人教版2023-2024学年第一学期七年级期末模拟考试
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．NBA 球员投篮 10 次，投中十次 B．明天会下雪
C．党的十九大于 2017 年 10 月 18 日在北京召开 D．抛出一枚硬币，落地后正面朝上
【答案】C
【分析】必然事件是指概率为1,由此进行分析判断
【详解】A、NBA 球员投篮 10 次，投中十次是随机事件，错误；
B、明天会下雪是随机事件，错误；
C、党的十九大于 2017 年 10 月 18 日在北京召开是必然事件，正确；
D、抛出一枚硬币，落地后正面朝上是随机事件，错误
故本题答案应为C
【点睛】事件的概率是本题的考点．必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件A的概率为0
A．且 B．且 C． D．
【答案】B
【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程(m 1)x2+4x+1=0有实数根，
∴
解得：且，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
3．抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线解析式得到抛物线开口向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，由此即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，正确理解题意得到离对称轴越远，函数值越大是解题的关键．
4．已知关于的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】先根据一元二次方程根的判别式求出，再把抛物线解析式化为顶点式求出顶点坐标为，由此即可得到答案．
【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根，
∴，
∴，即
∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
∵，
∴抛物线顶点在第一象限，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，判断点所在的象限，正确求出是解题的关键．
5．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
A．△OAB是等边三角形 B．OC平分弦AB
C．∠BAC=30° D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
【答案】C
【分析】首先由垂径定理确定B正确，再由OA=OB，OA=AB，得到A正确，又由垂径定理，求得∠AOC=∠BOC=，得到D正确，根据同弧所对的圆周角等于其对圆心角的一半，即可求得∠BAC=，则问题得解．
【详解】解：∵在⊙O中，OC⊥AB
∴OC平分弦AB，故选项B正确
∵OA=OB，OA=AB
∴OA=OB=AB
∴△OAB是等边三角形，故选项A正确
∵∠AOC=∠BOC=
∴弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长，故选项D正确
∴∠BAC=，故选项C错误．
故选：C
【点睛】此题考查了圆的内接多边形与垂径定理的知识，注意数形结合思想的应用．
6．二次函数y＝x2﹣2x﹣1的最小值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【答案】C
【分析】用配方法和公式法均可求出二次函数的最小值．
【详解】解：y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
可见二次函数y＝x2﹣2x﹣1的最小值是﹣2．
故选C．
【点睛】考查了二次函数的性质及二次函数的最值的知识，通过配方法就很容易求出二次函数的最小值．
7．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤圆内接四边形的对角互补．其中正确的结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】此题考查圆的知识，正确理解等弧定义，确定圆的条件，垂径定理，圆内接四边形的性质，圆心角的性质是解题的关键．
【详解】解：①在同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧，故错误；
②任意不在同一直线上的三点确定一个圆，故错误；
③同圆弧或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误；
④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
⑤圆内接四边形的对角互补，故正确．
故选：D．
8．根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴 ( )
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y轴同侧
D．无交点
【答案】B
【详解】由表中数据可得对称轴为x=1且最值为－2且由两边的数据可得x＜1时y随x的增大而减小x＞1时y随x的增大而减大所以开口向上且最小值在x轴下方故与x轴有两个交点．又因为当x=0时y=所以与y轴的交点在y轴的下方而对称轴在y轴的右侧故两个交点分别在y轴两侧．所以B正确．
9．如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先过O作OC⊥AP，连结OB，根据OP=4，∠APO=30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，即可求出AB的值．
【详解】如图，过O作OC⊥AP于点C，连接OB，
∵OP=4，∠APO=30°，
∴OC=OP=×4=2．
∵OB=3，
∴根据勾股定理，得．
∴根据垂径定理，得AB=．
故选A．
点睛：此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含30度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
10．二次函数图象的称轴为直线，共图象如图所示，现有下列结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】由开口方向，对称轴及抛物线与y轴的交点先判断a、b、c的符号，由此可判断①；由抛物线的对称轴可得a与b的关系，由此可判断②；由抛物线的对称性可知时，，由此可判断③；由时，y的值最大，可判断④；由时，，可判断⑤．
【详解】∵抛物线的开口方向向下，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴，
由对称轴为，可得，
∴，
，
故①错误．
∵，且，
∴，
故②错误．
由对称轴为，可知时和时的y值相同，
∵时，，
∴时，，
故③错误．
由图知时，y的值最大，
时，
，
，
故④正确．
由图知时，，
，
又，
，
，
，
，
故⑤正确．
综上，正确的有2个，
故选：B
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对于二次函数，a决定抛物线的开口方向和大小，a、b共同决定抛物线的对称轴，a、b同号时，对称轴在y轴左侧，a、b异号时，对称轴在y轴右侧．c决定抛物线与y轴的交点位置．由抛物线开口方向可判断抛物线有最大值或最小值．熟练掌握二次函数的图像与系数之间的关系是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．已知扇形的圆心角为，直径为，那么这个扇形的面积是 ．
【答案】
【分析】直接利用扇形的面积的公式进行计算即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形面积公式是解本题的关键．
12．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形ABC绕A点逆时针旋转至点B的对应点点D落在弧AC上，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】过A作AF⊥BD于点F，根据旋转的性质得到扇形ABC和扇形ADE面积相等，，求出，再根据阴影部分的面积为：求出答案即可。
【详解】解：过A作AF⊥BD于点F，则，如图：
由旋转可知：扇形ABC和扇形ADE面积相等，，
是等腰三角形，
，
，
，
由勾股定理得：，
阴影部分的面积为：。
故答案为：。
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，扇形的面积计算等知识点，能把不规则图形面积转换为规则图形面积是解题关键。
13．方程x2－6x＋4＝0的两个实根分别为x1、x2，那么(x1－x2)2的值为 ．
【答案】20.
【详解】试题分析：∵方程x2－6x＋4＝0的两个实根分别为x1、x2，∴.
∴
考点：1.一元二次方程根与系数的关系;2.求代数式的值.
14．如图，是的直径，，则的度数为 ．
【答案】/56度
【分析】根据题意，由是的直径，得到，根据同弧所对的圆周角相等得到，再由直角三角形性质得到即可得到答案．
【详解】解：是的直径，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆中求角度问题，涉及圆周角定理及其推理，熟练掌握圆周角定理及其推论是解决问题的关键．
15．有四张正面分别标有﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中取出一张，将卡片上的数字记为a，不放回，再取出一张，将卡片上的数字记为b，设P点的坐标为（a，b）．如图，点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）的概率是 ．
【答案】
【分析】先确定抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），再利用树状图展示所有12种等可能的结果数，然后找出满足条件的P点的个数，再利用概率公式计算．
【详解】解：解方程组，
可得或，
所以抛物线y=x2与直线y=x+2的交点坐标为（﹣1，1）和（2，4），
画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）有4种，分别为（﹣1，1）、（0，1）、（0，2）、（1、2），
所以点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）的概率==．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数，再找出某事件所占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率．
16．如图，在ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，边BC上一个动点M从B运动到C，连AM，将射线AM绕M顺顺时针转30°交AC于N，则N的路径长 ．
【答案】9
【分析】先求出AM'=3，∠M'AC=60°，进而求出CN'，再判断出点M从点B运动到点C时，点N从点C运动到点N'，再从N'运动到点C，即可得出结论．
【详解】解：如图，过点A作AM'⊥BC于M'，将射线AM'绕点M'顺时针旋转30°交AC于N'，
∴∠AMC=90°，在△ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，
∴AM'=AB=3，∠C=∠B=30°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°，
∴∠CAM'=∠BAC=60°，
∴∠AN'M'=90°，
在Rt△AN'M'中，AN'=AM'=，
∴CN'=AC-AN'=，
当点M和点B重合时，点N和点C重合，点M从点B向点M'运动时，点C向点N'运动，
当点M和点M'重合时，点N和点N'重合，
当点M从点M'向点C运动时，点N从点N'向点C运动，
当点M和点C重合时，点N和点C重合，
即点M从点B运动到点C时，点N从点C运动到点N'，再由点N'运动到点C，
∴点N的路径长为2CN'=9，
故答案为：9．
【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，判断出点N的运动轨迹是解本题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共72分．第17-21题每小题8分，第22-23题10分，第24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），；（2），.
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得.
【详解】解：（1）∵，
∴，
则或，
解得，；
（2）∵，
∴，即，
则或，
解得，.
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
18．完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、－1、2、－2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，
(1)若第一次摸出球后放回摇匀，求点（m，n）不在第二象限的概率．（用列表法求解）
(2)若第一次摸出球后不放回，求点（m，n）不在第二象限的概率．（用树状图求解）
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）先通过列表得到m、n的值，再根据各象限符号的不同点来解答．
（2）先通过树状图得到m、n的值，再根据各象限符号的不同点来解答．
【详解】（1）组成的所有坐标列表为：
共有16种等可能的情况，其中点（m，n）不在第二象限的有12种，
∴点（m，n）不在第二象限的概率为；
（2）列树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中点（m，n）不在第二象限的有8种，
∴点（m，n）不在第二象限的概率是．
【点睛】此题考查了利用列举法求事件的概率，正确掌握列树状图的方法及概率是计算公式是解题的关键．
19．某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式
(1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）
(3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润（售价成本）产销数量专利费】
【答案】(1)，
(2)元，
(3)当时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润，理由见解析
【分析】（1）根据题木所给的利润计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求利用一次函数和二次函数的性质求解即可；
（3）比较（2）中所求A、B两种产品的最大利润即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
（2）解：∵，
∴，
∴随x增大而增大，
∴当时，最大，最大为元；
，
∵，
∴当时，随x增大而增大，
∴当时，最大，最大为元；
（3）解：当，即时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；
当，即时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；
当，即时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润；
综上所述，当时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当时，该工厂应该选择产销B产品能获得最大日利润．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点M，以为斜边作等腰直角三角形，当点N恰好落在y轴上时，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或或或
【分析】（1）令，求出，根据抛物线的解析式为，把B点坐标代入解析式求出a即可；
（2）设点P的坐标为，，，根据是以为斜边的等腰三角形可知，点N到的距离等于，再根据当点P在第一或第三象限时，或当点P在第二或第四象限时，进行分类讨论即可．
【详解】（1）解：令，则，
，
设抛物线的表达式为，
把点代入得，
抛物线的函数表达式为．
（2）解：由题可得点N到的距离等于，
设点P的坐标为，，，
当点P在第一或第三象限时，
则，解得，，
，；
当点P在第二或第四象限时，
则，解得，，
，；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题考查了求抛物线的函数表达式、等腰直角三角形的性质、一元二次方程，能综合运用相关知识是解题的关键．
21．在下列正方形网格中，点A是上一点（点A和圆心O均为格点）．
（1）在图1中不过点A画的3条弦（要求弦的端点均为格点），使3条弦与组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）在图2中不过点A画的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）在图3中不过点A画的5条弦（要求弦的端点均为格点），使这5条弦与组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）根据轴对称图形的意义可以作出图形；
（2）根据中心对称图形的意义可以作出图形；
（3）根据轴对称图形和中心对称图形的意义可以作出图形．
【详解】（1）答案不唯一．
（2）答案不唯一．
（3）答案不唯一．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的意义是解题关键．
22．在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，直线l：y=－x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．
（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．
（3）如图2，点C（－2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点，求m的取值范围．
【答案】（1）y=－2x2＋8x－6；（2）；（3）－3≤m＜－1或0＜m≤2．
【分析】（1）先解得点A的坐标，再代入二次函数解析式中，求得抛物线与x轴的两个交点，根据题意解得m的值即可；
（2）作PMy轴交直线l于点M，先求一次函数与y轴的交点B，证得∠PMQ=∠OBA=45°，再利用正弦定义解得PQ=PM，设点P的横坐标为n，则点P的纵坐标为－2n2＋8n－6，点M的纵坐标为－n＋1，计算PM的长，转化为解一元二次方程－2x2＋8x－6=－x＋1，解得x的值，最后根据一次函数的增减性解题；
（3）分两种情况讨论，当只有点（m－1，0）在线段AC上时，或当只有点（m＋1，0）在线段AC上时，分别结合图象解题．
【详解】解：（1）由y=－x＋1=0，解得：x=1，所以，
由y=－2x2＋4mx－2m2＋2=－2（x－m）2＋2=0，解得：x1=m－1，x2=m＋1，
∵抛物线经过点A，且抛物线与x轴的交点在y轴的右侧，m－1＜m＋1，
∴m－1=1，
解得：m=2，
∴抛物线的解析式为y=－2x2＋8x－6；
（2）如图，作PMy轴交直线l于点M，
当x=0时，y=－x＋1=1，所以，
∴OA=OB．
∵∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∴∠PMQ=∠OBA=45°，
∵PQ⊥l于Q，
∴PQ=PM·sin∠PMQ=PM·sin45°=PM
设点P的横坐标为n，则点P的纵坐标为－2n2＋8n－6，点M的纵坐标为－n＋1，
∴PM=（－2n2＋8n－6）－（－n＋1）=－2（n－）2＋，
∴PQ=PM=－（n－）2＋,
由－2x2＋8x－6=－x＋1，解得：x1=1，x2=．
∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴1＜n＜,
∵－＜0，1＜＜，
∴当n=时，PQ取最大值为;
（3）∵，∴AC=3，
由（1）可知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（m－1，0），（m＋1，0）
∵m－1＜m＋1，（m＋1）－（m－1）=2＜3，
∴当抛物线与线段AC只有一个公共点时，这两个交点只能有1个在线段AC上,
如图，当只有点（m－1，0）在线段AC上时，，解得：0＜m≤2,
如图，当只有点（m＋1，0）在线段AC上时，，解得：－3≤m＜－1,
综上可知：当抛物线与线段AC只有一个公共点时－3≤m＜－1或0＜m≤2．
【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及二次函数与x轴的交点问题、一次函数的图象与性质、正弦、二次函数与一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
23．如图1，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若4AB＝5AD，求证：AE＝3DE；
（3）如图2，在（2）的条件下，CF交⊙O于点F，若AB＝10，∠ACF＝45°，求CF的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3
【分析】（1）连接OC，如图1①，易证OC∥AD，只需结合OA＝OC就可解决问题；
（2）连接BC、EC、OC，如图1②，设AB＝5x，由4AB＝5AD可得AD＝4x，易证△ADC∽△ACB，根据相似三角形的性质可求出DC2（用x表示），然后运用切割线定理求出DE，即可得到AE，问题得以解决；
（3）过点A作AH⊥FC，连接AF，如图2，由条件AB＝10可求出x，从而可求出AC、AF，然后只需解△ACF就可解决问题．
【详解】解：（1）连接OC，如图1①，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠CAD＝∠ACO．
又∵OC＝OA，
∴∠ACO＝∠OAC，
∴∠CAD＝∠OAC，
∴AC平分∠DAB；
（2）连接BC、EC、OC，如图1②，
设AB＝5x，则由4AB＝5AD可得AD＝4x．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°．
∵∠DAC＝∠CAB，
∴△ADC∽△ACB，
∴＝，
∴AC2＝AD AB＝20x2，
∴DC2＝AC2﹣AD2＝20x2﹣16x2＝4x2．
∵直线CD与⊙O相切，
∴根据切割线定理可得CD2＝DE DA，
∴4x2＝DE 4x，
∴DE＝x，
∴AE＝3x＝3DE；
（3）过点A作AH⊥FC，连接AF，如图2，
∵AB＝5x＝10，
∴OA＝OF＝5，x＝2，
∴AC2＝20x2＝80，
∴AC＝4．
∵∠ACF＝45°，
∴AH＝AC sin∠ACH＝4×＝2，
CH＝AC cos∠ACH＝4×＝2．
∵∠AOF＝2∠ACF＝90°，
∴AF＝＝5，
∴FH＝＝，
∴FC＝CH+FH＝3，
即CF的长为3．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、圆周角定理、切割线定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解三角形、平行线的判定与性质等知识，把求CF转化为解△ACF是解决第（3）小题的关键．
24．如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
(1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点的坐标求出直线的解析式，再由点的横坐标代入直线的解析式求出点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线解析式求，从而得到抛物线的函数表达式；
（2）过点作轴于点，过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，过点作于点，由点和点的坐标求线段、和的长度，得到，结合速度可知时间为，然后利用“角所对的直角边是斜边的一半”得，从而得到，进而求得此时点坐标．
【详解】（1）解：对于，当时，或，
∴，，
将点代入，得：
∴，
则直线的解析式为：，
当时，，
∴，
将点代入，得：，
∴，
∴抛物线的表达式为：；
（2）由题意得：点的运动时间为，
过点作轴于点，
∵，，
∴，，，
∴，
过点和点分别作轴的平行线和轴的平行线，交于点，
∴，
∴，
∴，
过点作于点，此时，
∴与直线的交点即为所求点，
∵，
∴当时，，
∴点的坐标为时，点在整个运动过程中用时最少．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求抛物线解析式、特殊角的直角三角形三边关系，第2问的突破点是利用转化的思想结合“角所对的直角边是斜边的一半”将进行转化，然后利用垂线段最短求得用时最小时的点坐标．人教版2023-2024学年上学期期末模拟考试
九年级数学· (
贴条形码区
考生禁填
： 缺考标记
违纪标记
以上标志由监考人员用
2B
铅笔
填涂
选择题填涂样例
：
正确填涂
错误填
涂
[×] [√] [／]
1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。
2．选择题必须用
2B
铅笔填涂；非选择题必须用
0.5
mm
黑
色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。
3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4
．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
注意事项
) (
姓
名：
__________________________
准考证号：
)答题卡
(
一、
单项
选择题：本题共
10
小题，每小题
3
分，共
30
分。
1
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
5
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
6
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
7
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
8
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
9
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
10
.
[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二
、填空题：本题共
6
小题，每小题
3
分，共
18
分。
1
1
.
________________
1
4
. ________________
1
2
.
________________
1
5
.
________________
1
3
.
________________
1
6
.
________________
三
、解答题：本题共小题，共7
2
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（8分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
1
8
．（
8
分）
1
9
．（
8
分）
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
20
．（
8
分）
21
．（
8
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
22
．（1
0
分）
23
．（1
0
分）
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
(
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
) (
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
)
人教版2023-2024学年第一学期九年级期末模拟考试
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列事件是必然事件的是（ ）
A．NBA 球员投篮 10 次，投中十次 B．明天会下雪
C．党的十九大于 2017 年 10 月 18 日在北京召开 D．抛出一枚硬币，落地后正面朝上
2．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围为（ ）
A．且 B．且 C． D．
3．抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知关于的一元二次方程无实数根，则抛物线的顶点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，在⊙O中，OA=AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（ ）
A．△OAB是等边三角形 B．OC平分弦AB
C．∠BAC=30° D．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
6．二次函数y＝x2﹣2x﹣1的最小值是（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
7．下列命题：①长度相等的弧是等弧；②任意三点确定一个圆；③相等的圆心角所对的弦相等；④平分弦的直径垂直于弦；⑤圆内接四边形的对角互补．其中正确的结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
8．根据下表中的二次函数的自变量x与函数y的对应值，可判断二次函数的图像与x轴 ( )
A．只有一个交点
B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧
C．有两个交点，且它们均在y轴同侧
D．无交点
9．如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为（ ）
A． B． C． D．
10．二次函数图象的称轴为直线，共图象如图所示，现有下列结论：
①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11．已知扇形的圆心角为，直径为，那么这个扇形的面积是 ．
12．如图，将半径为2，圆心角为90°的扇形ABC绕A点逆时针旋转至点B的对应点点D落在弧AC上，则阴影部分的面积为 ．
13．方程x2－6x＋4＝0的两个实根分别为x1、x2，那么(x1－x2)2的值为 ．
14．如图，是的直径，，则的度数为 ．
15．有四张正面分别标有﹣1，0，1，2的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中取出一张，将卡片上的数字记为a，不放回，再取出一张，将卡片上的数字记为b，设P点的坐标为（a，b）．如图，点P落在抛物线y=x2与直线y=x+2所围成的封闭区域内（图中含边界的阴影部分）的概率是 ．
16．如图，在ABC中，AB=AC=6，∠B=30°，边BC上一个动点M从B运动到C，连AM，将射线AM绕M顺顺时针转30°交AC于N，则N的路径长 ．
三、解答题：本题共9小题，共72分．第17-21题每小题8分，第22-23题10分，第24题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解方程：
（1）
（2）
18．完全相同的4个小球，上面分别标有数字1、－1、2、－2，将其放入一个不透明的盒子中摇匀，再从中随机摸球两次．把第一次、第二次摸到的球上标有的数字分别记作m、n，以m、n分别作为一个点的横坐标与纵坐标，
(1)若第一次摸出球后放回摇匀，求点（m，n）不在第二象限的概率．（用列表法求解）
(2)若第一次摸出球后不放回，求点（m，n）不在第二象限的概率．（用树状图求解）
19．某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式
(1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）
(3)为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润（售价成本）产销数量专利费】
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点M，以为斜边作等腰直角三角形，当点N恰好落在y轴上时，求点P的坐标．
21．在下列正方形网格中，点A是上一点（点A和圆心O均为格点）．
（1）在图1中不过点A画的3条弦（要求弦的端点均为格点），使3条弦与组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）在图2中不过点A画的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）在图3中不过点A画的5条弦（要求弦的端点均为格点），使这5条弦与组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
22．在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，直线l：y=－x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．
（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．
（3）如图2，点C（－2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点，求m的取值范围．
23．如图1，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点C，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若4AB＝5AD，求证：AE＝3DE；
（3）如图2，在（2）的条件下，CF交⊙O于点F，若AB＝10，∠ACF＝45°，求CF的长．
24．如图，已知抛物线（为常数，且）与轴从左至右依次交于，两点，与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为．
(1)若点的横坐标为，求抛物线的函数表达式；
(2)在（1）条件下，设为线段上一点（不含端点），连接，一动点从点出发，沿线段以每秒1个单位的速度运动到，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到后停止．当点的坐标是多少时，点在整个运动过程中用时最少
