苏州市第五中学2023-2024学年高一上学期12月阶段测试
数学
一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={－1,0,1}，N={0,1,2}，则M∪N=（ ）
A.{－1,0,1} B. {－1,0,2} C. {－1,0,1，2} D.{0,1}
2.若a>0，b>0，则a+b≤4是ab≤4的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.若实数a=0.20.3，b=log0.30.2，c=log0.32，则（ ）
A. c
A. －8 B. 8 C. －16 D. 16
5. 已知函数在区间上有唯一零点，则正整数（ ）.
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
6.函数的图象是( )
A B C D
7. 已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）．
A. B. C. 2 D. 4
8. 已知函数，若函数，且函数有6个零点，则非零实数m的取值范围是( ) .
A．(﹣2，0)(0，16) B．(2，16)
C．(﹣2，0)(0，) D．[2，16)
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.
9.已知a,b,cR且0
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 的值域为 D. 有最小值0
11. 已知函数若方程有四个不等实根.下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，则下列为真命题的是（ ）
A.当时，值域为 B.存在，使得为奇函数或偶函数
C.当时，的定义域不可能为 D.存在，使得在区间上为减函数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.
13. 已知幂函数满足，则 ______________
14. 函数的定义域为______________
15.已知x,y>0，且，则x+y的最小值为 ．
16. 设常数,函数 .若方程有三个不相等的实数根，且，则的取值范围为_________,的取值范围为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
设全集为R，，.
（1）若，求，；
（2）若“”是“”的___________条件，求实数a的取值范围.
请在①充分不必要条件，②必要不充分条件这两个条件中选一个填在横线上，使实数a有解，并解答问题.
18. （本小题满分12分）
设，为实数，已知定义在上的函数为奇函数，且其图象经过点．
（1）求的解析式；
（2）用定义证明为上的增函数，并求在上的值域．
19. （本小题满分12分）
已知函数.
(1)若的最大值为，求实数的值;
(2)若在区间上是减函数，求实数的取值范围;
(3)是否存在实数，使得在区间上函数值的取值范围为？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由.
20．（本小题满分12分）
已知函数(a，bR)．
（1）若a＝﹣4，b＝﹣8，解关于x的不等式；
（2）已知为定义在R上的奇函数．
①当x(，0]时，求的值域；
②若对任意xR成立，求m的取值范围．
21．（本小题满分12分）
某制造商为拓展业务，引进了一种生产体育器材的新型设备．通过市场分析发现，每月需投入固定成本3000元，生产x台需另投入成本C(x)元，且若每台售价1000元，且每月生产的体育器材月内能全部售完．
（1）求制造商所获月利润L(x)（元）关于月产量x（台）的函数关系式；
（2）当月产量为多少台时，制造商由该设备所获的月利润最大？并求出最大月利润．
22．（本小题满分12分）
已知函数，且是偶函数.
（1）求k的值；
（2）若函数的图象与函数图象有交点，求b的取值范围.苏州市第五中学2023-2024学年高一上学期12月阶段测试
数学答案
一、选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分)
1．C 2．A 3．B 4．C 5．C 6． D 7．B 8．D
二、多项选择题：(本题共4小题，每小题5分，共20分)
9．BC 10．AB 11．ABD 12．AC
三、填空题：本大题共有4道小题，每小题5分，满分共20分.
13． 14． 15．5 16．，（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本大题共有6道题，满分共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解：（1）时，，
因为，解得，所以，…………………1分
所以，……………………………2分
或.……………………………4分
（2）若选择①充分不必要条件作答，则A B，……………………………6分
当时，，即时，满足A B，……………………………7分
当时，则，不等式无解， ……………………………19分
综上，的取值范围为.……………………………10分
若选择②必要不充分条件，则B A，……………………………6分
所以，解得，
综上，的取值范围为；……………………………10分
18. 【解析】（1）根据为奇函数，可得，可得，又过点，代入，可求得a，b的值，经检验符合题意，即可得答案.
（2）利用定义法取值、作差、变形、定号，得结论，即可证明的单调性，根据单调性，代入数据，即可得值域.
【小问1详解】
因为为上的奇函数，所以，即．
又因为函数图象经过点，所以，即．
解得，故，
当时，，
即为奇函数，故符合条件．
【小问2详解】
任取，且，
则．
因为，所以，又因为，所以．
即，故为上的增函数．
因为在上也递增，
所以当时，，即，
所以在上的值域为
19. 解：（1）f(x)=－(x－ )2－m+，则最大值－m+=0，解得m=0或m=4. ……2分
（2）函数图像的对称轴是直线x=，要使f(x)在[－1，0]上是单调递减，应满足≤－1，解得m≤－2,故实数m的取值范围是m≤－2. ……………………………………5分
（3）①当≤2即m≤4时，f(x)在[2,3]上单调递减.若存在实数m,使f(x)在[2,3]上的值域是[2,3],则即此时m无解. ………………7分
②当 ≥3,即m≥6时，f(x)在[2,3]上单调递增，即，解得m=6.
………………9分
③当2<<3即4
20. 解： （1）当a＝﹣4，b＝﹣8时，由，可得，令，得，解得，即，所以4分
（2）①因为为R上的奇函数，所以，即，即
所以，根据为R上的奇函数可得，所以，即为对任意上恒成立，所以6分
，令，则，所以原函数的值域转化为的值域，
又因为在上单调递增，所以的值域为8分
②，设任意，且，则
，则所以在R上单调递增10分
又因为对任意成立，且为上的奇函数，
所以对任意成立，对任意成立.
当时，满足题意；
当时，满足题意解得；综上所述，12分
21. 【答案】（1）；（2）月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．
【解析】
【分析】
（1）分和时两种情况，利用利润＝销售额－成本列式即可；
（2）利用二次函数求时的最大值，利用基本不等式求时的最大值，取最大即可.
【详解】（1）当0＜x＜40时，L(x)＝1000x－10x2－400x－3000＝－10x2＋600x－3000；
当40≤x≤100时，L(x)＝
．
所以
（2）①当0＜x＜40时，L(x)＝－10(x－30)2＋6000，
所以当x＝30时，L(x)max＝L(30)＝6000．
②当40≤x≤100时，，
当且仅当，即x＝50时取等号．
因为6400＞6000，所以x=50时，L(x)最大．
答：月产量为50台时，所获的月利润最大，最大月利润为6400元．
【点睛】本题主要考查了分段函数的实际应用，涉及二次函数求最值和基本不等式求最值，属于基础题.
22. 【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由偶函数的定义结合对数的运算性质可求出实数的值；
（2）利用参变量分离法得出关于的方程有解，然后利用指数函数和对数的函数的基本性质求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】（1）∵为偶函数，
，有，
对恒成立.
，恒成立，
.
（2）由题意知，有实数根，
即，有解.
令则函数的图象与直线有交点，
当时，
，
，
无解.
当时，
，
，
由有解可知，
所以.
∴的取值范围是.
【点睛】关键点睛：把函数的图象与函数图象有交点转化为有解的问题是解决本题的关键.
