广州市2023-2024学年第一学期八年级期末考试模拟卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列冬奥会会徽中是轴对称图形的是（ ）
A．北京冬奥会 B．卡尔加里冬奥会
C．都灵冬奥会 D．温哥华冬奥会
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
3．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000 000 007毫米，将数据0.000 000 007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣8 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣8 D．0.7×10﹣9
4．要使分式无意义，则分式中的字母x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣5 B．x＝﹣5 C．x＞﹣5 D．x＜﹣5
5．下列运算不正确的是（ ）
A．x2 x3＝x5 B．（x2）3＝x6
C．x3+x3＝2x6 D．（﹣2x）3＝﹣8x3
6．一个多边形的内角和为720°，则从这多边形的一个顶点最多可以引出几条对角线？（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．2条
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
8．两个小组同时攀登一座480m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.5倍，第一组比第二组早0.5h到达顶峰，设第二组的攀登速度为v m/min，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
10．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝θ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．θ＝2α+β B．θ＝α+2β
C．θ＝α+β D．θ＝180°﹣α﹣β
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．分解因式：x3﹣4x＝ ．
12．已知多项式x2+mx+9恰好是一个完全平方式，则m＝ ．
13．若ax＝2，ay＝3，则a2x+y＝ ．
14．如图，A（﹣2，0），B（0，﹣4），以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．则点C的坐标为 ．
15．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 ．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 ．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC．试说明：AD＝CB．
18．（4分）解方程：．
19．（6分）先化简：，再从﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，2）、B（﹣4，0）、C（﹣3，﹣2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C'，并写出点B′的坐标；
（2）请直接写出△ABC的面积；
（3）若点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称，请直接写出m、n的值．
21．（8分）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线，
（1）下列结论：①BF＝AF，②∠BAE＝∠CAE，③S△ABF＝S△ABC，④∠C与∠CAD互余，其中错误的是 （只填序号）．
（2）若∠C＝62°，∠B＝30°，求∠DAE的度数．
22．（10分）某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．
（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？
23．（10分）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为 ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．
（3）如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S．设CD＝x，若S的值与CD无关，求a与b之间的数量关系．
24．（12分）有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如mx+nx+my+ny＝（mx+nx）+（my+ny）＝x（m+n）+y（m+n）＝（m+n）（x+y），根据上面的方法因式分解：
（1）2ax+3bx+4ay+6by；
（2）m3﹣mn2﹣m2n+n3；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，判断△ABC的形状并说明理由．
25．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E在直线BC上，BD＝CE．
（1）如图1，求证：∠D＝∠E；
（2）如图2，过点D向下作DF⊥DC，交AB的延长线于点F，若∠DAE＝4∠E，AB＝FB，求证：AE＝2DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FD、EA交于点G，若S△ABD＝，求四边形ACBG的面积．
广州市2023-2024学年第一学期八年级期末考试模拟卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列冬奥会会徽中是轴对称图形的是（ ）
A．北京冬奥会 B．卡尔加里冬奥会
C．都灵冬奥会 D．温哥华冬奥会
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3，3，6 B．3，5，10 C．4，6，9 D．4，5，9
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3+3＝6，
∴长度为3，3，6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
B、∵3+5＜10，
∴长度为3，5，10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
C、∵4+6＞9，
∴长度为4，6，9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；
D、∵4+5＝9，
∴长度为4，5，9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；
故选：C．
3．芯片是由很多晶体管组成的，而芯片技术追求体积更小的晶体管，以便获得更小的芯片和更低的电力功耗．目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000 000 007毫米，将数据0.000 000 007用科学记数法表示为（ ）
A．7×10﹣8 B．7×10﹣9 C．0.7×10﹣8 D．0.7×10﹣9
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 007＝7×10﹣9．
故选：B．
4．要使分式无意义，则分式中的字母x应满足的条件是（ ）
A．x≠﹣5 B．x＝﹣5 C．x＞﹣5 D．x＜﹣5
【分析】根据分母为0时分式无意义列方程求解．
【解答】解：当x+5＝0时，原分式无意义，
∴x＝﹣5，
故选：B．
5．下列运算不正确的是（ ）
A．x2 x3＝x5 B．（x2）3＝x6
C．x3+x3＝2x6 D．（﹣2x）3＝﹣8x3
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】解：A、x2 x3＝x5，故A不符合题意；
B、（x2）3＝x6，故B不符合题意；
C、x3+x3＝2x3，故C符合题意；
D、（﹣2x）3＝﹣8x3，故D不符合题意；
故选：C．
6．一个多边形的内角和为720°，则从这多边形的一个顶点最多可以引出几条对角线？（ ）
A．3条 B．4条 C．5条 D．2条
【分析】先根据多边形的内角和公式求出边数，再求解．
【解答】解：设多边形的边数x，则180（x﹣2）＝720，
解得：x＝6，
x﹣3＝3，
故答案为：A．
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣30°）＝75°，
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D，
∴BC＝BD，
∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°．
故选：B．
8．两个小组同时攀登一座480m高的山，第一组的攀登速度是第二组的1.5倍，第一组比第二组早0.5h到达顶峰，设第二组的攀登速度为v m/min，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设第二组的速度为v m/min，则第一组的速度是1.5v m/min，根据第一组比第二组早30min，列出方程即可．
【解答】解：设第二组的速度为v m/min，则第一组的速度是1.5v m/min，由题意，得
．
故选：D．
9．如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．1
【分析】先用多项式乘以多项式的运算法则展开求它们的积，并且把m看作常数合并关于x的同类项，令x的系数为0，得出关于m的方程，求出m的值．
【解答】解：∵（x+m）（x+3）＝x2+3x+mx+3m＝x2+（3+m）x+3m，
又∵（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，
∴3+m＝0，
解得m＝﹣3．
故选：A．
10．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A′处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝θ，那么下列式子中正确的是（ ）
A．θ＝2α+β B．θ＝α+2β
C．θ＝α+β D．θ＝180°﹣α﹣β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：如图：
由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝θ，
∴∠BDA'＝θ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．分解因式：x3﹣4x＝ x（x+2）（x﹣2） ．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
12．已知多项式x2+mx+9恰好是一个完全平方式，则m＝ ±6 ．
【分析】应用完全平方公式进行求解即可得出答案．
【解答】解：由题意可得，m＝±2×1×3＝±6．
故答案为：±6．
13．若ax＝2，ay＝3，则a2x+y＝ 12 ．
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．
【解答】解：∵ax＝2，ay＝3，
∴a2x+y＝a2x ay，
＝（ax）2 ay，
＝4×3，
＝12．
14．如图，A（﹣2，0），B（0，﹣4），以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．则点C的坐标为 （﹣6，﹣2） ．
【分析】作CD⊥x轴，垂直为D，证明△ADC≌△BOA，得到CD＝AO＝2，AD＝BO＝4，进而得到OD＝6，根据点C在第三象限即可求解．
【解答】解：如图，作CD⊥x轴，垂直为D，则∠CDA＝90°，
∵点A、B坐标分别为（﹣2，0），（0，﹣4），
∴OA＝2，OB＝4，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠DAC+∠BAO＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠DAC＝∠OBA，
在△ADC和△BOA中，
，
∴△ADC≌△BOA（AAS），
∴CD＝AO＝2，AD＝BO＝4，
∴OD＝OA+AD＝6，
∴点C的坐标为（﹣6，﹣2）．
故答案为：（﹣6，﹣2）．
15．若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是 m＞﹣1且m≠1 ．
【分析】先解关于x的分式方程，它的解x用含有m的代数式表示，然后再依据“原方程有解”和“解是正数”建立不等式求m的取值范围．
【解答】解：原方程整理得：m﹣1＝2x﹣2，
解得：x＝，
∵原方程有解，
∴x﹣1≠0，
即，
解得m≠1，
∵方程的解是正数，
∴＞0，
解得m＞﹣1，
∴m＞﹣1且m≠1，
故应填：m＞﹣1且m≠1．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积为20，AB的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 10 ．
【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：如图，连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝20，
解得AD＝10，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
连接AM，则BM+DM＝AM+DM≥AD，
∴当点M在线段AD上时，BM+DM的值最小，
∴AD的长10为BM+MD的最小值．
故答案为：10．
三．解答题（共9小题，满分72分）
17．（4分）如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AE＝CF，∠B＝∠D，AD∥BC．试说明：AD＝CB．
【分析】根据平行线求出∠A＝∠C，求出AF＝CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AD＝CB．
18．（4分）解方程：．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2﹣x＝1﹣2（x﹣3），
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x﹣3≠0，
∴分式方程的解为x＝5．
19．（6分）先化简：，再从﹣1，0，1，2中选一个你认为合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的a的值代入进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
∵当a＝﹣1，0，1时原分式无意义，
∴a＝2，
当a＝2时，原式＝＝．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，2）、B（﹣4，0）、C（﹣3，﹣2）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C'，并写出点B′的坐标；
（2）请直接写出△ABC的面积；
（3）若点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称，请直接写出m、n的值．
【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出△A′B′C'进而可得点B′的坐标；
（2）根据网格即可求出△ABC的面积；
（3）根据点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称，即可写出m、n的值．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C'即为所求，点B′的坐标为（4，0）；
（2）△ABC的面积为：3×4﹣2×3﹣2×4﹣1×2＝12﹣3﹣4﹣1＝4；
（3）∵点M（m﹣1，3）与点N（﹣2，n+1）关于x轴对称，
∴m﹣1＝﹣2，n+1＝﹣3，
解得m＝﹣1，n＝﹣4．
21．（8分）如图，AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线，
（1）下列结论：①BF＝AF，②∠BAE＝∠CAE，③S△ABF＝S△ABC，④∠C与∠CAD互余，其中错误的是 ① （只填序号）．
（2）若∠C＝62°，∠B＝30°，求∠DAE的度数．
【分析】（1）根据三角形的高线，角平分线和中线解答即可；
（2）根据三角形的高线，角平分线和中线以及三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：（1）∵AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线，
∴BF＝FC，故①错误；
∴∠BAE＝∠CAE，故②正确；
∴S△ABF＝S△ABC，故③正确；
∴∠C与∠CAD互余，故④正确；
故答案为：①；
（2）∵AD，AE，AF分别是△ABC的高线，角平分线和中线，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣62°﹣30°＝88°，
∴∠EAC＝∠BAC＝44°，
∵∠C＝62°，
∴∠DAC＝90°﹣62°＝28°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣28°＝16°．
22．（10分）某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．
（1）求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
（2）学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过2000元，那么最多可购买多少个甲礼品？
【分析】（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据“花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等”列分式方程求解即可；
（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，根据题意列不等式求解即可．
【解答】解：（1）设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：
＝，
解得：x＝60，
经检验x＝60是原方程的根，
∴x+40＝100．
答：甲礼品100元，乙礼品60元；
（2）设总费用不超过2000元，可购买m个甲礼品，则购买乙礼品（30﹣m）个，
根据题意得：100m+60（30﹣m）≤2000，
解得：m≤5．
答：最多可购买5个甲礼品．
23．（10分）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
例1：如图1，可得等式：a（b+c）＝ab+ac；
例2：由图2，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
（1）如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，从中你发现的结论用等式表示为 （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36．求ab+bc+ac的值．
（3）如图4，拼成AMGN为大长方形，记长方形ABCD的面积与长方形EFGH的面积差为S．设CD＝x，若S的值与CD无关，求a与b之间的数量关系．
【分析】（1）正方形面积为（a+b+c）2，小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，由面积相等即可求解；
（2）根据（1）中的结论，将式子的值代入计算即可求解；
（3）BC＝2a，DE＝3a，EH＝CF＝b，EF＝CD+CF﹣DE＝x+b﹣3a，根据S＝S长方形ABCD﹣S长方形EFGH，即可求解．
【解答】解：（1）∵正方形面积为（a+b+c）2，小块四边形面积总和为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴由面积相等可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
（2）由（1）可知2ab+abc+2ac＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2），
∵a+b+c＝10，a2+b2+c2＝36；
∴2（ab+bc+ac）＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）＝100﹣36＝64，
∴．
（3）由题意知，BC＝2a，DE＝3a，EH＝CF＝b，EF＝CD+CF﹣DE＝x+b﹣3a，
∵S长方形ABCD﹣S长方形EFGH，
∴S＝CD BC﹣EH EF＝x 2a﹣b （x+b﹣3a），
即S＝2ax﹣bx﹣b2+3ab＝（2a﹣b）x﹣b2+3ab，
又∵S为定值，
∴2a﹣b＝0，即b＝2a．
24．（12分）有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如mx+nx+my+ny＝（mx+nx）+（my+ny）＝x（m+n）+y（m+n）＝（m+n）（x+y），根据上面的方法因式分解：
（1）2ax+3bx+4ay+6by；
（2）m3﹣mn2﹣m2n+n3；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，判断△ABC的形状并说明理由．
【分析】（1）将含x的分为一组，含y的分为一组，接下来再提取公因式即可解答；
（2）首先将代数式分组得到原式＝（m3﹣m2n）﹣（mn2﹣n3），再提取公因式即可解答．
（3）由a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，化简得到三边的关系，从而判断三角形的形状．
【解答】解：（1）原式＝（2ax+3bx）+（4ay+6by）
＝x（2a+3b）+2y（2a+3b）
＝（x+2y）（2a+3b）．
（2）原式＝（m3﹣m2n）﹣（mn2﹣n3）
＝m2（m﹣n）﹣n2（m﹣n）
＝（m﹣n）（m2﹣n2）
＝（m﹣n）2（m+n）．
（3）等腰三角形．
∵a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc
∴（a﹣c）（a﹣c﹣b）＝0
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a﹣b﹣c＜0，
∴a﹣c＝0，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
25．（12分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E在直线BC上，BD＝CE．
（1）如图1，求证：∠D＝∠E；
（2）如图2，过点D向下作DF⊥DC，交AB的延长线于点F，若∠DAE＝4∠E，AB＝FB，求证：AE＝2DF；
（3）如图3，在（2）的条件下，延长FD、EA交于点G，若S△ABD＝，求四边形ACBG的面积．
【分析】（1）证明△ABD≌△ACE（SAS），可得结论；
（2）如图2中，作AH⊥DE于H．证明△FDB≌△AHB（AAS），可得结论；
（3）如图3中，作AH⊥DC于H，BN⊥GE于N．根据S四边形ACBG＝S△BGE﹣S△ACE，求出△BGE，△ACE的面积即可．
【解答】（1）证明：如图1中，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABC+∠ABD＝180°，∠ACB+∠ACE＝180°，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠D＝∠E；
（2）证明：如图2中，作AH⊥DE于H．
∵∠DAE+∠ADE+∠E＝180°，∠DAE＝4∠E，
∴∠E＝30°，
∴∠AHD＝∠AHE＝90°，
∴AE＝2AH，
DF⊥DC，
∴∠FDC＝90°，
在△FDB和△AHB中，
，
∴△FDB≌△AHB（AAS），
∴DF＝AH，
∴AE＝2DF；
（3）解：如图3中，作AH⊥DC于H，BN⊥GE于N．
∵∠E＝∠ADE＝30°，∠GDE＝90°，
∴∠DGA＝∠GDA＝60°，
∴AG＝AD＝AE，
∵S△ABG＝，S△ABE＝，
∴S△ABG＝S△ABE，
∵△FDB≌△AHB，
∴BD＝BH，
∵BH＝HC，HD＝HE，
∴BD＝BH＝HC＝CE，
∴S△ABD＝S△ABH＝S△ACE＝S△ACE＝，
∴S△ABG＝S△ABE＝3，
∴S四边形ACBG＝S△BGE﹣S△ACE＝．
