人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——13.4最短路径问题
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 五 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·英吉沙期中）如图，在△ABC中，AB＝3，AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴点B，C关于直线EF对称，
∴AP+BP的最小值=AC=4，
∴周长的最小值为：AB+AP+BP=3+4=7。
故答案为：C。
【分析】根据轴对称的性质，首先求得AP+BP的最小值，进一步求得周长的最小值。
2．（2023八上·从江期中）如图所示，∠AOB=α，点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别在OA，OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（ ）
A．90°+α B．90°+α C．180°-α D．180°-2α
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
如图：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于点M，交OB于点N.
则OP1=OP=OP2，
∠OP1M=∠MPO，∠NPO=NP2O，
根据轴对称的性质可得MP=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长的最小值=P1P2，
由轴对称的性质可得∠P1OP2=2∠AOB=2a，
等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=180-2a，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=∠OP1P2+∠OP2P1=180-2a.
故答案为 ：D
【分析】分别作点P关于OA、0B的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的 周长最小值等于P1P2的长，然后依据等腰△OP1P2中，∠0P1P2 +∠OP1P2 = 180°一2a，即可得出∠MPN=∠OPM十∠OPN=∠0P1M+∠OP2N=180°一2a.
3．（2023八上·如东期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C．a+b D．a
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，推出∠BAD＝∠CAE，从而用SAS判断出△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，进而根据等边三角形的三线合一得∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，故点E在射线CE上运动，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，判断出△ACM是等边三角形，得AM＝AC，进而即可得出FM＝BF＝b，从而即可解决问题.
4．（2022八上·嘉兴期中）如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，，，
，
如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，
此时的值最小.最小值，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为7.
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质可得BA=BC，AD=DC=AQ+QD=5，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小PQ′，易得QD=DQ′=2，CQ′=BP=3，则AP=AQ′=7，推出△APQ′是等边三角形，得到PQ′=PA，据此解答.
5．（2021八上·花都期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故答案为：A．
【分析】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意得出∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，得出10=2CE+BE=2CE+4，解出CE=3，即可得出BC=7。
6．（2021八上·临沭月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
∵∠DAB=130°，
∴∠AA′M+∠A″=50°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠AA′M+∠A″=50°，再计算求解即可。
7．（2021八上·广州期中）如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= ，∠PQN= ，当MP+PQ+QN最小时，则 的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，
∴∠OPM= (180°-α)，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠1=20°+ (180°-α)=110°- α，
∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，
∴∠3= (180°-β)，
∴∠MQP=∠3= (180°-β)，
在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，
即110°- α+α+ (180°-β)=180°，
∴β-α=40°，
故答案为：C.
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，得出∠OPM=∠OPM′，∠OPM= (180°-α)，根据三角形的外角性质和平角的定义即可得出答案。
8．（2021八上·播州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BCC'中，C'F＝ BC'＝8 4，
∴CE+EF的最小值为4，
故答案为：B.
【分析】作C点关于BD的对称点C，过C作CF⊥BC交BD于点E交BC于点F， CE+EF的最小值即是C'F的长，利用ASA证明△C'BG≌△CBG，得出BC＝BC'，然后根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝30°，最后根据含30°角直角三角形的性质求C'F长，即可解答.
9．（2020八上·长沙月考）如图， ABC≌ AED，BC与ED交于点F，连接AF，P为线段AF上一动点，连接BP、DP，EF＝3，CF＝5，则BP+DP的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接CP，
由题可得，点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，
∴CP＝DP，EF＝BF＝3，
∴BP+DP＝BP+CP，
∴当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，
∵EF＝3，CF＝5，
∴BF+CF＝BC＝8，
∴BP+DP的最小值是8，
故答案为：B.
【分析】连接CP，由题可得，点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，可得到CP=DP，BF=3，故得BP+DP＝BP+CP，当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，然后求出BC的长，即可求解.
10．（2020八上·湛江月考）已知M（3，2），N（1，－1），点P在y轴上，且PM＋PN最短，则点P的坐标是（ ）
A．（0， ） B．（0，0）
C．（0， ） D．（0， ）
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：
作点N关于y轴的对称点 ，连接 交x轴于P，
设直线 的解析式为： ，把 、 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的函数解析式为 ，
令 ，求得
∴点P的坐标是 ．
故答案为：D．
【分析】可利用轴对称的思想求最短路径，即作点N关于y轴的对称点 ，连接 交x轴于P，利用待定系数法求出直线MN′的解析式，令x=0代入直线的解析式，即可求得点P的坐标.
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2021八上·蓬江期末）如图，在锐角三角形中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作于点E，交于点P，过点P作于Q，
∵平分，
∴，
∴，即为的最小值，
∵，，
∴，
∴，
即的最小值为8．
故答案为：8．
【分析】过点B作于点E，交于点P，过点P作于Q，根据，，可得，最后求出，即可得到的最小值为8。
12．（2022八上·慈溪期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝5，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 .
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF.
∵∠BAC＝90°，AB＝12，AC＝5，
∴BC＝ ，
由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，
∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝180°，
∴E，A，F共线，
∵ME＝MP，NF＝NP，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，
∵EM+MN+NF≥EF，
∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，
∵EF＝2PA，
∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝ ，
∴PM+MN+PN≥ ，
∴PM+MN+PN的最小值为 .
故答案为：.
【分析】作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF，利用勾股定理可得BC，由对称的性质可知：AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，则PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，故当PA⊥BC时，PA的值最小，然后利用等面积法求解即可.
13．（2021八上·和平期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为 ．
【答案】20
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，CE=CG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
∵GF⊥AB，
∴∠G=30°，
∴BG=2BF=28，
∵BE＝12，
∴EG=16，
∴CE=CG=8，
∴AC=BC=BE+CE=20．
故答案为：20
【分析】作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，此时CE=CG，由等边三角形的性质可得AC=BC，∠B=60°，从而求出∠G=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得BG=2BF=28，从而求出EG、CE、CG的长，根据AC=BC=BE+CE即可求解.
14．（2021八上·南充月考）如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为 ．
【答案】5cm
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，
∴OA、OB关于OC对称，
∴P点在OB上，
∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，
∵PN=OP=×10=5cm，
∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm.
故答案为：5cm.
【分析】作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，由题意可得OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PN=OP=5cm，然后根据QM+QN=PQ+QN=PN进行解答.
15．（2021八上·铁东期中）如图，在 中， ， ，以BC为边在BC的右侧作等边 ，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当 的值最小时， 的度数为 ．
【答案】15°
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，
∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，
∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，
∴CE为线段BD的垂直平分线，
∴PD=BP，
∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，
∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，
连接BP1，则BP1=DP1，
∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，
∴∠CBP1=∠CDP1，
∵AC=BC=CD，
∴∠CDP1=∠CAD，即
延长AC至Q，
∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，
∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，
∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，
∴当 的值最小时， =15°，
故答案为：15°．
【分析】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，因为△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，得出CE为线段BD的垂直平分线，PD=BP，当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，则BP1=DP1，得出∠CDP1=∠CAD，延长AC至Q，得出∠CBP1=15°，推出当 的值最小时， =15°。
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、作图题
得分
16．如图，已知△ABC的顶点分别为A （-2，2），B （-4，5），C（-5，1）．
⑴作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
⑵若点P（a，b）是△ABC内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是
⑶在x轴上找一点P，使得AP+CP最小（画出图形，找到点P的位置）．
【答案】解：⑴如图所示，△ABC即为所求，点B的坐标为（-4，-5）；
⑵（- a，b）；
⑶如图所示，点P即为所求．
【知识点】轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a,b）
故答案为：（-a,b）
（3）∵A，A'关于x轴对称，
∴ 连接A'C交x轴于点P
∴AP+CP=A'P+CP最小
则P点即为所求
【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可求出答案.
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
（3）根据对称性质，找A关于x轴的对称点A'，连接A'C，使得AP+CP=A'P+CP最小，则P点即为所求，即可求出答案.
17．如图，要在街道l上修建一个牛奶售卖点D．（街道用直线l表示）
（1）如图①，若牛奶售卖点D向小区A，B提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A ，B的距离之和最短？
（2）如图②，若牛奶售卖点D向小区A，C提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？
【答案】（1）解：作线段AB，与直线l交于点D，点 D 就是牛奶售卖点所在位置
（2）解：作线段AB，与直线l交于点D，点 D 就是牛奶售卖点所在位置
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）如图，连结AB，交直线l于点D，点D就是牛奶售卖点所在位置.
(2) 如图，作点A关于直线l的对称点，连结C交直线l于点D，点 D 就是牛奶售卖点所在位置.
【分析】（1）连结AB，线段AB与直线l的交点就是要求作的点；
（2）作点A关于直线l的对称点，将这个点与点C连结，连线与直线l的交点就是要求作的点.
阅卷人 四、解答题
得分
18．（2020八上·临洮期末）如图，等边 的边长为 ， 是 边上的中线， 是 边上的动点， 是 边上一点，若 ，当 取得最小值时，则 的度数为多少？
【答案】解：如图，取AB的中点G，连接CG交AD于点F，
∵等边△ABC的边长为4，AE=2，
∴点E是AC的中点，
所以点G和点E关于AD对称，
此时EF+FC=CG最小，
根据等边三角形三线合一的性质可知：
∠ECF= ∠ACB=30°.
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】可以取AB的中点G，连接CG交AD于点F，根据等边△ABC的边长为4，AE=2，可得点E是AC的中点，点G和点E关于AD对称，此时EF+FC=CG最小，根据等边三角形的性质即可得∠ECF的度数.
阅卷人 五、综合题
得分
19．（2023八上·安顺期末）如图，在中，已知，是边上的中线，点是边上一动点，点是上的一个动点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，，且时，求的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出的最小值．
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）解：∵CE⊥AB，
∴·BC·AD＝·AB·CE，
又∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝=．
（3）解：PE+PB的最小值为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接PC，
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理求得∠ACB的度数即可；
（2）利用三角形等面积法可得·BC·AD＝·AB·CE，再代入数据计算即可求解；
（3）连接PC，利用线段垂直平分线性质及轴对称性质，可得到PB+PE＝PE+PC≥CE，即把问题转化为两点之间线段最短，进而求解即可．
20．（2021八上·东城期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）若与关于y轴对称，画出；
（2）若在直线l上存在点P，使的周长最小，则点P的坐标为 ．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（2）解：如图所示，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P即为所求，
由图可知点P的坐标为（3，3）．
【分析】（1）先根据关于y轴对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P即为所求。
21．（2021八上·海珠期末）已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
【答案】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形
（2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴ ；
（3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠A=∠ACD=45°，∠CPE = ∠CEB = 67.5°，即可即可得出结论；
（2）在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=CE，即可得出结论；
（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，证明∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，即可得出结论。
22．（2021八上·桂林期末）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于点 F，且BF＝FA，BE＝AB，EG⊥BC 于点G.
（1）求证：∠BAD＝∠EBG；
（2）求证：AD＝DG＋EG；
（3）点H 为线段DG 上的一个动点，当AH＋HE 的值最小时，求∠DAH 的度数.
【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC
∴∠2＝∠3
∵BF＝FA
∴∠2＝∠1
∴∠1＝∠3
（2）证明：∵AD⊥BC EG⊥BC
∴∠ADB＝∠BGE＝90°
在△ABD和△BEG中
∴△ABD≌△BEG（AAS）
∴AD＝BG BD＝EG
∵BG＝BD＋DG＝DG＋EG
∴AD＝DG＋EG
（3）解：延长EG至点E′,使得GE′=GE
连接AE′, BE′，此时AH+HE的值最小
根据题意，易得 △BE′G≌△BEG
∴∠3＝∠GBE′ BE＝BE′
由（1）可知 ∠1＝∠2＝∠3＝30°
∴∠ABE′＝∠2＋∠3＋∠GBE′＝90°
∵AB＝BE BE＝BE′
∴AB＝BE′
即△ABE′是等腰直角三角形
∴∠BAH＝45°
∴∠DAH＝∠BAH -∠1＝15°
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得到∠2＝∠3，再根据等腰三角形的性质，可推出∠2=∠1，由此可证得结论。
（2）利用垂直的定义可证得∠ADB＝∠BGE，再利用ASA可得到ABD≌△BEG，利用全等三角形的对应边相等，可推出AD＝BG，BD＝EG，由此可推出结论。
（3）延长EG至点E′，使得GE′=GE连接AE′，BE′，此时AH+HE的值最小 ，易证△BE′G≌△BEG，利用全等三角形的性质可证得∠3＝∠GBE′ ，BE＝BE；再证明AB＝BE′，可推出△ABE′是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得到∠BAH=45°，然后利用∠DAH＝∠BAH -∠1，代入计算可求出∠DAH的度数。
23．（2020八上·椒江期中）如图
（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB PC（填“ ”“ ”或“=”）；
（2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则 ，请帮小明说明原因.
（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，
①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？
②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？
【答案】（1）=
（2）解：理由：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF
∴ ；
（3）解：①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2，
由对称的性质可得AP1=AP=AP2，DP1=DP，EP2=EP，
∴PD+DE+PE= DP1+DE+ EP2= P1P2，根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此时PD+DE+PE最小，即P1P2的长
即当AP⊥BC于P时，PD+DE+PE最小；
②∵S△ABC=10，BC=5，
∴ BC·AP=10
解得：AP=4
由对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP
∴∠DAP1＋∠EAP2=∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30°
∴∠P1AP2=60°
∴△P1AP2是等边三角形
∴P1P2= AP1=4
即PD+DE+PE的最小值是4.
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）∵OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，
∴PB=PC
故答案为：=；
【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论；（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式即可证出结论；（3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2即可；②根据三角形的面积公式即可求出AP，然后根据对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP，从而证出△P1AP2是等边三角形，即可得出结论.
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人教版2023-2024年数学八年级第一学期期末扫盲清障复习卷——13.4最短路径问题
数学考试
考试时间：120分钟 满分：120分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 四 五 总分
评分
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
阅卷人 一、选择题
得分
1．（2023八上·英吉沙期中）如图，在△ABC中，AB＝3，AC=4，EF垂直平分BC，交AC于点D，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12 B．6 C．7 D．8
2．（2023八上·从江期中）如图所示，∠AOB=α，点P是∠AOB内的一定点，点M，N分别在OA，OB上移动，当△PMN的周长最小时，∠MPN的值为（ ）
A．90°+α B．90°+α C．180°-α D．180°-2α
3．（2023八上·如东期末）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（ ）
A． B． C．a+b D．a
4．（2022八上·嘉兴期中）如图，在等边中，为中点，点，分别为，上的点，，，在上有一动点，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
5．（2021八上·花都期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．（2021八上·临沭月考）如图，四边形ABCD中，∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使三角形AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．80° B．90° C．100° D．130°
7．（2021八上·广州期中）如图，∠AOB=20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ= ，∠PQN= ，当MP+PQ+QN最小时，则 的值为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．60°
8．（2021八上·播州期末）如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
9．（2020八上·长沙月考）如图， ABC≌ AED，BC与ED交于点F，连接AF，P为线段AF上一动点，连接BP、DP，EF＝3，CF＝5，则BP+DP的最小值是（ ）
A．4 B．8 C．10 D．16
10．（2020八上·湛江月考）已知M（3，2），N（1，－1），点P在y轴上，且PM＋PN最短，则点P的坐标是（ ）
A．（0， ） B．（0，0）
C．（0， ） D．（0， ）
阅卷人 二、填空题
得分
11．（2021八上·蓬江期末）如图，在锐角三角形中，，，平分，若、分别是、上的动点，则的最小值是 ．
12．（2022八上·慈溪期中）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝5，M、N、P分别是边AB、AC、BC上的动点，连接PM、PN和MN，则PM+PN+MN的最小值是 .
13．（2021八上·和平期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝12，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝14，则AC的长为 ．
14．（2021八上·南充月考）如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为 ．
15．（2021八上·铁东期中）如图，在 中， ， ，以BC为边在BC的右侧作等边 ，点E为BD的中点，点P为CE上一动点，连结AP，BP．当 的值最小时， 的度数为 ．
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
阅卷人 三、作图题
得分
16．如图，已知△ABC的顶点分别为A （-2，2），B （-4，5），C（-5，1）．
⑴作出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
⑵若点P（a，b）是△ABC内部一点，则点P关于y轴对称的点的坐标是
⑶在x轴上找一点P，使得AP+CP最小（画出图形，找到点P的位置）．
17．如图，要在街道l上修建一个牛奶售卖点D．（街道用直线l表示）
（1）如图①，若牛奶售卖点D向小区A，B提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A ，B的距离之和最短？
（2）如图②，若牛奶售卖点D向小区A，C提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A，C的距离之和最短？
阅卷人 四、解答题
得分
18．（2020八上·临洮期末）如图，等边 的边长为 ， 是 边上的中线， 是 边上的动点， 是 边上一点，若 ，当 取得最小值时，则 的度数为多少？
阅卷人 五、综合题
得分
19．（2023八上·安顺期末）如图，在中，已知，是边上的中线，点是边上一动点，点是上的一个动点．
（1）若，求的度数；
（2）若，，，且时，求的长；
（3）在（2）的条件下，请直接写出的最小值．
20．（2021八上·东城期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）若与关于y轴对称，画出；
（2）若在直线l上存在点P，使的周长最小，则点P的坐标为 ．
21．（2021八上·海珠期末）已知：如图，ABC中，AB＝AC，∠A＝45°，E是AC上的一点，∠ABE＝∠ABC，过点C作CD⊥AB于D，交BE于点P．
（1）直接写出图中除ABC外的所有等腰三角形；
（2）求证：BD＝PC；
（3）点H、G分别为AC、BC边上的动点，当DHG周长取取小值时，求∠HDG的度数．
22．（2021八上·桂林期末）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于点 D，∠ABC 的角平分线 BE 交 AD 于点 F，且BF＝FA，BE＝AB，EG⊥BC 于点G.
（1）求证：∠BAD＝∠EBG；
（2）求证：AD＝DG＋EG；
（3）点H 为线段DG 上的一个动点，当AH＋HE 的值最小时，求∠DAH 的度数.
23．（2020八上·椒江期中）如图
（1）性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，如图1：OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，则PB PC（填“ ”“ ”或“=”）；
（2）探索：如图2，小明发现，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则 ，请帮小明说明原因.
（3）应用：如图3，在小区三条交叉的道路AB，BC，CA上各建一个菜鸟驿站D，P，E，工作人员每天来回的路径为P→D→E→P，
①问点P应选在BC的何处时，才能使PD+DE+PE最小？
②若∠BAC=30°，S△ABC=10，BC=5，则PD+DE+PE的最小值是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴点B，C关于直线EF对称，
∴AP+BP的最小值=AC=4，
∴周长的最小值为：AB+AP+BP=3+4=7。
故答案为：C。
【分析】根据轴对称的性质，首先求得AP+BP的最小值，进一步求得周长的最小值。
2．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】
如图：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1、P2交OA于点M，交OB于点N.
则OP1=OP=OP2，
∠OP1M=∠MPO，∠NPO=NP2O，
根据轴对称的性质可得MP=P1M，PN=P2N，
∴△PMN的周长的最小值=P1P2，
由轴对称的性质可得∠P1OP2=2∠AOB=2a，
等腰△OP1P2中，∠OP1P2+∠OP2P1=180-2a，
∴∠MPN=∠OPM+∠OPN=∠OP1M+∠OP2N=∠OP1P2+∠OP2P1=180-2a.
故答案为 ：D
【分析】分别作点P关于OA、0B的对称点P1、P2，连接P1、P2，交OA于M，交OB于N，△PMN的 周长最小值等于P1P2的长，然后依据等腰△OP1P2中，∠0P1P2 +∠OP1P2 = 180°一2a，即可得出∠MPN=∠OPM十∠OPN=∠0P1M+∠OP2N=180°一2a.
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AF＝CF＝a，BF＝b，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM＝a+b，
故答案为：B.
【分析】根据等边三角形的性质得AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，推出∠BAD＝∠CAE，从而用SAS判断出△BAD≌△CAE，得∠ABD＝∠ACE，进而根据等边三角形的三线合一得∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，故点E在射线CE上运动，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，判断出△ACM是等边三角形，得AM＝AC，进而即可得出FM＝BF＝b，从而即可解决问题.
4．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，
，，，
，
如图，作点关于的对称点，连接交于，连接，
此时的值最小.最小值，
，，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的最小值为7.
故答案为：A.
【分析】根据等边三角形的性质可得BA=BC，AD=DC=AQ+QD=5，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小PQ′，易得QD=DQ′=2，CQ′=BP=3，则AP=AQ′=7，推出△APQ′是等边三角形，得到PQ′=PA，据此解答.
5．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故答案为：A．
【分析】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意得出∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，得出10=2CE+BE=2CE+4，解出CE=3，即可得出BC=7。
6．【答案】C
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，
∵∠DAB=130°，
∴∠AA′M+∠A″=50°，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×50°=100°，
故答案为：C．
【分析】先求出∠AA′M+∠A″=50°，再计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】如图，作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，
∵∠MPM′+∠MPQ=180°，∠OPM=∠OPM′，∠OPM+∠OPM′=∠MPM，∠MPQ=α，
∴∠OPM= (180°-α)，
∵∠1=∠O+∠OPM，
∴∠1=20°+ (180°-α)=110°- α，
∵∠2=∠3，∠2+∠3+∠MQN=180°，∠PQN=β，
∴∠3= (180°-β)，
∴∠MQP=∠3= (180°-β)，
在△PMQ中，∠1+∠MPQ+∠MQP=180°，
即110°- α+α+ (180°-β)=180°，
∴β-α=40°，
故答案为：C.
【分析】作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，交OA于点Q，交OB于点P，则MP+PQ+QN最小，得出∠OPM=∠OPM′，∠OPM= (180°-α)，根据三角形的外角性质和平角的定义即可得出答案。
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BCC'中，C'F＝ BC'＝8 4，
∴CE+EF的最小值为4，
故答案为：B.
【分析】作C点关于BD的对称点C，过C作CF⊥BC交BD于点E交BC于点F， CE+EF的最小值即是C'F的长，利用ASA证明△C'BG≌△CBG，得出BC＝BC'，然后根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝30°，最后根据含30°角直角三角形的性质求C'F长，即可解答.
9．【答案】B
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接CP，
由题可得，点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，
∴CP＝DP，EF＝BF＝3，
∴BP+DP＝BP+CP，
∴当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，
∵EF＝3，CF＝5，
∴BF+CF＝BC＝8，
∴BP+DP的最小值是8，
故答案为：B.
【分析】连接CP，由题可得，点C与点D关于AF对称，点B与点E关于AF对称，可得到CP=DP，BF=3，故得BP+DP＝BP+CP，当B，P，C在同一直线上时，BP+DP的最小值等于BC的长，然后求出BC的长，即可求解.
10．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：
作点N关于y轴的对称点 ，连接 交x轴于P，
设直线 的解析式为： ，把 、 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的函数解析式为 ，
令 ，求得
∴点P的坐标是 ．
故答案为：D．
【分析】可利用轴对称的思想求最短路径，即作点N关于y轴的对称点 ，连接 交x轴于P，利用待定系数法求出直线MN′的解析式，令x=0代入直线的解析式，即可求得点P的坐标.
11．【答案】8
【知识点】三角形的面积；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作于点E，交于点P，过点P作于Q，
∵平分，
∴，
∴，即为的最小值，
∵，，
∴，
∴，
即的最小值为8．
故答案为：8．
【分析】过点B作于点E，交于点P，过点P作于Q，根据，，可得，最后求出，即可得到的最小值为8。
12．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点P关于AB，AC的对称点E，F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF.
∵∠BAC＝90°，AB＝12，AC＝5，
∴BC＝ ，
由对称的性质可知，AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，
∵∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝90°，
∴∠EAF＝180°，
∴E，A，F共线，
∵ME＝MP，NF＝NP，
∴PM+MN+PN＝EM+MN+NF，
∵EM+MN+NF≥EF，
∴EF的值最小时，PM+MN+PN的值最小，
∵EF＝2PA，
∴当PA⊥BC时，PA的值最小，此时PA＝ ，
∴PM+MN+PN≥ ，
∴PM+MN+PN的最小值为 .
故答案为：.
【分析】作点P关于AB、AC的对称点E、F，连接PE，PF，PA，EM，FN，AE，AF，利用勾股定理可得BC，由对称的性质可知：AE＝AP＝AF，∠BAP＝∠BAE，∠CAP＝∠CAF，则PM+MN+PN＝EM+MN+NF≥EF，故当PA⊥BC时，PA的值最小，然后利用等面积法求解即可.
13．【答案】20
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，CE=CG，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠B=60°，
∵GF⊥AB，
∴∠G=30°，
∴BG=2BF=28，
∵BE＝12，
∴EG=16，
∴CE=CG=8，
∴AC=BC=BE+CE=20．
故答案为：20
【分析】作点E关于CD的对称点G，过点G作GF⊥AB于点F，GF交CD于点P，此时EP+PF的值最小，此时CE=CG，由等边三角形的性质可得AC=BC，∠B=60°，从而求出∠G=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得BG=2BF=28，从而求出EG、CE、CG的长，根据AC=BC=BE+CE即可求解.
14．【答案】5cm
【知识点】含30°角的直角三角形；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，
∵∠AOB=30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，
∴OA、OB关于OC对称，
∴P点在OB上，
∴OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，
∵PN=OP=×10=5cm，
∴QM+QN=PQ+QN=PN=5cm.
故答案为：5cm.
【分析】作M关于OC的对称点P，过P作PN⊥OA于N，交OC于Q，则此时QM+QN的值最小，由题意可得OP=OM=10cm，QM=PQ，∠PNO=90°，根据含30°角的直角三角形的性质可得PN=OP=5cm，然后根据QM+QN=PQ+QN=PN进行解答.
15．【答案】15°
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，
∵△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，
∴∠CBD=∠BCD=∠BDC=60°，BC=CD，CE⊥BD，BE=DE，
∴CE为线段BD的垂直平分线，
∴PD=BP，
∴当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，
∴当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，
连接BP1，则BP1=DP1，
∴∠P1BD=∠P1DB，又∠CBD=∠BDC，
∴∠CBP1=∠CDP1，
∵AC=BC=CD，
∴∠CDP1=∠CAD，即
延长AC至Q，
∵∠ACB=90°，∠BCD=60°，
∴∠DCQ=90°﹣60°=30°，又∠DCQ=∠CDP1+∠CAD=2∠CDP1，
∴∠CDP1=15°，即∠CBP1=15°，
∴当 的值最小时， =15°，
故答案为：15°．
【分析】连接PD、AD，设AD与CE交于点P1，因为△BCD是等边三角形，点E为BC的中点，得出CE为线段BD的垂直平分线，PD=BP，当点P运动时，AP+BP=AP+PD，而AP+PD≥AD，当点A、P、D共线时即点P运动到P1时，AP+BP有最小值，连接BP1，则BP1=DP1，得出∠CDP1=∠CAD，延长AC至Q，得出∠CBP1=15°，推出当 的值最小时， =15°。
16．【答案】解：⑴如图所示，△ABC即为所求，点B的坐标为（-4，-5）；
⑵（- a，b）；
⑶如图所示，点P即为所求．
【知识点】轴对称的性质；关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）点P（a，b）关于y轴对称的点的坐标为（-a,b）
故答案为：（-a,b）
（3）∵A，A'关于x轴对称，
∴ 连接A'C交x轴于点P
∴AP+CP=A'P+CP最小
则P点即为所求
【分析】（1）根据轴对称图形的性质即可求出答案.
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求出答案.
（3）根据对称性质，找A关于x轴的对称点A'，连接A'C，使得AP+CP=A'P+CP最小，则P点即为所求，即可求出答案.
17．【答案】（1）解：作线段AB，与直线l交于点D，点 D 就是牛奶售卖点所在位置
（2）解：作线段AB，与直线l交于点D，点 D 就是牛奶售卖点所在位置
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（1）如图，连结AB，交直线l于点D，点D就是牛奶售卖点所在位置.
(2) 如图，作点A关于直线l的对称点，连结C交直线l于点D，点 D 就是牛奶售卖点所在位置.
【分析】（1）连结AB，线段AB与直线l的交点就是要求作的点；
（2）作点A关于直线l的对称点，将这个点与点C连结，连线与直线l的交点就是要求作的点.
18．【答案】解：如图，取AB的中点G，连接CG交AD于点F，
∵等边△ABC的边长为4，AE=2，
∴点E是AC的中点，
所以点G和点E关于AD对称，
此时EF+FC=CG最小，
根据等边三角形三线合一的性质可知：
∠ECF= ∠ACB=30°.
【知识点】等边三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】可以取AB的中点G，连接CG交AD于点F，根据等边△ABC的边长为4，AE=2，可得点E是AC的中点，点G和点E关于AD对称，此时EF+FC=CG最小，根据等边三角形的性质即可得∠ECF的度数.
19．【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵AD是BC边上的中线，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝37°，
∴∠ABC＝53°，
∴∠ACB＝53°．
（2）解：∵CE⊥AB，
∴·BC·AD＝·AB·CE，
又∵BC＝6，AD＝4，AB＝5，
∴CE＝=．
（3）解：PE+PB的最小值为．
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（3）如图所示，连接PC，
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PE+PC≥CE，
∴PE+PB的最小值为．
【分析】
（1）利用等腰三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC，∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理求得∠ACB的度数即可；
（2）利用三角形等面积法可得·BC·AD＝·AB·CE，再代入数据计算即可求解；
（3）连接PC，利用线段垂直平分线性质及轴对称性质，可得到PB+PE＝PE+PC≥CE，即把问题转化为两点之间线段最短，进而求解即可．
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（2）解：如图所示，作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P即为所求，
由图可知点P的坐标为（3，3）．
【分析】（1）先根据关于y轴对称的点坐标的特征找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点P，点P即为所求。
21．【答案】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形
（2）证明：如图，在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，
∵DH=DB，CD⊥AB，
∴BC=CH，
∴∠BHC=∠ABC=67.5°，
∵∠BEC=∠ACB=67.5°，
∴∠BHC=∠ABC=∠BEC=∠ACB，
∵BC=CB，
∴△BCH≌△CBE，
∴BH=CE，
∵CE=CP，
∴BH=CP，
∴ ；
（3）解：如图，作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，
∵∠ABC=67.5°，CD⊥AB，
∴∠BCD=90°-∠ABC=22.5°，
∵DM⊥CB，
∴∠CDM=90°-∠BCD=90°-22.5°=67.5°，
∵DA=DC，DF⊥AC，
∴∠CDF=∠CDA=45°，
∴∠MDF=45°+67.5°=112.5°，
∴∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，
∵GD=GM，HF=HD，
∴∠M=∠GDM，∠F=∠HDF，
∵∠DGH=∠M+∠GDM=2∠M，∠DHG=∠F+∠HDF=2∠F，
∴∠DGH+∠DHG=2(∠M+∠F)=135°，
∴∠GDH=180°-(∠DGH+∠DHG)=45°．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，∠A=45°，
∴∠ABC = ∠ACB = (180°-45°)=67.5°，
∵∠ABE＝∠ABC，
∴∠ABE = 22.5°，
∴∠CBE=45°，
∴∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，
∴∠BEC=∠ACB，
∴BC=BE，即△BCE为等腰三角形，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC = ∠CDB = 90°，
∴∠ACD = 90°–∠A = 45°
∴∠A=∠ACD=45°，
∴DA= DC，
∴△ADC是等腰三角形，
∵∠CPE = ∠BPD = 90°–∠ABE=67.5°，∠BEC=180°-∠CBE-∠ACB=67.5°，∠CEP =67.5°，
∴∠CPE = ∠CEB = 67.5°，
∴CP=CE，
∴△CPE是等腰三角形，
综上所述，除ABC外的所有等腰三角形有△ADC，△CPE，△BCE；
【分析】（1）△ADC，△CPE，△BCE都是等腰三角形，分别证明∠A=∠ACD=45°，∠CPE = ∠CEB = 67.5°，即可即可得出结论；
（2）在线段AD上取点H，使DH=DB，连接CH，利用全等三角形的性质证明BH=CE，即可得出结论；
（3）作点D关于直线BC的对称点M，作点D关于AC的对称点F，连接FM交BC于点G，交AC于点H，此时△DGH的周长最小，证明∠M+∠F=180°-112.5°=67.5°，即可得出结论。
22．【答案】（1）证明：∵BE平分∠ABC
∴∠2＝∠3
∵BF＝FA
∴∠2＝∠1
∴∠1＝∠3
（2）证明：∵AD⊥BC EG⊥BC
∴∠ADB＝∠BGE＝90°
在△ABD和△BEG中
∴△ABD≌△BEG（AAS）
∴AD＝BG BD＝EG
∵BG＝BD＋DG＝DG＋EG
∴AD＝DG＋EG
（3）解：延长EG至点E′,使得GE′=GE
连接AE′, BE′，此时AH+HE的值最小
根据题意，易得 △BE′G≌△BEG
∴∠3＝∠GBE′ BE＝BE′
由（1）可知 ∠1＝∠2＝∠3＝30°
∴∠ABE′＝∠2＋∠3＋∠GBE′＝90°
∵AB＝BE BE＝BE′
∴AB＝BE′
即△ABE′是等腰直角三角形
∴∠BAH＝45°
∴∠DAH＝∠BAH -∠1＝15°
【知识点】等腰三角形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义可得到∠2＝∠3，再根据等腰三角形的性质，可推出∠2=∠1，由此可证得结论。
（2）利用垂直的定义可证得∠ADB＝∠BGE，再利用ASA可得到ABD≌△BEG，利用全等三角形的对应边相等，可推出AD＝BG，BD＝EG，由此可推出结论。
（3）延长EG至点E′，使得GE′=GE连接AE′，BE′，此时AH+HE的值最小 ，易证△BE′G≌△BEG，利用全等三角形的性质可证得∠3＝∠GBE′ ，BE＝BE；再证明AB＝BE′，可推出△ABE′是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得到∠BAH=45°，然后利用∠DAH＝∠BAH -∠1，代入计算可求出∠DAH的度数。
23．【答案】（1）=
（2）解：理由：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF
∴ ；
（3）解：①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2，
由对称的性质可得AP1=AP=AP2，DP1=DP，EP2=EP，
∴PD+DE+PE= DP1+DE+ EP2= P1P2，根据两点之间，线段最短和垂线段最短，即可得出此时PD+DE+PE最小，即P1P2的长
即当AP⊥BC于P时，PD+DE+PE最小；
②∵S△ABC=10，BC=5，
∴ BC·AP=10
解得：AP=4
由对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP
∴∠DAP1＋∠EAP2=∠DAP＋∠EAP=∠DAE=30°
∴∠P1AP2=60°
∴△P1AP2是等边三角形
∴P1P2= AP1=4
即PD+DE+PE的最小值是4.
【知识点】角平分线的性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（1）∵OP平分∠MON，PC⊥OM于C，PB⊥ON于B，
∴PB=PC
故答案为：=；
【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论；（2）过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质可得DE=DF，然后根据三角形的面积公式即可证出结论；（3）①过点A作AP⊥BC于P，分别作点P关于AB、AC的对称点P1、P2，连接P1P2分别交AB、AC于D、E，连接PD、PE、AP1、AP2即可；②根据三角形的面积公式即可求出AP，然后根据对称的性质可得AP1=AP=AP2=4，DP1=DP，EP2=EP，∠DAP1=∠DAP，∠EAP2=∠EAP，从而证出△P1AP2是等边三角形，即可得出结论.
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