人教版2023年九年级上册期末押题练习卷
一、选择题
1．下面的图形是用数学家的名字命名的，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．如图，，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
4．如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，且满足，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
5．下列事件发生的概率为的是（ ）
A．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有到的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为7
C．从一个只有红球的袋子里摸出一个球是红球
D．射击运动员只射击次，就命中靶心
6．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有2只动物被感染，后来经过两轮感染后共有242只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（ ）
A． B． C． D．
9．若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线与轴相交于、两点，其顶点为，将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则 ．
12．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为 ．
13．某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物30元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 200 300 500 1000
落在“签字笔”区域的次数 65 122 190 306 601
假如你去转动该转盘一次．你获得签字笔的概率约是 ．（精确到0.1）
14．在中，，，，如果以点A为圆心，AC为半径作，那么斜边AB的中点D在 ．（填“内”、“上”或者“外”）
15．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接!则的长是 ．
16．如图，在四边形ABCD中，AB = 5，∠A = ∠B = 90°，O为AB中点，过点O作OM⊥CD于点M．E是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CE，DE，若∠CED = 90°且 = ．现给出以下结论：
（1）△ADE与△BEC一定相似；
（2）以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD可能相离；
（3）OM的最大值是；
（4）当OM最大时，CD = ．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、解答题
17．解一元二次方程：
(1)
(2)
18．如图，等腰三角形中，，．作于点，将线段绕着点顺时针旋转角后得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）延长线段，交线段于点．求的度数（用含有的式子表示） ．
19．已知关于x的方程
(1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)当该方程的一个根为时，求a的值及该方程的另一根．
20．某养猪场对猪舍进行喷药消毒.在消毒的过程中，先经过的药物集中喷洒，再封闭猪舍，然后再打开窗户进行通风.已知室内每立方米空气中含药量（）与药物在空气中的持续时间（）之间的函数图像如图所示，其中在打开窗户通风前与分别满足两个一次函数，在通风后与满足反比例函数.
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当猪舍内空气中含药量不低于且持续时间不少于，才能有效杀死病毒，问此次消毒是否有效？
21．如图，在中，，．
(1)尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）作图的基础上，连接，求证：．
22．为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）图1中∠α的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；
（3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
23．如图，点O是的边上一点，以为半径的与边相切于点E，与边、分别相交于点D，F，且．
(1)求证：；
(2)当，，求的长．
24．已知是等边三角形，折叠折痕交于点D，交于点E．
(1)如图1，若点A的对应点F落在边上，
①求证：；
②若，求的值；
(2)如图2，若点A的对应点F落在下方，交于点G，交于点H，，且，求的长．
25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
人教版2023年九年级上册期末押题练习卷
一、选择题
1．下面的图形是用数学家的名字命名的，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．如图，，，，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】C
【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例列出比例式解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理并灵活运用．
3．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：,
解得：且；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．
4．如图，是半圆的直径，，是半圆上两点，且满足，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，根据圆的内接四边形对角互补的性质，可先求出的度数，从而得到是等边三角形，可得，，再根据弧长公式进行计算即可．
【详解】解：如图所示：
连接，
，
，
又，
是等边三角形，
则，
，
的长为．
故选B．
【点睛】本题考查弧长公式的计算和圆内接四边形的性质，掌握“圆的内接四边形的对角互补”以及等边三角形的性质是正确解答这道题的关键．
5．下列事件发生的概率为的是（ ）
A．抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
B．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有到的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为7
C．从一个只有红球的袋子里摸出一个球是红球
D．射击运动员只射击次，就命中靶心
【答案】C
【分析】根据题意，找出必然事件即可求解．
【详解】解：A. 抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件，概率不为1，故该选项不正确，不符合题意；
B. 抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有到的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为7，是随机事件，概率不为1，故该选项不正确，不符合题意；
C. 从一个只有红球的袋子里摸出一个球是红球，是必然事件，概率为1，故该选项正确，符合题意；
D. 射击运动员只射击次，就命中靶心，是随机事件，概率不为1，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了事件的分类，概率的定义，理解题意是解题的关键．
6．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解；
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
，
将点代入函数解析式，可得；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有2只动物被感染，后来经过两轮感染后共有242只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意易得第一轮后被感染的动物的数量为只，第二轮后被感染的动物的数量为只，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：第一轮后被感染的动物的数量为，第二轮后被感染的动物的数量为
则列方程为，
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握传播问题是解题的关键．
8．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得π的估计值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆内接正n边形，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理等知识．如图，圆心为，由圆的内接正八边形可知，，，作于，则，由勾股定理得，求得，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，圆心为，
由圆的内接正八边形可知，，，
作于，则，
∴，
∴，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．若点在反比例函数的图像上，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据点在反比例函数的图象上，可以求得的值，从而可以比较出的大小关系．
【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
10．抛物线与轴相交于、两点，其顶点为，将此抛物线在轴下方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，如图得到一个新的图象．现有直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据解析式求与轴交点、的坐标，确定翻折后二次函数的解析式，求直线过边界点时对应的的值，并求直线与新抛物线相切时的值，继而得出的取值范围．
【详解】解：当时，，
，
或，
∴，，，，
∵，
∴沿轴翻折后所得抛物线的解析式为，
如图，作直线，分别过作直线的平行线交轴于点，作直线平行于，且与抛物线有唯一的公共点，设直线：，直线∶，
∵过，，
∴，
∴，
∴直线：，
∵与抛物线有唯一的公共点，
∴即，
∴，
解得，
∴直线∶ ，
结合图形可得直线与该新图象有四个交点，则的取值范围为，
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程与抛物线的关系，待定系数法求一次函数的解析式，抛物线与x轴的交点和几何变换问题以及直线的平移，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式以及二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题
11．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则 ．
【答案】
【分析】根据点关于原点对称的点的坐标为，求出a、b，进而可求解．
【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答的关键．
12．如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间.掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看成一张拉满弦的弓，弧长约为米，“弓”所在的圆的半径约米，则“弓”所对的圆心角度数为 ．
【答案】/度
【分析】由 直接代入数据进行计算即可.
【详解】解：如图，由题意得：
设
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是已知弧长与半径求解弧所对的圆心角，熟记弧长公式是解本题的关键.
13．某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物30元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据：
转动转盘的次数 100 200 300 500 1000
落在“签字笔”区域的次数 65 122 190 306 601
假如你去转动该转盘一次．你获得签字笔的概率约是 ．（精确到0.1）
【答案】
【分析】频率=频数总数，根据概率公式计算即可．
【详解】落在“签字笔”区域的次数=65+122+190+306+601=1284
转动转盘的总次数=100+200+300+500+1000=2100
，故获得签字笔的概率约是，
故答案为：．
【点睛】本题考查利用频率估计概率，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
14．在中，，，，如果以点A为圆心，AC为半径作，那么斜边AB的中点D在 ．（填“内”、“上”或者“外”）
【答案】上
【分析】先利用中点的含义求解 结合点与圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上，从而可得答案.
【详解】解：如图，，，，为的中点，
在上，
故答案为：上
【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系的判断，掌握“点与圆的位置关系的判断方法”是解本题的关键.
15．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转，得到，连接!则的长是 ．
【答案】
【分析】连接，过作交的延长线点，则，利用勾股定理求出，即得到，解题即可．
【详解】∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
连接,则为等边三角形，
∴°
∵，
∴，
∴过作交的延长线点，
∴
∴在中，
，
∴，
∴,
∴在中，
，
故答案为:．
【点睛】本题考查勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，构造直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，AB = 5，∠A = ∠B = 90°，O为AB中点，过点O作OM⊥CD于点M．E是AB上的一个动点（不与点A，B重合），连接CE，DE，若∠CED = 90°且 = ．现给出以下结论：
（1）△ADE与△BEC一定相似；
（2）以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD可能相离；
（3）OM的最大值是；
（4）当OM最大时，CD = ．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】（1）（3）（4）
【分析】利用“一线三垂直”可以判定△ADE与△BEC相似，进而可判定（1）；进一步可得，即可得出OM最大值为，即可判定（2）、（3）、（4）．
【详解】解：∵∠A = ∠B = 90°，∠CED = 90°，
∴∠AED = ∠BCE，
∴△ADE △BEC．
故（1）正确；
当点E与圆心O重合时，如图，
在四边形AOMD和四边形ABCD中，
∵∠OMD= 90°，∠A= 90°，∠B= 90°，
∴∠ADM+∠AOM=180°，∠ADM+∠MCB=180°，
∴∠AOM=∠MCB，
由（1）知，∠AED = ∠BCE，即∠AOD = ∠BCO
∴∠AOM-∠AOD = ∠MCB-∠BCO，即∠MOD = ∠MCO，
∵∠OMD = ∠OMC= 90°，
∴△OMD △CMO．
∴
由（1）知△ADE △BEC，即△ADO △BOC
∴
∴，
∴
∵△ADE △BEC．
∴
∴
∴，
即，
∴
∴当AE=，即AE=BE=时，OM值最大，最大值为．
∴以点O为圆心，OA长为半径作⊙O，则⊙O与CD不可能相离，
故（2）错误，（3）正确，
当OM最大时，如图，
∵，
∴设CE=4x，DE=3x，且x＞0，
∵∠CED=90°，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，故（4）错误，
故答案为：（1）（3）（4）．
【点睛】本题主要考查的是相似三角形、直线与圆的位置关系以及利用二次函数解决最值问题等知识，熟练的进行边的比值的转化时本题的解题关键．
三、解答题
17．解一元二次方程：
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2)，
【分析】（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解．
（2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】（1）解：
∴，，
∴，
解得： ，
（2）解：
∴
∴，
∴或，
解得：，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．如图，等腰三角形中，，．作于点，将线段绕着点顺时针旋转角后得到线段，连接．
（1）求证：；
（2）延长线段，交线段于点．求的度数（用含有的式子表示） ．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据“边角边”证，得到即可；
（2）由（1）得，，再根据三角形内角和证明即可．
【详解】证明： 线段绕点顺时针旋转角得到线段，
，．
，
．
在与中，
．
（2）解： ，
，
又，
，
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质和三角形内角和定理，解题关键是熟练运用全等三角形的判定与性质进行证明．
19．已知关于x的方程
(1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)当该方程的一个根为时，求a的值及该方程的另一根．
【答案】(1)见解析
(2)，该方程的另一个根为2
【分析】（1）证明方程的判别式即可；
（2）先把代入原方程求出a的值，再解方程即可求解．
【详解】（1）证明：∵
∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
（2）当时，，
∴，
当时，原方程化为
解得
∴该方程的另一个根为2.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的解法是解题的关键．
20．某养猪场对猪舍进行喷药消毒.在消毒的过程中，先经过的药物集中喷洒，再封闭猪舍，然后再打开窗户进行通风.已知室内每立方米空气中含药量（）与药物在空气中的持续时间（）之间的函数图像如图所示，其中在打开窗户通风前与分别满足两个一次函数，在通风后与满足反比例函数.
（1）求反比例函数的关系式；
（2）当猪舍内空气中含药量不低于且持续时间不少于，才能有效杀死病毒，问此次消毒是否有效？
【答案】（1）；（2）此次消毒能有效杀死该病毒.
【分析】（1）用待定系数法求函数解析式；
（2）求正比例函数解析式，计算正比例函数和反比例函数的函数值为5对应的自变量的值，则它们的差为含药量不低于5mg/m3的持续时间，然后与21比较大小即可判断此次消毒是否有效．
【详解】解：（1）设反比例函数关系式为.
∵反比例函数的图像过点，
∴.
∴.
（2）设正比例函数关系式为.
把，代入上式，得.
∴.
当时，.
把代入，得.
∴.
答：此次消毒能有效杀死该病毒.
【点睛】本题考查了反比例函数的应用：能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．也考查了一次函数．
21．如图，在中，，．
(1)尺规作图：在上求作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）作图的基础上，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用尺规作线段的垂直平分线，交于点D，
（2）根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，证明∽即可．
【详解】（1）作法1
作法2
作法3
（2）如图，
∵，∴．
又，∴，即．
在与中，，，
∴∽，
∴，即．
又，∴．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，相似三角形的性质与判定，掌握垂直平分线的性质以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
22．为了解中考体育科目训练情况，长沙市从全市九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图．请根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ；
（2）图1中∠α的度数是 ，并把图2条形统计图补充完整；
（3）若全市九年级有学生35000名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为 ．
（4）测试老师想从4位同学（分别记为E、F、G、H，其中E为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树形图的方法求出选中小明的概率．
【答案】（1）40；（2）54°，补图详见解析；（3）7000；（4）．
【分析】（1）由统计图可得：B级学生12人，占30%，即可求得本次抽样测试的学生人数；
（2）由A级6人，可求得A级占的百分数，继而求得∠α的度数；然后由C级占35%，可求得C级的人数，继而补全统计图；
（3）首先求得D级的百分比，继而估算出不及格的人数；
（4）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中小明的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）本次抽样测试的学生人数是：＝40（人）；
故答案为40；
（2）根据题意得：∠α＝360°×＝54°，
C级的人数是：40﹣6﹣12﹣8＝14（人），
如图：
（3）根据题意得：
35000×＝7000（人），
答：不及格的人数为7000人．
故答案为7000；
（4）画树状图得：
∵共有12种情况，选中小明的有6种，
∴P（选中小明）＝
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．如图，点O是的边上一点，以为半径的与边相切于点E，与边、分别相交于点D，F，且．
(1)求证：；
(2)当，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据相切可得，根据同弧所对圆周角是圆心角的一半可得即可求出；
（2）证明，根据相似三角形的判定和性质求解即可．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵以为半径的与边相切于点E，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）得：，，
∴，
∴，
∴
设半径为r
∴，，
∴，解得：，
∴，
∴；
【点睛】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，弧、弦、圆周角的关系，相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
24．已知是等边三角形，折叠折痕交于点D，交于点E．
(1)如图1，若点A的对应点F落在边上，
①求证：；
②若，求的值；
(2)如图2，若点A的对应点F落在下方，交于点G，交于点H，，且，求的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】（1）①根据等边三角形的性质和折叠的性质可得，，再利用等量代换可得，即可得出结论；
②由①知，可得，设，，则，，，从而求得，，再由，求得，从而可得，即可求解；
（2）根据等边三角形的性质和折叠的性质可得，从而可得，进而证得，再根据相似三角形的性质可得，再由，可得，求得，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵是等边三角形，
∴．
∴．
∵是由边翻折得到，
∴．
∴．
∴，且．
∴．
②解：由①知，
∴．
设，，则．
∴，．
∴．
∴，．
∵，
∴，
解得．
∴．
∴．
（2）解：∵是等边三角形，
∴．
∵是由边翻折得到，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，，
∴，即．
∵，
∴，即．
∴．
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的性质与判定、解分式方程，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线在第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；
(2)如图甲，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM＋OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图乙，过点P作PF⊥BC，垂足为F，过点C作CD⊥BC，交x轴于点D，连接DP交BC于点E，连接CP．设△PEF的面积为S1，△PEC的面积为S2，是否存在点P，使得最大，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，A（﹣2，0）；C（0，4）
(2)存在点M使AM＋OM最小， M（，）
(3)存在， P（2，4）
【分析】（1）将B（4，0）代入，求出函数解析式即可求解；
（2）作O点关于BC的对称点，连接A交BC 于点M，连接B，当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，分别求出直线A的解析式和直线BC的解析式，两直线的交点即为M点；
（3）连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G， 设，则G（t，－t＋4），由求出，再由PFCD，可得 则 当t＝2时，有最大值，同时可求P的坐标．
【详解】（1）将B（4，0）代入y＝﹣ ＋（m﹣1）x＋2m，
∴﹣8＋4（m﹣1）＋2m＝0，
解得m＝2，
∴y＝﹣ ＋x＋4，
令x＝0，则y＝4，
∴C（0，4），
令y＝0，则﹣ ＋x＋4＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
∴A（﹣2，0）；
（2）
存在点M使AM＋OM最小，理由如下：
作O点关于BC的对称点，连接A交BC于点M，连接B，
由对称性可知，OM＝M，
∴AM＋OM＝AM＋MA，
当A、M、三点共线时，AM＋OM有最小值，
∵B（4，0），C（0，4），
∴OB＝OC，
∴∠CBO＝45°，
由对称性可知∠BM＝45°，
∴B⊥BO，
∴（4，4），
设直线A的解析式为y＝kx＋b，
∴，
解得，
∴y＝x＋，
设直线BC的解析式为，
∴4＋4＝0，
∴＝﹣1，
∴y＝﹣x＋4，
联立方程组，
解得，
∴M（）；
（3）
在点P，使得最大，理由如下：
连接PB，过P点作PGy轴交CB于点G，
设P（t，﹣ ＋t＋4），则G（t，﹣t＋4），
∴PG＝﹣ ＋2t，
∵OB＝OC＝4，
∴BC＝4，
∴S△BCP＝×4×（﹣ ＋2t）＝﹣＋4t＝×4×PF，
∴PF＝﹣ ＋t，
∵CD⊥BC，PF⊥BC，
∴PFCD，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵B、D两点关于y轴对称，
∴CD＝4，
∴＝﹣（﹣4t）＝﹣ ＋，
∵P点在第一象限内，
∴0＜t＜4，
∴当t＝2时，有最大值，
此时P（2，4）．
【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，轴对称求最短距离的方法，平行线的性质是解题的关键．
