第三章一元一次方程解答题专项攻略-2023-2024学年七年级上册人教版
1．小马虎在解关于的方程去分母时，方程右边的“”没有乘以6，最后他求得方程的解为3．
（1）求的值；
（2）求该方程正确的解．
2．在数轴上，表示数1的点记为O，我们把到O点距离相等的两个不同点M和N，称为基准1的对称点.例如：图1中，点M表示数-1，点N表示数3，它们与表示数1的点O的距离都是2个单位长度，点M与点N互为基准1的对称点.
图1
（1）已知点A表示数a，点B表示数b，点A与点B互为基准1的对称点.
①若，则b= ；
②用含a的式子表示b，则b= ；
（2）对点A进行如下操作：先把点A表示的数乘以，再把所得数对应的点沿着数轴向左移动2个单位长度得到点B.若点A与点B互为基准1的对称点，求点A表示的数.
3．如图，在数轴上点表示数，点表示数，且．
（1）填空： ， ；
（2）若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，已知点为数轴上一动点，且满足，求出点表示的数；
（3）若点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点以每秒2个单位长度的速度向右运动，动点从原点开始以每秒个单位长度运动，运动时间为秒，运动过程中，点始终在，两点之间上，且的值始终是一个定值，求此时的值．
4．某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下：
一次性购物 优惠方法
少于200元 不予优惠
低于500元但不低于200元 八折优惠
500元或超过500元 其中500元部分给予八折优惠，
超过500元部分给予七折优惠
（1）若王老师一次性购物600元，他实际付款 元．若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 元；
（2）若顾客在该超市一次性购物x元，当x小于500元但不小于200时，他实际付款 元，当x大于或等于500元时，他实际付款 元（用含x的代数式表示并化简）；
（3）如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（200＜a＜300，用含a的代数式表示这两天购物王老师实际一共付款多少元？当a＝250元时，王老师两天一共节省了多少元？
5．某水果店以每箱90元的价格从水果批发市场购进20箱樱桃，若以每箱净重5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如表：
与标准重量的差值（单位：千克） ﹣0.5 ﹣0.25 0 0.2 0.25 0.5
箱数 2 2 4 5 n 3
（1）求n的值及这20箱樱桃的总重量；
（2）该水果店第一天以每千克25元的价格销售了这批樱桃的70%，第二天因为害怕剩余樱桃腐烂，决定降价把剩余的樱桃以第一天零售价的60%全部售出．水果店在销售这批樱桃过程中是盈利还是亏损，盈利或亏损多少元？
6． 我们规定：若关于x的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
（1）已知关于x的一元一次方程是“和解方程”，求m的值；
（2）已知关于x一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求m，n的值．
7．将从1开始的连续自然数按图规律排列：规定位于第3行，第2列的自然数记为，自然数14记为……
按此规律，回答下列问题：
（1）记为表示的自然数是 ；
（2）自然数记为 ；
（3）用一个正方形方框在第列和第4列中任意框四个数，这四个数的和能为吗？如果能，求出框出的四个数中最小的数；如果不能，请写出理由．
8．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为-10和20，点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，点Q同时从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向匀速运动，设运动时间为t秒．
（1）分别求当t＝2及t＝12时，对应的线段PQ的长度；
（2）当PQ＝5时，求所有符合条件的t的值，并求出此时点Q所对应的数；
（3）若点P一直沿数轴的正方向运动，点Q运动到点B时，立即改变运动方向，沿数轴的负方向运动，到达点A时，随即停止运动，在点Q的整个运动过程中，是否存在合适的t值，使得PQ=8？若存在，求出所有符合条件的t值，若不存在，请说明理由．
9．某工程甲单独完成要45天，乙单独完成要30天，若乙先单独干22天，剩下的由甲单独完成．问甲、乙一共用几天可以完成全部工作？
10．某工业园区对甲、乙两个项目共投资2000万元甲项目的年收益率为5.4%，乙项目的年收益率为8.28%，投资一年后，该工业园区在这两个项目中共获得收益122.4万元．问：该工业园区对这两个项目各投资了多少万元？
11．某校组织七年级师生赴农场参加社会实践．如果单独租用45座客车若干辆，刚好坐满；如果单独租用60座客车，可少租1辆，且余15个座位．
（1）求七年级师生参加社会实践的人数．
（2）已知租45座的客车日租金为每辆2250元，60座的客车日租金为每辆2760元问：租哪种客车更合算？
（3）你还有其他更省钱的租车方法吗？如果有，请给出方案，并说明理由．
12．“十一”黄金周期间，小明与同学随家人共12人一同到某旅游景点游玩．门票价格为成人每张35元，学生对折优惠，共支付350元．问：小明他们一共去了几个成人？几个学生？
13．定义一种新运算：，例如2（-3） =
（1）求的值
（2）解方程：．
14．剧院举行新年专场音乐会，成人票每张80元，学生票每张40元，剧院制订了两种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的80%付款．某校有5名老师与若干名(不少于5人)学生听音乐会．
（1）设学生人数为x(人)，付款总金额为y(元)，分别表示这两种方案的付款总金额．
（2）当学生人数为多少人时，两种方案的费用相同？
（3）若现有30名学生，哪种方案费用更少？
15． 有一个水池，其上部装有若干个粗细相同的进水管，每个进水管1小时的注水量为a，底部装有一个常开的排水管，排水管1小时的排水量为b，当打开4个进水管时，需要5小时注满水池；当打开2个进水管时，需要15个小时才能注满水池．
（1）请找出注水量a和排水量b的数量．关系．
（2）现需要在2小时内将水池注满，那么至少要打开多少个进水管？
16． 已知关于x的方程(|k|-1)x2-(k-1)x-3=-7是一元一次方程，它的解与关于x的方程的解相同．
（1）求k的值．
（2）求a的值．
17．某地要修建在地震中受损的一条公路，若由甲工程队单独修建，需3个月完成，每月耗资12万元；若由乙工程队单独修建，需6个月完成，每月耗资5万元．
（1）若甲、乙两工程队合作，则需 个月完成，共耗资 万元．
（2）若要求最迟4个月完成修建任务，请你设计一种方案，既保证按时完成任务，又最大限度地节省资金(时间按整月计算)．
18．某中学要采购一些篮球、图书、文具袋奖励给百科知识竞赛获奖的学生，已知获得三等奖的学生人数是获得二等奖的学生人数的2倍，获得一等奖的学生人数比获得二等奖的学生人数的一半还少5人．
（1）设获二等奖的学生有x人，用含x的式子表示获三等奖的学生有 人，获一等奖的学生有 人．
（2）在(1)的条件下，若此次奖励一、二、三等奖学生共有205 人，求获一、二、三等奖的学生各有多少人？
（3）在(1)的条件下．一等奖的奖品为篮球，甲、乙两家商店都标价80元，三等奖的奖品为文具袋，甲、乙两家商店都标价25元．为了招揽顾客，甲说：“我家商品一律九折”；乙说：“购物满2 000 元，则超出的部分打八折”。老师们计算发现，若去甲商店．购买这两种奖品，共花费3 690元，那么若去乙商店购买会花费多少钱？试比较去哪个商店购买更省钱．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由题意得，是方程的解，
∴，
解得；
（2）解：原方程为，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为得：．
2．【答案】（1）-2；2-a
（2）解：设点A表示的数为a，则点B表示的数为，
∴
∴，
∴.
故答案为：
3．【答案】（1）；16
（2）解：设点在数轴上表示的数为，
①点在点的左侧时，
，，，
．
解得：；
②点在点的右侧时，
，，，
．
解得：．
综上，点表示的数为或20；
（3）解：①当点从原点向左运动时，
因为的值始终是一个定值．
所以
则．
所以点运动的方向为从原点向左运动，的值为．
②当点从原点向右运动时．
．
因为的值始终是一个定值．
所以．
所以．
因为．
所以此种情形不存在．
综上，点运动的方向为从原点向左运动，此时的值为．
4．【答案】（1）470；160或200
（2）0.8x；0.7x＋50
（3）解：因为第一天购物原价为a元（200＜a＜300）则第二天购物原价为（900－a）元，
则900－a＞500
第一天购物优惠后实际付款a×0.8＝0.8a（元）
第二天购物优惠后实际付款500×0.8＋[（900－a）－500]×0.7＝680－0.7a（元）
则一共付款0.8a＋680－0.7a＝0.1a＋680（元）
当a＝250元时，实际一共付款680＋0.1×250＝680＋25＝705（元）
一共节省900－705＝195（元）
5．【答案】（1）解：n＝20﹣2﹣2﹣4﹣5﹣3＝4；
2×（﹣0.5）+2×（﹣0.25）+0×4+0.2×5+0.25×4+0.5×3+20×5
＝﹣1﹣0.5+0+1+1+1.5+100
＝102（千克），
∴n的值为4，这20箱樱桃的总重量是102千克；
（2）解：水果店在销售这批樱桃过程中盈利，理由如下：
25×102×70%+25×60%×102×（1﹣70%）﹣90×20
＝1785+459﹣1800
＝444（元），
答：水果店在销售这批樱桃过程中盈利444元．
6．【答案】（1）解：∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
∴
∴．
（2）解：∵关于x的一元一次方程是“和解方程”，
∴是方程的解．
又∵是它的解，
．
∴．
把代入方程，得．
∴．
∴．
．
∴．
7．【答案】（1）22
（2）
（3）解：若正方形框内第一行为奇数行，设四个数分别为，，，，
解得：
为第46行的第第一列自然数，不合题意舍去．
若正方形框内第一行为偶数行，设四个数分别为，，，，
解得：
为146行的第三个自然数，
最小的数为．
8．【答案】（1）解： 当运动时间为t秒时，点P对应的数为t，点Q对应的数为2t-10，
∴PQ=|t-（2t-10）|=|t-10|．
当t=2时，PQ=|2-10|=8；
当t=12时，PQ=|12-10|=2．
答：当t=2时，线段PQ的长度为8；当t=12时，线段PQ的长度为2．
（2）解： 根据题意得：|t-10|=5，
解得：t=5或t=15，
当t=5时，点Q对应的数为2t-10=0；
当t=15时，点Q对应的数为2t-10=20．
答：当PQ=5时，t的值为5或15，此时点Q所对应的数为0或20．
（3）解： 当运动时间为t秒时，点P对应的数为t，点Q对应的数为 ．
当0＜t≤15时，PQ=|t-（2t-10）|=|t-10|，|t-10|=8，
解得：t1=2，t2=18（舍去）；
当15＜t≤30时，PQ=|t-[20-2（t-15）]|=|3t-50|，|3t-50|=8，
解得：t3＝，t4＝14（舍去）．
综上所述：在点Q的整个运动过程中，存在合适的t值，使得PQ=8，此时t的值为2或 ．
9．【答案】解：设甲、乙一共用x天可以完成全部工作，
根据题意得：＝1，
解得x＝34，
答：甲、乙一共用34天可以完成全部工作．
10．【答案】解：设该工业园区对甲项目投资了x 万元，则对乙项目投资了(2000-x)万元，
由题意，得5.4%x+8.28%(2000-x)=122.4，
解得x=1500.
所以投资甲项目1500万元，乙项目500万元.
11．【答案】（1）解：设七年级师生共有x 人，则=+1，解得x=225.
（2）解：×2250=11250(元)，×2760=11040(元)，所以租60座的客车更合算.
（3）解：有3辆60座的客车，1辆45座的客车，刚好坐满，需3×2760+2250=10530(元).
12．【答案】解：设一共去了x个成人，
则由题意可得：35x+(12-x)=350，
解得x=8，
∴学生数为：12-x=4(个)，
答： 小明他们一共去了8个成人，4个学生.
13．【答案】（1）
（2）解：
3x=-32+8
3x=-24
x=8
14．【答案】（1）方案1：y1=(x-5) ×40+ 80×5= 40x+200．
方案2：y2= 40x× 80% +80×5× 80%= 32+320．
（2）由题意知，40x+200=32x + 320，
解得x=15，
∴当学生人数为15时，两种方案费用相同．
（3）当x=30时，y1 =40x+ 200=40× 30+ 200=1 400(元)，y2=32x+ 320= 32×30+320=1 280(元)，
∴1 280< <1 400，
∴方案2费用更少．
15．【答案】（1）因为每个进水管1小时的注水量为a，排水管1小时的排水量为b，
所以(4a-b)×5= (2a-b)×15，
得到4a- b=6a- 3b，
即a=b．
（2）若想在2小时内注满水池，设需打开x个进水管，由题意得
(xa- b)×2=(4a-b)×5，
把a=b代人，得2(ax-a)=5(4a-a)，
即2ax= 17a，
解得x=8.5，
所以至少需要打开9个进水管才能在2小时内注满水池．
答：至少要打开9个进水管．
16．【答案】（1）由题意得|kl-1=0，k- 1≠0，
∴k=-1．
（2）由(1)可得原方程为2x-3=-7，
解得x=-2，
把x=-2代入方程
- 3+2- a=6，
解得a=-7．
17．【答案】（1）2；34
（2）解：设甲、乙合作y个月，剩下的由乙来完成．
()+=1，解得y=1．
∴甲、乙合作1个月，剩下的由乙来做3个月，就可以既保证按时完成任务，又最大限度地节省资金．
18．【答案】（1）2x；(-5)
（2）解：据题意得
-5+x+ 2x= 205，
解得x=60，
-5= -5=25，2x=2×60= 120．
答：获一等奖的学生有25人，获二等奖的学生有60人，获三等奖的学生有120人；
（3）解：根据题意得80×0.9(-5)+25×0.9×2x=3690，
解得x=50，
-5= -5= 20，2x=2×50= 100．
去乙商店购买所需费用为2000+(80×20+25×100-2 000) ×0.8=3680(元)，
3690元>3680元，
去乙商店购买更省钱，
答：若去乙商店购买，会花费3680元钱，去乙商店购买更省钱．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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