的余弦值为 ，求直线 OH 与平面 CFG
5
所成角的正弦值．
x 2 x 2 x 2
22. （12 分）已知函数 f x e ax ae lnx x 2 x e .
（1）若a 0，求曲线 f (x)在 x 1处的切线方程；
（2）当 x ex 2时，不等式 f x 0恒成立，求 a 的取值范围.
高三数学 4
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
第五次月考高三数学试题答案
1．【答案】D 【详解】因为 A B R ，所以a 1 2，解得a 3． 所以，实数a的取值范围是 3, .
π
2. 【 答 案 】 B 【 详 解 】 因 为 P sin ,cos 是 角 的 终 边 上 一 点 ， 所 以
3
π 1 π 3 sin 3
cos sin ,sin cos ，则 tan ，故选：B.
3 2 3 2 cos 3
3.答案：A 解析：根据斜二侧画法还原直线△ABC在直角坐标系的图
形,如下图所示:由图易得 AB BC AC 2
故△ABC为等边三角形,故选 A
4. 【详解】在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，平面 BEF I 平面
CDD1C1 EF ，而B 平面 ABB1A1，B 平面BEF ，
平面CDD1C1 / /平面 ABB1A1，则平面BEF 与平面 ABB1A1的交线过点 B，
且与直线 EF 平行，与直线 AA1相交，令交点为 G，如图，而DD1 平面
ABCD ， AA1 平面 ABCD，即 EFD, GBA分别为 EF, GB与平面
ABCD 所 成 的 角 ， 而 EF / /GB ， 则 E F D G B，A且 有
GA ED
tan GBA tan EFD ，当 F 与 C 重合时，平面 BEF 截该正
AB DF
1
方体所得的截面为四边形，GA ED ，G为棱 AA1中点 M，
2
当点 F由点 C向点 D移动过程中， GBA逐渐增大，点 G由 M向点 A1方向移动，
当点 G 为线段MA1上任意一点时，平面BEF 只与该正方体的 4 个表面
正方形有交线，即可围成四边形，
当点 G在线段MA1延长线上时，直线BG 必与棱 A1B1 交于除点 A1外的点，
而点 F 与 D 不重合，此时，平面BEF 与该正方体的 5 个表面正方形有
交线，截面为五边形，如图，
高三数学 5
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
1
因此，F为棱 CD上异于端点的动点，截面为四边形，点 G只能在线段MA（1 除点 M外）上，即 GA 1,
2
AB ED 1 1 1
显然，DF [ ,1)，则CF 1 DF (0, ]，
GA 2GA 2 2
1
所以线段的 CF的取值范围是 (0, ].故选：D
2
5. 【答案】C 【详解】因为 f x 1 为奇函数，所以 f x 1 f x 1 ，又 f x 为偶函数，
所 以 f x 1 f x 1 ， 所 以 f x 1 f x 1 ， 即 f x f x 2 ， 所 以
f x 4 f x 2 f x ，故 f x 是以 4 为周期的周期函数；由 f x 1 f x 1 ，易得
f 1 0，f 3 f 1 f 1 0，所以 f 0 6，所以k a 6，2k a 0，解得k 6，
a 12；所以
f log2 96 f 5 log2 3 f 1 log2 3
3
3 log2
f log2 3 1 f log2 6 2 2 12 3；故选：C．
2
1
6．D 设直线 l 在曲线 y x 上的切点为 x , x y 0 0 ，则 x0 0，函数 y x 的导数为 ，
2 x
1 1
则直线 l 的斜率 k ，设直线 l 的方程为 y x0 x x0 ，即 x 2 x0 y x2 x 0
0，
0 2 x0
2 2 1 x0 1 2
由于直线 l 与圆 x y 相切，则 ，两边平方并整理得5x0 4x0 1 0，解得
5 1 4x0 5
1 1 1
x 1， x x 2y 1 00 0 （舍），则直线 l 的方程为 ，即 y x 故选：D.
5 2 2
7.【答案】D 如图,取 BD 的中点 E,连接 AE,CE,因为△ABD 与△CBD 均为等边三角形,所以
AE⊥BD,CE⊥BD,所以∠AEC 为二面角 A-BD-C 的平面角,所以∠AEC= .设
△CBD 与△ABD 外接圆的圆心分别为 O1,O2,该三棱锥外接球的球心为 O,连
接 OO1,OO2,则 OO1⊥平面 CBD,OO2⊥平面 ABD.由题意,得 EO1=EO2=
×2= ,CO1=AO2= ×2=
.连接 OC,OE,设球 O 的半径为 R,则
高三数学 6
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
OO1=OO2= - - ,又 OE=OE,所以△OEO1≌△OEO2,所以∠OEO1=∠OEO2= .所以
-
tan∠OEO1= ,解得 R2= ,所以该三棱锥的外接球的表面积 S=4π R2= ,故选 D.
8．【答案】C 【详解】对于 A，B， f x ln x 的图象如下：
1 1
当0 x 1时， f x ln x ， f x ，当 x 1时， f x ln x， f x ，若 0 < x1 < x2 <1，
x x
此 时 f x1 0, f x 0 ， 则 kl k 02 l ， 两 切 线 不 垂 直 ； 同 理 若 1 x1 x2 ， 此 时1 2
f x1 0, f x k k 02 0，则 l l ，两切线不垂直；0 x1 1 x2 时，满足要求．所以 l1，l2的斜率1 2
1 1 1
分别为 k1 ， k2 ，因为 l l ，所以 k1k2 1，得 x x 1， x x 2 x x 2，
x1 x
1 2 x x 1 2 1 2 1 22 1 2
（因为 x1 x2，所以这里不能取等号）A，B错误．
1 1
对于 C，D： l 的方程为 y ln x1 x x1 ，即 y x 1 ln x1 1， x1 x1
令 x 0，得 y 1 ln x1，所以 l1在 y轴上的截距为1 ln x1．
1 1
l 的方程为 y ln x2 x x y x 1 ln x2 2 ，即 2， x x2 2
可得 l2在 y轴上的截距为 1 ln x2 ，因为1 ln x1 1 ln x2 2 ln x1x2 2，
21 ln x1 1 ln x2 1 ln x1 1 ln x1 ln x1 1 1，
（利用 x1x2 1将此式子中的x2代换掉），所以 C正确，D错误．故选：C
3 1 1
9.【答案】AC 【详解】对于 A，可知 ，即 A正确；
1 3
对于 B，显然b 0时，a∥b恒成立，此时 不唯一或者不存在，故 B错误；
a b
对于 C，向量b 在向量a 上的投影向量 a 2 2 1,0,1 2,0,2 ，故 C正确；
a
对于 D，易知点M 3, 2,1 关于平面 yOz对称的点的坐标是 3, 2,1 ，故 D错误.故选：AC
π π
10. 【答案】AC 【详解】将函数 f (x) 3sin 2x 图象向左平移 个单位长度后，
3 12
高三数学 7
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
的
π π π
所得函数解析式为 y 3sin 2 x 3sin 2x ，
12 3 6
π π 2π
因为所得函数图象关于 y 轴对称，所以 kπ,k Z ,即 kπ,k Z，
6 2 3
π 2π 5π π 2π
当 k 1,0,1时， 的值分别为 , , ， 结合选项，所以 的值可能为 , ，故选:AC.
3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
11. 【答案】AB【详解】由于 a2b2 a2 b2 3，所以 3 a b a b a b 2 ab ，即
ab 3 ab 1 0，解得0 ab 1，即 1 ab 1，故 A和 B均正确，
1 1
令a 1,b 1，满足题干的式子，但是 2，故 C错误，
| a | | b |
2
将a2b2 a2 b2
3 a
3变形可得b
2 ，所以
a2 1
2
2a2 b2 2a2
3 a 4 4
2 a2 1 3 2 2 a2 1 3 4 2 3，
a2 1 a2 1 a2 1
当且仅当a2 2 1时等号成立，故 D错误，故选：AB.
12．【答案】ACD 【详解】设截面与棱BD的交点为 P ，对于 A项，如图 1，过棱 AC 的截面为△ACP，
3
易知当 P 为棱 BD的中点时，CP BD, AP BD,且 AP CP a， PC、AP 平面 APC ，故
2
BD 平面 APC，取 AC 的中点E ，连接PE，则PE AC ，又PE 平面 APC，PE BD，即PE
2
是异面直线 AC、BD的公垂线，PE a，故此
2
时 △ACP 的 面 积 取 得 最 小 值 ， 最 小 值 为
1 2a2
S AC PE ，A 正确；对于 B项，易知
2 4
△ABP △CBP ， 故 结 合 A 项 ， 可 设
3a
AP CP t, t ,a ，在△ACP 中，由余弦定
2
AP2 CP2 AC2 2t2 a2 a2
理 cos APC 1 ，
2AP CP 2t2 2t2
高三数学 8
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
a 2 3 a2 4 1 1
所以 1, 1, ，即 cos APC 2 ，B错误； t 3 t 3 3 2
对于 C项，如图 2，当截面EFNM 为平行四边形时，EF / /NM / /AD，EM / /FN / /BC，
由正四面体的性质可知 AD BC，故 EM MN ，从而平行四边形EFNM 为长方形.
a2
设EM x，则MN a x，所以长方形EFNM 的面积 S x a x ，
4
a
当且仅当EM x 时，等号成立，C 正确；对于 D 项，与该木块各个顶点的距离都相等的截面
2
分为两类.第一类：平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有 4个.
第二类：平行于正四面体的两条对棱，且到两条棱距离相等，这样的截面有 3个.
故与该木块各个顶点的距离都相等的截面共有 7个，D正确.故选：ACD
13．【答案】1 【详解】向量 AB x, 2x 在向量 AC 3, 4 上的投影向量为
AB AC AC 3x 8x
AC 1 3x 8x，则 ，解得 x 1． 故答案为：1.
AC AC 25 5 25
f x (x2 6x)sin(x 3) x a [(x 3)214.答案 1【详解】 9]sin(x 3) (x 3) a 3，
设 x 3 t [ 3,3] 2，则 y (t 9)sin t t a 3，
g(t) y (a 3) (t2记 9)sin t t ，因为 g( t) (t2 9)sin t t g(t)，
所以 g(t)是在[ 3,3]上的奇函数，最大值为M (a 3)，最小值为m (a 3) ，
所以M (3 a) m (3 a) 0，又因为M m 8，所以a 1，故答案为：1．
15．【解析】欲使甲队4 : 2获胜，则第六场甲胜，前五场甲获胜三场负两场，
2 3 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1
故所求概率为P ( ) ( ) C
2
3 ( )
2 ( ) C12 C
1 ( )2 ( )23
3 2 2 3 3 2 2 2 3 3 2 2
1 3 1 19
．
27 27 36 108
15
16. 【 答 案 】 【 详 解 】 记 BC a, AB c, AC b ， 由 已 知 c 2a ，
3
高三数学 9
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
1 5 4cos B
S△ABC acsin B a
2 sin B 1 b2， a
2 c2 2accos B 5a2 4a2 cos B ，
2 sin B
5 4cos B 4sin2 B 5cos B 4cos2 B 4 5cos B
令 y , B 0,π ，则 y ，
sin B sin2 B sin2 B
4 4
所以当cos B 0, 时， y 0，当cos B ,1 时， y 0，
5 5
4 5 4cos B
设 cos , 0,π ，则B ,π 时， y , B 0,π 单调递增，
5 sin B
5 4cos B
当 B 0, 时， y , B 0,π 单调递减，
sin B
4 3 5 4cos B
所以当B ,即cos B ,sin B 时， y , B 0,π ，即 AC取得最小值，
5 5 sin B
a2
1 5 15 15
此时 ， a . 故答案为： ．
sin B 3 3 3
17.【小问 1详解】 由题意得 f (x) a b cos2 x 3sin xcos x
1 1 3 π 1 2π
cos 2x sin 2x sin 2x ， 所以 f (x)的最小正周期T π，
2 2 2 6 2 2
π π 3π π 2π
令 2kπ 2x 2kπ k Z ，解得 kπ x kπ k Z ，
2 6 2 6 3
π 2π
所以 f (x)的单调递减区间为 kπ, kπ (k Z)
6 3
π 1 π 1
【小问 2详解】 由（1）知， f (A) sin 2A 1，则sin 2 A ，由 A 0,π ，
6 2 6 2
π π 13π π 5π π 7π π
得 2A , ， 则 2A ，解得 A ， 又由 A B ，得 B ，已知
6 6 6 6 6 3 12 4
2
2 3
AC BC BC sin B
BC 2 3 ， 则由正弦定理 ， 得 AC
2 2 2 .
sin B sin A sin A 3
2
y1 y
18.【详解】（1）证明：设M (x , y ) ，则 N( x A(4,0) B(0,3) k k
1
1 1 1 , y1)，∵ ， ，∴ AM ， AN ， 4 x1 4 x1
高三数学 10
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
y 2 9 16 x 22 9 9
∵M (x1, y1) 在椭圆上，∴ y1 (16 x
2 ) ∴ k k 1 1AM AN 1 2 为定值．
16 x1 16 16 x
2
1 16 16
3
（2）设 l : y x b，依题意：k 0，M 点在第一象限，∴ 3 b 3．
4
3
y x b 4 4b 8
2 2 x x 2联立： 2 2 得：9x 12bx 8b 72 0，∴ 1 2 ， x1 x2 b 8，
x y 3 9 1
16 9
|12 4b | 4 4
设 A 到 l 的 距 离 为 d1 ， B 到 l 的 距 离 为 d2 ， ∴ d1 | 3 b | (3 b) ，
5 5 5
| 12 4b | 4 4 24
d2 | b 3 | (3 b)，∴d1 d2 ．
5 5 5 5
9 5 5 16
又∵ | MN | 1 | x x | (x x )2 4x x b2 32 5 2 （当b 0时取等号）， 1 2 1 2 1 2
16 4 4 9
1 1 24
∴ SAMBN | MN | (d1 d2) 5 2 12 2 ．∴四边形 AMBN 的面积的最大值为12 2
2 2 5
19.【详解】（1）因为三棱锥E BCD有三个面是全等的等腰直角三角形，△BCD是等边三角形，
2 1 1 1 2
所以BE DE CE 2
，所以VE BCD S△CDE BE 2 2 2 ；
2 3 3 2 3
因为三棱锥 A BCD的棱长均为 2，所以正三棱锥 A BCD体积为一个棱长为 2 的正方体减去四
3
1 1 2个三棱锥，即VA BCD 2 4 2 2 2 2 ，
3 2 3
2 2
V ABCDE VA BCD VE BCD 2 2
3 3
（2）如图所示，以 E为坐标原点，EC，ED，EB 分别为 x,y,z轴建立空
间直角坐标系E xyz，
2 2
则 E 0,0,0 ， B 0,0, 2 ， C 2,0,0 ， F 2, , ，
2 2
2 2
BC 2,0, 2 ，BF 2, , ，设平面 EBC 的法向量为 n1 ，易得n1 0,1,0 ，设平面
2 2
uur
BCF 的法向量为n2 x, y, z ，
2x 2z 0 BC n2 0
因为 ，得 2 2 ， 取 x 1，可得n2 1, 1,1
BF n2 0 2x y z 0
2 2
高三数学 11
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
设二面角E BC F 的平面角大小为 ，由图易知，二面角E BC F 为钝角，
n n 1 3
则 cos 1 2
3
故二面角E BC F 的余弦值为
n1 n 3 32 3
20.【小问 1详解】由2Sn nan n k 得2Sn 1 n 1 an 1 n 1 k ， n 2 ，
两式相减的2an nan 1 n 1 an 1，整理得 n 1 an 1 n 2 an 1，
当 n 2时，得a1 1，a2 a1 4 5，
an an 1 1 1 1
当 n 3时， ，
n 1 n 2 n 1 n 2 n 2 n 1
an 1 an 2 1 1 a3 a2 1 ，L ， 1 ，
n 2 n 3 n 3 n 2 2 1 2
an a2 1 1 1 1 1 n 2
相加得 1 L ，所以an 4n 3，n 3，
n 1 1 2 2 3 n 2 n 1 n 1
n a a
当 n 1 ， 2 时 符 合 a 1 n 2n 4n 3 ， 所 以 an 4n 3 ， 则 S ，n 2 n n
2
nan n k 4n
2 3n n k
S 2n2
k k
n ，则 0 ，即 k 0 . n
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1
【小问 2详解】由（1）得 2 ， Sn 2n n 2n 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 1 1 4 1
所以Tn L ，
S1 3 5 5 7 2n 1 2n 1 3 2n 1
1 2 1 1
因为 ，n 2，
Sn 2n 2n 2 2n 2 2n
1 1 1 1 1 1 1 3 1 3
所以Tn L ，
S1 2 4 4 6 2n 2 2n 2 2n 2
4 1 3
综上可得， Tn .
3 2n 1 2
21.【小问 1详解】证明：取 EF的中点 M，连接 OM，HM，又 O为 DE的中点，所以OM∥DF ，
高三数学 12
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
又 DF 平面 BDF，OM 平面 BDF，所以OM ∥平面 BDF，因为 AB∥EF ， AB EF ，H，M
分别为 AB，EF的中点，所以 BH∥FM ，且BH FM ，所以四边形 BFMH为平行四边形，所以
HM∥BF ，又BF 平面 BDF，HM 平面 BDF，所以HM∥平面 BDF，又 OM，HM 平面
OMH，OM HM M ，所以平面OMH∥平面 BDF，因为OH 平面 OMH，所以OH∥平面 BDF．
【小问 2详解】由题意知 CB，CF，CD两两垂直，故以点 C为原点，建立如图所示的空间直角坐标
1
系：设 圆柱 底面半径为 r，高为 h，则C 0, ，B r,0,0 ，
4
r r r
F 0,r,0 ， D 0,0,h ， G , ,h ， O 0, ,h ，
2 2 2
h
H r,0, ， 所 以 B F ,r ,r0 ， DF 0,r, h ，
2
r r r h
CF 0,r,0 ，CG , ,h ，OH r, , ．
2 2 2 2
r n BF 0, rx ry 0
设平面 BDF的一个法向量n x, y, z ，则 ，即
n DF 0, ry hz 0
令 x h，解得 y h， z r ，所以n h,h,r ；
rb 0 m CF 0,
设平面 CFG的一个法向量m a,b,c ，则 ，即 r r
m CG 0, a b hc 0 2 2
令 a 2h，解得b 0，c r ，所以m 2h,0,r ，
m n 2h2 r2 2h2 r2 15
所以 cos m,n ，
m n 2h2 r2 4h2 r2 4h2 r2 5
r r
化简，得2r2 2h2 0，所以h r，所以m 2r,0,r ，OH r, , ．设 OH与平面 CFG
2 2
2 1 2
OH m 2r r2 30
所成的角为 ，所以sin cos OH ,m
OH m 6 10
r 5r
2
高三数学 13
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
x 2
22.【小问 1 详解】当a 0时， f x e ln x x 2 x x 2 x 2e e ln x x 3 x ，
2 x 2 1 2
f 1 1， f x e ln x x 3 x 2e 1 1，则 f 1 1，
e x e
2 2 2
所以曲线 f x 在 x 1处的切线方程为 y 1 1 x 1 ，即 y 1 x .
e e e
x x x x
【小问 2详解】不等式 f x 0可整理为 1 a a ln 1 0，令 p x x 2 x 2 x 2 ，x 2
e e e e
1 x
p x ，所以当 x ,1 , p x 0，p x 单调递增，当 x 1, , p x 0 ，p x
ex 2
x 1 1
单调递减，所以 p x p 1 e，又 x ex 2，所以令 t 1,e ，则a ，
ex 2
ln t t 1
1 1 1 1 1 1 x
令 h x , x 1,e ，则 h x 2 2 2 2 ，
ln x x 1 x ln x x 1 x lnx x 1
2 1
2 x 1 2ln x x 令 s x ln x x 1,e ，则 2ln x 1 ，
x s x 1
x
x x2 x
2
1
令 q x 2ln x x , x 1x 1,e 2 1 ，则q x 1 0, x 1,e ，
x x x2 x2
所以q x 单调递减，q x q 1 0，所以 s x 0，
2
x 1s x 单调递减， s x s 1 0，所以 2 ln x x 1,e ，
x
1 x
所以
1 1 x
2 2 ， h x 0，
ln x x 1 2 2x
ln x x 1
1
所以h x 单调递减，h x h e 1 ，
e 1
1
所以a 1 .
e 1
高三数学 14
{#{QQABSQSUgggAABBAABhCQQWqCgIQkBCCAIoOxFAIoAAAARFABAA=}#}
