第二十四章圆易错精选题2023-2024学年九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．注意卷面整洁
一、单选题
1．如图，的半径为2，圆心M的坐标为，点P是上的任意一点，，且与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则的最大值为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．14
2．如图，四边形内接于，连接对角线与交于点E，且为的直径，已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4，以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在☉A内且点B在☉A外时，r的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，锐角三角形中，点O为中点．甲、乙二人想在上找一点P，使得的外心为点O，其作法分别如下，对于甲、乙二人的作法，下列判断正确的是（ ）
甲的作法 过点B作与垂直的直线，交于点P，则P即为所求 乙的作法 以O为圆心，长为半径画弧，交于点P，则P即为所求
A．两人都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．两人都错误
5．如图，为的直径，点、在上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图①，点，是上两定点，圆上一动点从圆上一定点出发，沿逆时针方向匀速运动到点，运动时间是，线段的长度是．图②是随变化的关系图象，则图中的值是（ ）
A． B． C．6 D．
7．如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,OE⊥AB交☉O于点E,垂足为D,AE,CB的延长线交于点F.若OD=3,AB=8,则FC的长是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
8．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为4米，半径为3米，则点C到弦所在直线的距离是（ ）
A．1米 B．2米 C．米 D．米
二、填空题
9．内接于，，则 ．
10．半径为4的正八边形的面积为 ．
11．如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4 cm,O为直线b上一动点,若以1 cm为半径的☉O与直线a相切,则OP的长为 .
12．如图在平面直角坐标系中，的圆心在轴上，且经过点和点，点是第二象限圆上的任意一点，且，则的圆心的坐标是 ．
13．如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处，折痕交于点，则弧的长是 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，为上一点，且，则所在直线的函数关系式为 ；点是线段上一点，连接交于点，当过、、三点的圆与轴相切时，点的坐标为 ．
15．如图，是的直径，F为上一点，过点C作交的延长线于点D，是的切线，若，，求半径是 ．
16．如图，将一块含角的直角三角板的锐角顶点A放在上，边，分别与交于点D，E．则弧的度数为 ．
三、解答题
17．如图，在中，，以为直径作，交于点，交于点．
(1)求证：点是边的中点．
(2)记的度数为，的度数为．探究与的数量关系．
18．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何 ”．阅读完这段文字后，小智画出了一个圆柱截面示意图，其中于点，问径就是要求的直径．再次阅读后，发现寸，寸(一尺等于十寸)，通过运用有关知识即可解决这个问题．请帮助小智求出的直径．
19．如图，是的外接圆，AB是的直径，于点E，P是AB延长线上一点，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
20．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过、的分别交、于点、，连接交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径；
(3)若，半径为2，求阴影部分面积．（结果保留）
21．如图，内接于圆，D是上一点，将沿翻折，B点正好落在圆上E点处．
(1)求证：过圆心；
(2)若已知：，求的度数．
22．是上的一条不经过圆心的弦，，在劣弧和优弧上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接，．
(1)如图1，是直径，交于点C，，求的度数；
(2)如图2，连接，，过点O作交于点D，求证：；
(3)如图3，连接，，试猜想的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，圆外一点到圆上一点距离的最大值，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得，当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，由此即可求解．
【详解】解：如图，连接，
点A、点B关于原点O对称，
，
为斜边上的中线，
，
点P是上的任意一点，
当点P为线段的延长线与的交点时，取最大值，如图：
的半径为2，圆心M的坐标为，
的最大值,
的最大值为，
故选D．
2．D
【分析】本题考查的是圆周角定理．根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出，进一步计算即可求解．
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∴，
由圆周角定理得，，
∴，
∴，
故选：D．
3．C
【解析】略
4．A
【分析】根据三角形外心的定义一一分析判断即可．熟练掌握“到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心”是解题的关键．
【详解】解：由甲的作法可知，为直角三角形，
∴为的外接圆的直径，
∵点O为中点，
∴，
∴点为的外心，故甲的作法正确；
由乙的作法可知，，
∴点为的外心，故乙的作法正确；
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质，由，求出，然后根据圆内接四边形的性质即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
【详解】∵，，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∴，
故选：．
6．D
【分析】本题考查的是动点图象问题，涉及了弧长公式，等边三角形的判定和性质．根据图②得：当时，，此时为的直径；当时，，可求出圆的半径，从而得到是等腰直角三角形，再根据当P点走到点A，O，P三点共线的位置，求出点P走过的弧长，从而得到点P的运动速度，再根据当时，是等边三角形，可求出当时，点P走过的弧长，即可求解．
【详解】解：根据图②得：当时，，此时为的直径；当时，，
∴圆的半径，
当时，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
当P点走到点A，O，P三点共线的位置，即点M处时，如图，
此时点P走过的弧长为，
∴点P的运动速度为，
∵当时，，
∴此时，
∴此时是等边三角形，
∴，
∴当时，点P走过的弧长为，
∴．
故选：D
7．A
【详解】由题知AC为直径,∴∠ABC=90°.
∵OE⊥AB,∴OD∥BC.
∵OA=OC,∴OD为△ABC的中位线,
∴AD=AB=×8=4.
又∵OD=3,
∴OA==5,
∴OE=OA=5.
∵OE∥CF,O是AC的中点,
∴OE是△ACF的中位线,
∴CF=2OE=2×5=10.
8．C
【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用．连结交于D，由垂径定理得（米），再由勾股定理得（米），然后求出的长即可．
【详解】解：连接交于D，
由题意得：米，，
∴（米），，
由勾股定理得，（米），
∴米，
即点C到弦所在直线的距离是米，
故选：C．
9．或
【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，当点O在内部时，利用圆周角定理求解即可；当点O在外部时，先由圆周角定理求出，再根据圆内接四边形对角互补即可求出答案．
【详解】解：如图，当点O在内部时，
∵，
∴
如图，当点O在外部时，
∵，
∴
∴；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
10．
【分析】连接、，过A作于M，根据正八边形得到，根据正八边形的半径为4，得到，推出，正八边形的面积有这样的八个全等的等腰三角形面积组成，乘以8即可．
本题考查了正多边形的面积，熟练掌握中心角计算，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积计算公式，多边形的面积为三角形面积的倍数计算，是解决问题的关键．
【详解】设正八边形为，中心为O， 连接、，过A作于M，如图所示，则，
∵正八边形的半径为4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正八边形的面积为，．
故答案为：．
11．3 cm或5 cm
【详解】∵直线a⊥b,O为直线b上一动点,
∴☉O与直线a相切时,切点为H,
∴OH=1 cm.
当点O在点H的左侧,☉O与直线a相切时,如图1所示,
图1
图2
则OP=PH-OH=4-1=3(cm);
当点O在点H的右侧,☉O与直线a相切时,如图2所示,
则OP=PH+OH=4+1=5(cm);
∴☉O与直线a相切,OP的长为3 cm或5 cm.
12．
【分析】本题考查了圆周角定理和坐标与图形性质，三角形全等的性质和判定，作辅助线，构建三角形全等，根据圆周角定理得：，再证明，根据，根据线段的和差关系即可求解，作辅助线构建三角形全等是关键．
【详解】解：连接，过作轴于，过作 轴于，
则，，
∵和点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了弧长的计算，折叠的性质，由圆的性质和折叠的性质易得到是等边三角形，即可求出，代入弧长公式即可求出弧的长，利用圆的性质和折叠的性质得到是等边三角形是解题的关键．
【详解】解：连接，则，
∵将扇形沿过点的直线折叠，点恰好落在弧上的点处，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
弧的长，
故答案为：．
14．
【分析】先求得，，，，根据待定系数法即可求得直线的解析式，过、、三点的圆为，过点作于点，轴于点，连接、，如图，设，证四边形为矩形，得，由切线性质得，由勾股定理得，进而得，从而利用两点间距离公式得，解方程即可得点的坐标．
【详解】解：当时，，解得，则，，
当时，，则，，
设直线的解析式为，
把，，，分别代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
过、、三点的圆为，过点作于点，轴于点，连接、，如图，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵与轴相切，
∴为的半径，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，(舍去），
∴点坐标为．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了切线的判定、勾股定理、求一次函数的解析式，一次函数的图像及性质、矩形的判定及性质，熟练掌握切线的判定、勾股定理、求一次函数的解析式以及一次函数的图像及性质是解题的关键．
15．5
【分析】本题主要考查了切线的判定，矩形的性质与判定，过点作于，证明四边形为矩形，设半径为，由勾股定理列出方程求解即可，构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：连接，过点作于，
，
四边形为矩形，
，
设半径为，则，
，
，
，
解得：，
的半径为5，
故答案为：5．
16．/60度
【分析】根据圆周角定理解答即可．
本题主要考查了圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的圆心角的一半．注意：弧的度数就是弧所对的圆心角的度数，这是解题的关键．
【详解】
如图，连接，
和是弧所对的圆周角和圆心角，
，
∴弧的度数为．
故答案为：
17．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握圆周角定理，等腰三角形的性质以及直角三角形两锐角互余是正确解答的前提．
（1）根据圆周角定理以及等腰三角形的性质即可得出即可；
（2）根据等腰三角形的性质，圆周角定理以及直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】（1）解：证明：如图，连接，
∵是的直径，点在圆上，
∴，
即，
∵，即是等腰三角形，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：，
如图所示，连接，
∵的度数为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．的直径为寸
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，连接，由垂径定理可得，设寸，则寸，在中，由勾股定理可得，求出的值即可得到答案．
【详解】解：连接，
垂足为，
，
设寸，则寸，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴寸，
的直径为寸．
19．(1)见详解
(2)5
【分析】（1）连接．根据圆周角定理和同角的余角相等可得．然后由切线的判定方法可得结论；
（2）的半径为，，由垂径定理知再结合勾股定理进行列式，即可作答．
【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵于点E，
∴．
∴．
∴
∵，
∴．
∴．
∵是半径，
∴是的切线．
（2）解：设的半径为，
因为，
所以，
因为，
所以，
在中，，
即，
，
所以的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定与圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识内容，难度适中，正确掌握切线的判定内容以及垂径定理运用是解题的关键．
20．(1)证明见解析
(2)3
(3)
【分析】（1）如图所示，连接，根据等边对等角和角平分线的定义证明，推出，则，由此即可证明结论；
（2）设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可得到阿安；
（3）先根据等边对等角和角平分线的定义得到，进而利用三角形内角和推出，则，求出，，再根据进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
又∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴的半径为3；
（3）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵半径为2，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，求不规则图形的面积，等边对等角，平行线的性质与判定，角平分线的定义，含30度角的直角三角形的性质，通过连接，证明切线从而构造直角三角形是解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了圆周角定理与垂径定理的推论等知识，掌握圆周角定理是解题的关键．
（1）连接，运用垂径定理的推论与翻折问题解决；
（2）根据等腰三角形的性质，等边对等角，以及圆周角定理，求出即可．
【详解】（1）证明：连接交于点F，
∵内接于圆，D是上一点，将沿翻折，B点正好落在圆上E点处．
∴，
∴垂直平分，
∴过圆心；
（2）解：∵内接于圆，D是上一点，将沿翻折，B点正好落在圆上E点处．
∴，
∴，
∴．
22．(1)
(2)证明见解析
(3)存在，16
【分析】（1）如图1，根据圆周角定理得到；由圆周角、弧、弦的关系和等腰三角形的性质推知，，易得的度数；
（2）如图2，连接，，，利用圆周角、弧、弦的关系和平行线的性质推知：；根据等腰的性质知：；结合的内角和定理得到：，即；
（3）设，．如图3，延长至点，使，连接，作于点E．构造全等三角形：，则该全等三角形的对应边相等，，由勾股定理知，，代入化简即可得到该结论．
【详解】（1）解：如图1，
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，连接，，．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）解：如图3，延长至点，使，连接，作于点E．
设，．
∵四边形是圆内接四边形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵于点E．
∴．
∵，
∴．
化简得，
∴．
【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查圆周角定理、圆周角、弧、弦间的关系、全等三角形的判定与性质、圆内接四边形的性质以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要熟练以上各部分内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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