2023-2024学年第一学期温州市九年级数学期末模拟试卷解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
2. 已知，则值是（ ）
A. 1 B. C. D.
3. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
4. 若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
5. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D位于直径AB的两侧．若∠ABC=40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．50° B．40° C．60° D．45°
6. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
7. 如图，是的直径，弦交于点E． 若，，则的半径为（ ）
A．3 B．4.2 C．5.8 D．6
如图，在中，，高，正方形一边在上，
点E，F分别在上，交于点N，则的长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
9 . 如图，从点看一山坡上的电线杆，观测点的仰角是45°，向前走到达点，
测得顶端点和杆底端点的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度（ ）
A． B． C． D．
10. 如图，二次函数的图像经过点和点．关于这个二次函数的描述：
①，，；②当时，y的值等于1；③当时，y的值小于0．正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
非选择题部分
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11 . 抛掷一枚质地均匀的硬币2次“朝上的面不同”的概率是________
如图，AC为圆O的弦，点B在弧AC上，若∠CBO=58°，∠CAO=20°，则∠AOB的度数为
竖直上抛某物体时，物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系
可用公式来表示，由公式可知，该物体经过 s离地面的高度为30m.
14. 若一段圆弧的度数是120°，半径为6，则该圆弧的弧长是______.
如图，在正六边形中，以点A为原点建立直角坐标系，
边落在x轴上.若点B的坐标为，则点C的坐标是______.
16. 若方程的解是，，则抛物线的对称轴是直线______.
17. 如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，
动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．
如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 ．
如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19 . 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，
航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．
小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．
小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：
甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，
两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，
小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；
若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
20 .如图，已知，，，求的长．
21. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，求的长．（参考数据：，结果保留整数）
某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，
该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，
设这种健身球每天的销售利润为w元．
(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
23. 定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，
称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．
(1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为___________．
(2)如图②，中，，，直接写出它的所有伴随圆的半径．
(3)如图③，中，点在边上，，为的中点，且．
①求证：的外接圆是的边上的伴随圆；
②的值为___________．
24 . 【发现问题】
如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，
易得线段和的数量关系是______．
(2)将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
②图2中的度数是______．
【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，
，，，直线和直线交于点，
分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
2023-2024学年第一学期温州市九年级数学期末模拟试卷解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1.抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣3，﹣1）
【答案】A
【分析】直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．
【详解】解：抛物线的解析式为：，
其顶点坐标为：．
故选：A．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，二次函数的顶点式为，
此时顶点坐标是，对称轴是直线，此题考查了学生的应用能力．
2. 已知，则值是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，，代入即可得出答案．
【详解】解：设，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查比例的性质，正确理解题意是解题的关键．
3.从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，
由概率公式即可得出结果．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为．
故选：C．
【点睛】本题考查了树状图法求概率以及概率公式，解题的关键是画出树状图．
4. 若点Р是线段的黄金分割点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据黄金分割点的定义，知是较长线段；则，代入数据即可得出的长．
【详解】解：由于P为线段的黄金分割点，且是较长线段；
则，
故选：A．
【点睛】理解黄金分割点的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的，较长的线段=原线段的．
5.如图，AB是⊙O的直径，点C、D位于直径AB的两侧．若∠ABC=40°，则∠BDC的度数是（ ）
A．50° B．40° C．60° D．45°
【答案】A
【分析】由AB是⊙O的直径，据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠ABC=40°，即可求得∠CAB的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠BDC的度数．
【详解】∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°
∵∠ABC=40°，
∴∠CAB=50°，
又∵∠CDB=∠CAB，
∴∠CDB=50°．
故选：A．
【点睛】此题考查了圆周角定理．此题难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等的定理的应用是解此题的关键．
6. 如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，易得△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2=ED FD，代入数据可得答案．
【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED FD=2×8=16，
解得CD=4m（负值舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
7. 如图，是的直径，弦交于点E． 若，，则的半径为（ ）
A．3 B．4.2 C．5.8 D．6
【答案】C
【分析】连接，设的半径为，则，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，代入后求出即可．
【详解】解：连接，
设的半径为，则，
∵，过圆心O，，
∴，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
即的半径长是5.8，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
8.如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在上，交于点N，则的长为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【答案】C
【分析】设正方形的边长，易证四边形是矩形，则，根据正方形的性质得出，推出，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设正方形的边长，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质的运用，注意：矩形的对边相等且平行，相似三角形的对应高的比等于相似比，题目是一道中等题，难度适中．
9 .如图，从点看一山坡上的电线杆，观测点的仰角是45°，向前走到达点，测得顶端点和杆底端点的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．
在直角△APE中，∠PAE=45°，
则AE=PE=x；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，，
∵AB=AE-BE=6，
则解得：
∴
在直角△BEQ中，
故选：A
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
10.如图，二次函数的图像经过点和点．关于这个二次函数的描述：①，，；②当时，y的值等于1；③当时，y的值小于0．正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①抛物线开口方向向下，则．
对称轴在轴的右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于正半轴，则．故①正确；
②抛物线与轴另一交点横坐标，
抛物线的顶点横坐标．
抛物线开口向下，且过点，
点关于对称轴对称的点的横坐标不等于2，
当时，的值不等于1，故②错误；
③观察函数图象，可知：当时，的值小于0，故③正确；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，观察函数图象，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
非选择题部分
二、填空题（本题有8小题，每小题3分，共24分）
11 . 抛掷一枚质地均匀的硬币2次“朝上的面不同”的概率是________
【答案】
【分析】画树状图，共有4个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如图：
共有4个等可能的结果，“朝上的面不同”的结果有2个，
∴P(朝上的面不同)，
故答案为．
【点睛】本题考查树状图法或列表法求概率，准确根据题意列出相应的树状图或表格是解题关键．
12. 如图，AC为圆O的弦，点B在弧AC上，若∠CBO=58°，∠CAO=20°，则∠AOB的度数为
【答案】76°
【分析】如图，连接OC．根据∠AOB＝2∠ACB，求出∠ACB即可解决问题．
【详解】如图，连接OC．
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠OCA＝20°，∠B＝∠OCB＝58°，
∴∠ACB＝∠OCB ∠OCA＝58° 20°＝38°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝76°，
故答案为76°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
竖直上抛某物体时，物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系
可用公式来表示，由公式可知，该物体经过 s离地面的高度为30m.
【答案】2或3
【分析】利用二次函数的性质把h=30代入，求出即可．
【详解】解：设该物体经过ts离地面的高度为30m
则整理得：
解得：t=2或3
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，利用直接代入解析式求出是解题关键．
14. 若一段圆弧的度数是120°，半径为6，则该圆弧的弧长是______.
【答案】
【解析】
【分析】把已知数据代入弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：扇形的弧长，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
如图，在正六边形中，以点A为原点建立直角坐标系，
边落在x轴上.若点B的坐标为，则点C的坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】过C作轴于H，根据正六边形的性质得到，
求得，根据含30度的直角三角形的性质，勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过C作轴于H，
在正六边形中，
∵，
∴，
∴，
∵点B的坐标为，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正多边形，坐标与图形性质，直角三角形性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
16. 若方程的解是，，则抛物线的对称轴是直线______.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，从而可得答案．
【详解】解：∵函数的图象与x轴的交点的横坐标就是方程的根，
∵，，
∴，
∴对称轴为直线，
故答案为：．
【点睛】本题要求熟悉二次函数与一元二次方程的关系，并熟练运用二次函数的对称性求解对称轴是解题的关键．
17. 如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 ．
【答案】3秒或4.8秒
【分析】如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有ADE∽ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有ADE∽ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，
故答案为：3秒或4.8秒．
【点睛】主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．本题分析出以点、、为顶点的三角形与相似，有两种情况是解决问题的关键．
如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，
由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键．
三、解答题（本题有6小题，共46分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19 . 2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课开讲，
航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情．
小冰和小雪参加航天知识竞赛时，均获得了一等奖，学校想请一位同学作为代表分享获奖心得．
小冰和小雪都想分享，于是两人决定一起做游戏，谁获胜谁分享，游戏规则如下：
甲口袋装有编号为1，2的两个球，乙口袋装有编号为1，2，3，4，5的五个球，
两口袋中的球除编号外都相同．小冰先从甲口袋中随机摸出一个球，
小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为奇数，则小冰获胜；
若两球编号之和为偶数，则小雪获胜．
请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】游戏对双方都公平
【分析】根据题意列表求得双方的概率即可求解．
【详解】解：所有可能的结果如下：
1 2 3 4 5
1
2
∴共有10种等可能的结果，其中两球编号之和为奇数的有5种结果，
两球编号之和为偶数的有5种结果．
∴P（小冰获胜）
P（小雪获胜）
∵P（小冰获胜）=P（小雪获胜）
∴游戏对双方都公平．
20.如图，已知，，，求的长．
【答案】
【分析】根据两个角对应相等的两个三角形相似证明，
得出，然后代入数据计算即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：．
21. 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为的处测得试验田右侧边界处俯角为，无人机垂直下降至处，又测得试验田左侧边界处俯角为，求的长．（参考数据：，结果保留整数）
【答案】的长为
【分析】根据题意得出，在，中，分别求出，根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，
，
∴，
在中，，
∴（），
在中，，
∴（），
∴（），
即的长为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，
该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，
设这种健身球每天的销售利润为w元．
(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)
(2)
(3)该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元
【分析】（1）在中，令，进行计算即可得；
（2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式；
（3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得．
【详解】（1）解：在中，令得，，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，，
即w与x之间的函数关系式为：；
（3）解：，
∵，
∴当时，w取最大值，最大值为，
即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式．
23. 定义：圆心在三角形的一边上，与另一边相切，且经过三角形一个顶点（非切点）的圆，
称为这个三角形圆心所在边上的“伴随圆”．
(1)如图①，在中，，，，则边上的伴随圆的半径为___________．
(2)如图②，中，，，直接写出它的所有伴随圆的半径．
(3)如图③，中，点在边上，，为的中点，且．
①求证：的外接圆是的边上的伴随圆；
②的值为___________．
【答案】(1)2
(2)或或
(3)①见解析；②
【分析】（1）先依据勾股定理求得的长，然后依据切线的性质可知为圆的直径，
故此可求得的伴随圆的半径等于的一半；
当O在上时，连接，过点A作．
由等腰三角形的性质和勾股定理求得，依据切线的性质可证明，
接下来证明，由相似三角形的性质可求得的半径；
当O在上且与相切时，连接、过点A作，垂足为E．
先证明，由相似三角形的性质可求得的半径，
当O在上且与相切时，连接、过点B作，
过点A作，垂足为E．先依据面积法求得的长，
然后再证明，由相似三角形的性质可求得的半径；
①连接、，先证明，从而得到，
于是可得到，接下来证明，从而可证明；
②设的半径为r，依据勾股定理定理依据求得、、的长，
从而可求得接下来，由可求得的值，
再用r表示出、即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵是圆的切线，，
∴为圆的直径．
∴边上的伴随圆的半径为2．
故答案为：2．
（2）解：当O在上时，如图（1）所示：连接，过点A作，
∵，，
∴，
在中，由勾股定理可知，
∵与相切，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设的半径为r，则，
∴，
∴，
∴的边上的伴随圆的半径为；
当O在上时，如图（2），连接、过点A作，垂足为E，
∵与相切，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设的半径为r，则，
∴，
∴，
如图（3）所示：连接、过点B作，过点A作，垂足为E，
∵，
∴，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴；
综上所述，的伴随圆的半径分为或或．
（3）证明：①证明：如图（4）连接、，
∵为直角三角形，
∴的外接圆圆心O在中点上，
设的半径为r，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴是的切线．
∴的外接圆是某一条边上的伴随圆；
②如图（4）设圆O的半径为r，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，
锐角三角函数的定义，解题的关键是作出辅助线，画出相应的图形，注意分类讨论．
24 .【发现问题】
(1)如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______．
(2)将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点．
①判断线段和的数量关系，并证明你的结论；
②图2中的度数是______．
(3)【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)①，证明见解析；②；
(3)度，，理由见解析
【分析】（1）由等腰三角形的性质可求解；
（2）①由“SAS”可证，可得；
②由全等三角形的性质可得，即可解决问题．
（3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题．
【详解】（1）解：∵和均为等边三角形，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图2中，
①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
∴（SAS），
∴；
②∵，
∴，
设交于点．
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（3）结论：，．
理由：如图3中，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查几何综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
