崇明区2023-2024学年高三上学期12月第一次模拟考试
数 学
考生注意：
本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）
【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】
1．不等式的解是 ．
2．双曲线的焦距是 ．
3．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则实数m的值为 ．
4．已知等比数列首项，公比，则 ．
5．的展开式中的系数为 ．（用数字作答）
6．已知圆锥的母线与底面所成角为，高为1，则该圆锥的母线长为 ．
7．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为 ．
8．如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，
则他平均每场得 分．
9．已知事件A与事件B相互独立，如果，，则 ．
10．用易拉罐包装的饮料是超市和自动售卖机里的常见商品．如图，是某品牌的易拉罐包装的饮料．在满足容积要求的情况下，饮料生产商总希望包装材料的成本最低，也就是易拉罐本身的质量最小．某数学兴趣小组对此想法通过数学建模进行验证．为了建立数学模型，他们提出以下3个假设：（1）易拉罐容积相同；（2）易拉罐是一个上下封闭的空心圆柱体；（3）易拉罐的罐顶、罐体和罐底的厚度和材质都相同．
你认为以此3个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．
．
11．已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
12．已知正实数满足，，则当取得最小值时，
．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分）
【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】
13．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
14．若，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：
：过点M有且只有一个平面与和都平行；
：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．
则以下说法正确的是
A．命题是真命题，命题是假命题 B．命题是假命题，命题是真命题
C．命题，都是真命题 D．命题，都是假命题
16．若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】
17．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分7分，第(2)小题满分7分）
如图，四棱锥中，平面，，，，
，E、F分别为PB、AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求点B到平面的距离．
18．（本题满分14分，本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
在中，，．
（1）若，求A和外接圆半径R的值；
（2）若的面积，求c的值．
19．（本题满分14分，本题共有3个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分）
交通拥堵指数（TPI）是表征交通拥堵程度的客观指标，用TPI表示，TPI越大代表拥堵程度越高．某平台计算TPI的公式为：，并按TPI的大小将城市道路拥堵程度划分如下表所示的4个等级：
TPI 不低于4
拥堵等级 畅通 缓行 拥堵 严重拥堵
某市2023年元旦及前后共7天与2022年同期的交通高峰期城市道路TPI的统计数据如下图：
（1）从2022年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；
（2）从2023年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数记为X，求所有X的可能值及其发生的概率．
20．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知抛物线，，直线l交抛物线于点A、D，交抛物线于点B、C，其中点A、B位于第一象限．
（1）若点A到抛物线焦点的距离为2，求点A的坐标；
（2）若点A的坐标为，且线段AC的中点在x轴上，求原点O到直线l的距离；
（3）若，求与的面积之比．
21．（本题满分18分，本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分8分）
已知．
（1）若函数是实数集R上的严格增函数，求实数m的取值范围；
（2）已知数列是等差数列（公差），．是否存在数列使得数列是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列，并证明此时的数列是等差数列；若不存在，请说明理由；
（3）若，是否存在直线满足：①对任意的都有成立，
②存在使得？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．
参考答案及评分标准
一、填空题
1. （1，3）； 2. ； 3. 2； 4. 31； 5. 10；6. ；
7. 3； 8. 9； 9. 0.42； 10. 假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚； 11. ； 12. .
二、选择题
13. D； 14. C； 15. A； 16. A.
三、解答题
17. 解 （1）证明：取中点，连接、，则，，
由于，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以，......................................4分
由于不在平面上，平面，
所以平面；.....................................................................................7分
（2）设点到平面的距离为，
由题意，，又平面，所以
在中，，所以......................4分
由得
所以，即点B到平面的距离为.......................................7分
解 （1）因为，，所以...........2分
由正弦定理，得，即，....................................4分
所以，，
因为，所以，因此，..................................................6分
（2）由得，....................2分
于是.....................4分
当时，由余弦定理，得.....................6分
当时，由余弦定理，得.
所以，或............................................................................................8分
解 （1）根据统计数据可得：2022年元旦及前后共7天中，共有2天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”；..................................3分
设7天中任取1天，这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率为，
则...............................................................6分
（2）根据统计数据可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的天数共有2天，故.....................2分
；；
...........................................................................................8分
解 （1）抛物线的准线为，
因为点A到抛物线焦点的距离为2，所以点A到抛物线准线的距离为2，
所以点的横坐标为1，故点的坐标为(1,2).....................4分
（2）设，则线段AC的中点坐标为
由题意，，故，所以.....................2分
所以直线的方程为：.....................4分
所以原点O到直线l的距离.....................6分
（3）由题意，直线的斜率显然存在且，设直线的方程为
设
由，得①，.....................2分
由，得：，所以，
同理，，.....................4分
所以②，③
由①，②得：，代入③得，代入②得
所以...............................................................8分
21.解 （1）因为函数是实数集R上的严格增函数，
所以对任意的R都成立.............................2分
因为函数的最小值为，所以.....................4分
，若是等差数列，则对一切正整数成立，
即，
将代入化简得，
即，
展开化简得对一切正整数成立，所以，
故；......................................................3分
注：这里只要给出合适的一个等差数列即可得分
此时
，所以为常数，
故是等差数列......................................................................6分
（3）令
则当时，
时，存在使得，
即存在使得，与题意不符
同理，时，存在使得，与题意不符.......................4分
时，
当时，显然存在存在使得，即存在存在使得
当时，对任意的都有，..................................6分
当时，存在，使得，且对任意的都有，即对任意的都有
综上，存在直线满足题意，直线方程为..................................8分
