2023-2024学年长沙市中考数学一轮模拟卷
一、单选题
1．下列四个数中，属于有理数的是（ ）
A．2022 B． C．π D．
2．2022年北京打造了一届绿色环保的冬奥会．张家口赛区按照“渗、滞、蓄、净、用、排”的原则，在古杨树场馆群修建了250000立方米雨水收集池，用于收集雨水和融雪水，最大限度减少水资源浪费．将250000用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
3．桌上摆放着一个由相同正方体组成的组合体，其俯视图如图所示，图中数字为该位置小正方体的个数，则这个组合体的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
4．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于某个函数表达式，甲、乙、丙三位同学都正确地说出了该函数的一个特征．
甲：函数图像经过点；
乙：函数图像经过第四象限；
丙：当时，y随x的增大而增大．
则这个函数表达式可能是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交CB于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB＝9，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．18 C．19 D．20
8．在函数（为常数）的图象上有三点(-3，)，(-1，），(2，)，则函数值，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．若y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的另一个解为（ ）
A．-2 B．-1
C．0 D．1
10．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②方程组的解为；③方程的解为；④当时，．其中结论正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ．
12．如图所示，第四套人民币中菊花1角硬币．则该硬币边缘镌刻的正九边形的一个外角的度数为 ．
13．现分别有长和的两条线段，再从下列长度：、、、、、、、的线段中随机选取一条组成一个三角形，那么能组成三角形的概率是 ．
14．在平面直角坐标系中，将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线顶点坐标是 ．
15．如图，平行于的直线把分成两部分，，则的值是 ．
16．如图，下列是一组有规律的图案，它们由边长相同的小正方形组成，按照这样的规律，第n个图案中涂有阴影的小正方形的数量是 个．（用含有n的式子表示）
三、问答题
17．计算：
18．先化简，后求值：，其中a＝2022
19．我校九年级为庆祝毕业典礼开展了文艺汇演活动，需要从九年级挑选出汇演活动的主持人．
(1)若有三名候选人A，，竞选主持人，要求九年级的每名学生只能从这三人中选一人（候选人也参与投票），经统计，三名候选人A，，的得票数之比为6：3：1，若候选人所得票数为150票，问九年级共有多少人？
(2)若有2名男生，2名女生为候选人，从这4名学生中随机抽取2名学生作为主持人，请用列举法或树状图法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20．如图，一勘测人员从山脚点出发，沿坡度为的坡面行至点处时，他的垂直高度上升了米；然后再从点处沿坡角为的坡面以米/分钟的速度到达山顶点时，用了分钟．
（1）求点到点之间的水平距离；
（2）求山顶点处的垂直高度是多少米？(结果保留整数)
21．中秋节临近，某商场决定开展“金秋十月，回馈顾客”的让利活动，对部分品牌月饼进行打折销售，其中甲品牌月饼打八折，乙品牌月饼打七五折.已知打折前，买盒甲品牌月饼和盒乙品牌月饼需元；打折后，买盒甲品牌月饼和盒乙品牌月饼需元.
（1）打折前甲、乙两种品牌月饼每盒分别为多少元
（2）幸福敬老院需购买甲品牌月饼盒，乙品牌月饼盒，问打折后购买这批月饼比不打折节省了多少钱
22．如图1，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，顶点为点．
(1)如图1，若A为，B为，求该抛物线的函数表达式；
(2)若C、D重合，且为等边三角形，求c的值；
(3)如图2，在（1）的条件下，连接，与相交于点E，点G是抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点F，使得，且，如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．
23．如图，在ABCD中，点P是AB边上一点（不与A，B重合），过点P作PQ⊥CP，交AD边于点Q，且，连结．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若CP=CD，AP=2，AD=6时，求的长．
24．如图，内接于，，的平分线与交于点，与交于点，延长，与的延长线交于点，连接，是的中点，连接．
(1)判断与的位置关系，写出你的结论并证明；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
25．定义：过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“捷线”．
(1)等边三角形“捷线”条数是________；
(2)如图，中，，点在上，且，求证：是的“捷线”；
(3)在中，，，，、分别在边、上，且是的“捷线”，求的长．
参考答案：
1．A
【分析】根据有理数和无理数统称为实数，判断即可．
【详解】解：A、2022是有理数，故A符合题意；
B、是无理数，故B不符合题意；
C、π是无理数，故C不符合题意；
D、是无理数，故D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为a× 的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．
【详解】解：250000=2.5，
故选B
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．D
【分析】根据从左边看到的图形是左视图解答即可.
【详解】由俯视图可知，该组合体的左视图有3列，其中中间有3层，两边有2层，
故选D.
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看到的图形是左视图.
4．C
【分析】先根据同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方和积的乘方的性质求出每个式子的值，再判断选项的正误即可．
【详解】解：A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法和除法法则，幂的乘方和积的乘方的性质等知识点，能正确求出每个式子的值是解此题的关键．
5．D
【分析】根据所给函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：A.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而减小．故选项A不符合题意；
B.对于，当x=-1时，y=-1，故函数图像不经过点；函数图象分布在一、三象限；当时，y随x的增大而减小．故选项B不符合题意；
C.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象分布在一、二象限；当时，y随x的增大而增大．故选项C不符合题意；
D.对于，当x=-1时，y=1，故函数图像经过点；函数图象经过二、四象限；当时，y随x的增大而增大．故选项D符合题意；
故选：D
【点睛】本题考查的是一次函数、二次函数以及反比例函数的性质，熟知相关函数的性质是解答此题的关键．
6．C
【分析】设BE与CD相交于一点F，由两直线平行同位角相等求出的度数，再利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：设BE与CD相交于一点F，如下图．
∵，，
∴．
在中
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，利用平行线的性质求出的度数是解答关键．
7．C
【分析】首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为10可得AC＋BC=10，又由条件AB=9可得△ABC的周长．
【详解】解：∵△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交CB于点D，连接AD，
∴MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△ADC的周长为10，
∴，
∵AB＝9，
∴△ABC的周长为：．
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题的关键是熟记线段垂直平分线的性质与作法和数形结合思想的应用．
8．B
【分析】根据二次函数的图象与性质求解即可．
【详解】解：∵
∴二次函数的对称轴为直线；图象开口向下；当时，随着的增大而增大
∴关于对称轴的对称点的坐标为
∵
∴
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．
9．B
【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的两个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的解．
【详解】∵根据图示知,抛物线与x轴的一个交点是(3,0)对称轴为x=1，
∴根据对称性,抛物线与x轴的另一交点为( 1,0)，
∴令y=0,即
∴方程的解是
即方程的另一解为 1，
故选B.
【点睛】考查二次函数与一元二次方程之间的关系，根据二次函数的对称性求出抛物线与x轴的另一交点是解题的关键.
10．C
【分析】根据函数图象，结合一次函数的增减性，判断①即可；根据函数图象，结合一次函数图象的交点与二元一次方程组的关系，判断②即可；根据根据函数图象，结合一次函数图象与轴的交点坐标与方程的解的关系，判断③即可；根据一次函数图象与轴交点坐标，判断④即可，综合即可得出答案．
【详解】解：∵由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势，
∴的值随着值的增大而减小，故①正确；
∵由函数图象可知，一次函数与的图象交点坐标为，
∴方程组的解为，故②正确；
∵由函数图象可知，直线与轴的交点坐标为，
∴方程的解为，故③正确；
∵由函数图象可知，直线过点，
∴当时，，故④错误；
综上可得：正确的结论有3个．
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数与二元一次方程的关系、一次函数与坐标轴的交点问题，解本题的关键是综合应用一次函数的图象与性质解答．
11．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件，分别分析得出答案．
【详解】由题意得，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
12．＃＃40度
【分析】利用外角和除以外角的个数即可得到答案．
【详解】解：正九边形的一个外角的度数为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了求正多边形每一个外角的度数，正确理解多边形外角和为，及正多边形的外角个数与边的条数相同，所有外角均相等是解题的关键．
13．
【分析】根据构成三角形的条件，找到条件成立的线段的条数，计算概率即可．
【详解】解：根据三角形的三边关系，第三边应满足大于而小于，
∴第三边的长度可以是：、、，
∴种情况中有种情况满足，故能组成三角形的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查概率知识在实际问题中的应用，三角形三边关系定理．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
14．
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位后所得抛物线的解析式为，
∴得到的抛物线顶点坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的图像的平移，掌握函数图像平移的法则“上加下减，左加右减”是解答本题的关键．
15．
【分析】先根据得出，再根据相似三角形的性质得到即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．
【分析】通过分析图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系即可得出结论．
【详解】解：由图形可知：
第1个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：5，
第2个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
第3个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
…，
∴第n个图案有涂有阴影的小正方形的个数为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了图形与数字的变化规律，列代数式，通过分析找到图案个数与涂有阴影的小正方形的个数之间的关系是解题的关键．
17．-4
【分析】按照实数运算法则及特殊角三角函数值，把、、、算出来，再进行实数加减混合运算即可．
【详解】解：
= 8+4 2×+1
= 8+4 1+1
= 4
【点睛】本题考查特殊角三角函数值与实数的综合运算，熟练掌握特殊角三角函数值及实数的运算法则是解题的关键．
18．，
【分析】由分式的加减乘除混合运算进行化简，再把代入计算，即可得到答案．
【详解】解：原式，
，
当a＝2022时，
原式
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的运算法则，正确的进行化简．
19．(1)500
(2)
【分析】（1）由候选人B所得票数除以所占比例即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：（人），
答：九年级共有500人；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【点睛】本题考查了树状图法求概率；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比；正确画出树状图是解题的关键．
20．（1）点与点间的水平距离为米；（2）山顶点处的垂直高度约为米．
【分析】（1）过点作于点，根据坡度为求出BF即可；
（2）求出米，然后在中，利用正弦的定义求出AE即可解决问题．
【详解】解：（1）过点作于点，则为点与点的水平距离，
∵的坡度是，
∴，
∵DF＝15米，
∴BF＝45米，即点与点间的水平距离为米；
（2）在中，(米)，
(米)，
(米)，
答：点与点间的水平距离为米，山顶点处的垂直高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握坡度和三角函数的定义是解题关键．
21．（1）打折前甲品牌月饼每盒70元，乙品牌月饼每盒80元；（2）打折后购买这批月饼比不打折节省了2400元.
【分析】（1）根据题意，列出二元一次方程组，求解即可；
（2）利用（1）中的结论，列式求解即可.
【详解】（1）设打折前甲品牌月饼每盒元，乙品牌月饼每盒元，则打折后甲品牌月饼每盒元，乙品牌月饼每盒元，根据题意，得
解得
答：打折前甲品牌月饼每盒70元，乙品牌月饼每盒80元；
（2）由（1）得，打折后甲品牌月饼每盒56元，乙品牌月饼每盒60元，
打折后购买这批月饼比不打折节省的钱数为：
（元）
答：打折后购买这批月饼比不打折节省了2400元.
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的实际应用，解题关键是理解题意列出等式.
22．(1)；
(2)；
(3)存在，或或或．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意可得，对称轴为，可得，再根据为等边三角形，得到，即，，代入求解即可；
（3）利用直线与的解析式，求出点的坐标为，设，分三种情况，当在对称轴的右侧，点在点下方时，当在对称轴的左侧，点在点下方时，当点在点上方时，分别求解即可．
【详解】（1）解：将点，代入可得：
解得
∴；
（2）若C、D重合，则抛物线的对称轴为轴
∴，即，
所以抛物线，
由为等边三角形可得，，
∵
∴
∴，
∴，即，，
将代入可得：
解得（舍去）或
即的值为3；
（3）存在点F，使得，且，理由如下：
，则抛物线的对称轴为：，，
设直线的解析式为
则，解得，即
直线的解析式为
则，解得，即
联立方程组，解得，即
设
当在对称轴的右侧，点在点下方时，
过点作轴，作，，如下图：
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴
∴，解得或
∴或；
当在对称轴的左侧，点在点下方时，
作，轴，，如下图：
∴
∴
∴
∴
，
∵，
，
，
（舍去）或
；
当点在点上方时，此时点在对称轴的右侧，
过点作轴，作，，如下图：
∴
∴
∴，
，
，
，解得或，
综上，点F的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，一次函数与抛物线的交点坐标，等边三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质，三角形相似的判定及性质是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）
【分析】（1）证出∠A=90°即可；
（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ=PQ，设AQ=x，则DQ=PQ=6-x，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）证明：∵∠BPQ=∠BPC+∠CPQ=∠A+∠AQP，
又∠BPC=∠AQP，
∴∠CPQ=∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A=∠CPQ=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=∠CPQ=90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中， ，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL）），
∴DQ=PQ，
设AQ=x，则DQ=PQ=6-x
在Rt△APQ中，AQ2+AP2=PQ2
∴x2+22=（6-x）2，
解得：x=
∴AQ的长是．
【点睛】此题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理的应用，熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是矩形是解题的关键．
24．(1)，证明见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，利用等腰三角形三线合一的性质，即可求解；
（2）利用“”证明，即可求证；
（3）过作，则为的中点，由圆周角定理可得，则，得到，即，求得的长度，即可求解．
【详解】（1）解：结论：．
证明：如图，连接，
∵，是的中点，
∴由等腰三角形的性质，有．
（2）证明：∵是的直径，
∴，
而（同弧所对的圆周角相等），
在和中，
∵，
∴．
∴．
（3）如图，过作，则为的中点，连接、
∴
∵平分
∴，
∴，
∴
又∵
∴
又∵，
∴
∵
∴
∴，即
∴
∵，
∴
又∵，
∴
∴
∴
由（2）可得，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，利用圆心角、弧以及弦之间的关系是解题的关键．
25．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）过等边三角形的内心分别作三边的平行线，可得答案；
（2）利用，得，则是的“捷线”；
（3）根据“捷线”的定义知，与相似，当时，利用相似三角形的性质解决问题．
【详解】（1）解：过等边三角形的内心分别作三边的平行线，如图所示，
则，，，
，，是等边三角形的捷线，
故答案为：3；
（2）证明：，，
，
，
，
是的“捷线”；
（3）解：设是的内心，连接，
则平分，
是的捷线，
与相似，
分两种情况：①当时，，
，，，
，
作于点，如图所示，
则，是的内切圆半径，
，
平分，
，
，
，
即，
，
，
，
，
即，
，
②当时，
，，
同理可得，
综上：．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形的内心，勾股定理，直角三角形的内切圆半径等知识，本题综合性强，有一定的难度．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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