泸县名校2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．已知命题
A．， B．，
C．， D．，
3．不等式的解集为
A． B．
C． D．
4．设，且，则
A． B．7 C．17 D．
5．函数的图象大致为
A． B．
C． D．
6．已知，，，则下列判断正确的是
A． B． C． D．
7．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是
A． B．
C． D．
8．已知函数满足，若函数的图像与的图像有4个交点，分别为，，，，则
A．2 B．4 C．8 D．2a
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．下列函数中,既是偶函数又在区间单调递增的是
A． B． C． D．
10．设，若，则实数的值可以为
A． B．0 C． D．
11．下列结论正确的是
A．若，则 B．函数的最小值为2
C．若，则 D．函数有最小值2
12．已知函数，下列关于函数的结论正确的为
A．在定义域内有三个零点 B．函数的值域为
C．在定义域内为周期函数 D．图象是中心对称图象
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则 ；
14．已知是上奇函数，当时，，则的值是 ．
15．设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为 ．
16．已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知集合，或.
（1）求；
（2）若，实数的取值范围.
18．（12分）
已知关于的不等式.
(1)若不等式的解集为，求、的值；
(2)若，解不等式.
19．（12分）
已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)求m的值，并出函数的解析式；
(2)若，求实数a的取值范围.
20．（12分）
某森林出现火灾，火势正以每分钟的速度顺风蔓延，消防站接到警报后立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场.已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁森林损失费为60元.
(1)设派名消防员前去救火，用分钟将火扑灭，试建立与的函数关系式，并求出的取值范围；
(2)问应该派多少名消防队员前去救火，才能使总损失最少？（总损失＝灭火材料、劳务津贴等费用＋车辆、器械和装备费用＋森林损失费）
21．（12分）
已知函数.
(1)用定义证明是上的增函数.
(2)是否存在m，使得对任意的恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
22．（12分）
已知函数（且）是偶函数.
(1)求的值;
(2)判断函数在的单调性，并用定义证明；
(3)若，且 对恒成立，求的取值范围.泸县名校2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试题参考答案
1．D 2．B 3．A 4．D 5．C 6．A 7．C 8．B
9．BD 10．ABD 11．AC 12．ABD
13． 14． 15． 16．
17．（1）∵，或，
∴或，又，
∴；
（2），且，则需，解得，故实数的取值范围为.
18．（1）解：原不等式可化为，
由题知，、是方程的两根，
由根与系数的关系得，解得.
（2）解：当时，所以原不等式化为，
当时，即时，解原不等式可得；
当时，即时，原不等式即为，解得；
当时，即时，解得，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
19．（1）因为函数是定义在上的奇函数，，得，
因为时，，
当时，，且，
函数是定义在上的奇函数，
，
经检验当时，是奇函数，满足题意，
所以.
（2）因为时，，所以在上单调递增，
函数是定义在上的奇函数，所以在上单调递增，
由，
，
，解得，即实数a的取值范围.
20．（1）由题意知，，即，
易知，所以与的函数关系式为，的取值范围为.
（2）设总损失为，则，
当且仅当，即时，有最小值,
所以应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少.
21．（1）证明：设，
则.
因为，所以，所以.
因为，
所以，即，
则是上的增函数.
（2）设，则.
因为，所以.
设，其图象的对称轴方程为.
当时，，即，
解得或，则符合题意；
当时，，即，
解得，则不符合题意；
当时，，即，
解得或，则符合题意.
综上，存在，使得对任意的，恒成立.
22．（1）因为函数（且）是偶函数，
所以，即，所以，
所以，因为不一定为零，所以
（2）由（1）得，则在上单调递增，理由如下：
任取，且，则
，
因为，且，
所以，，
所以，
所以，即，
所以在上单调递增；
（3）当时，因为在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为为偶函数，
所以由，
所以，即，
所以，
令，则，所以，所以在时恒成立，
所以，令，
所以当时，取得最大值，
所以，所以，且，
所以且，即的取值范围为.
