高2021级高三上期第四次月考考试
数学（文科）试题
时间：120分钟总分：150分
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用指数函数单调性求解集合A，从而求解，利用对数函数单调性结合整数概念求解集合B，最后利用交集运算即可求解.
【详解】因为集合，所以，
又，
所以.
故选：C
2. 若是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数除法化简，即可确定虚部.
【详解】.
所以复数的虚部为.
故选：C.
3. 已知等差数列中，，，则等于（ ）
A. 15 B. 30 C. 31 D. 64
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件求出等差数列的首项和公差，即可得答案；
【详解】，
，
故选：A.
【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量运算，考查运算求解能力，属于基础题.
4. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】结合正弦函数的性质由，可得，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】在中，，
由，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 已知向量满足，则（ ）
A. －2 B. －1 C. 0 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】.
故选：C
6. 已知角的顶点是坐标原点，始边是轴的正半轴，终边是射线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可求得，由二倍角和两角和差正切公式可求得结果.
【详解】角的终边是射线，，，
.
故选：B.
7. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
分析】先根据奇偶性排除CD,再代入特值验证即可.
【详解】因为函数的定义域为,
且,
所以函数是偶函数,其函数图像关于轴对称,排除CD.
又,排除B.
故选:A.
8. 函数的零点个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】转化为，的交点个数问题，画出两函数图象，数形结合得到答案.
【详解】，即，
令，，
故的零点个数为与的交点个数，
在同一坐标系内画出与的图象，如下：
显然与的交点个数为1，故的零点个数为1.
故选：D
9. “欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则是函数的单调递增区间的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意求出最小正周期，从而求出，再利用特殊点求出的值，从而得到函数的解析式，利用正弦函数的单调性求解单调增区间，即可得到结果．
【详解】因为函数图象相邻最大值与最小值之间的水平距离为，
所以函数的周期为，所以，
又图象过点，
所以，可得，
则有或，
即或，
又，所以，所以，
令，解得，
所以函数的单调区间为，
当时，函数的单调递增区间为，故选项B正确．
故选：B．
10. 已知定义在上的函数满足，且与曲线交于点，，…，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的对称性即可求解.
【详解】由可得，
所以关于对称，
又关于对称，
因此，
故选：B
11. 若对任意的，，且，，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先得出，再将整理为，构造函数，其中，当时，，即在，单调递减，求出，分析得出减区间，即可得出m的取值范围．
【详解】由题可知，，
因为，且，
所以，两边同时除以得，
，即，
设函数，其中，
因为当时，，
所以在单调递减，
因为，
令，，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，
故选：D．
12. 已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）
A. 点是函数的零点 B. 的取值范围是
C. 是的极大值点 D. ，，使
【答案】D
【解析】
【分析】由导函数得到函数的单调性和极值情况，画出函数图象，A选项，根据得到A错误；B选项，或，有1个实数根，故有1个非零实根，数形结合得到答案；C选项，由图象得到不是的极大值点；对于D选项，求出，，得到D正确.
【详解】当时，，则，
当，时，，单调递增，
当时，，单调递减，且，；
当时，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
且，，且恒成立，
画出函数的图象如下：
对A，由可得0是函数的零点，故A错误；
对B，方程等价于或，
由图可得有1个实数根，
所以方程有两个不等实根
等价于有1个非零实根，则由图可得或，
解得或，故B错误
对C，由图可得是的极大值点，不是的极大值点，故C错误；
对D，由图可得，当时，
因为，故，
故结合图象可得时，，
故，，使，故D正确；
故选：D
【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：
①利用换元思想，设出内层函数；
②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；
③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则________.
【答案】##
【解析】
【分析】对数式求值，再利用函数解析式求出函数值.
【详解】函数，则.
故答案为：
14. 设命题，，若是假命题，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据命题的否定与原命题的关系得出命题是真命题，即可根据命题得出，，再根据基本不等式或对勾函数的性质得出在上的最小值，即可得出答案.
【详解】是假命题，
是真命题，
，，
，，
当时，，当且仅当时，即时，等号成立，
，可取到，
，
，
故答案为：.
15. 已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的解析式为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数图象的变关系直接求解；
【详解】因为，所以，
当时，，
因为，所以，
，
将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），
可得函数，再将所得图像向右平移个单位长度后，
，
故答案：.
16. 已知函数在区间上有零点，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数零点性质，结合点到直线距离公式，通过构造新函数，利用导数求出最值即可.
【详解】设为在上的一个零点，则，
所以在直线上，
又，为坐标原点，
易知，
令，则，
当时，，所以，单调递增，
所以，即的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式，再构造函数求最值是解题的关键.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 已知函数.
（1）若时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求得，得到，，结合导数的几何意义，即可求解；
（2）根据题意，转化为即在上恒成立，令，利用导数求得函数的单调性和最小值，即可求解.
【小问1详解】
当时，可得，则，
所以，，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以切线方程为，即.
【小问2详解】
由函数在区间上单调递减，
可得在上恒成立，即在上恒成立，
令，可得在上恒成立，
所以在递减，则，所以，
即实数的取值范围为.
18. 数列满足，，当时，等式恒成立.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和为.
【答案】18. ，
19. ，
【解析】
【分析】（1）根据条件可判定为等比数列，求出公比，首项，即可得通项公式；
（2）由（1）得，用错位相减法求出的前项和，得解.
【小问1详解】
由题可知，故数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故，.
【小问2详解】
由（1）可得，，所以，，
设，设其前项和为，
则，①
，②
①②得
，
所以，
所以，.
19. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，若，，
（1）求角的值；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合和差角公式即可求解，
（2）根据诱导公式以及余弦定理即可求解，进而根据面积公式即可求解.
【小问1详解】
因为，故，
则，故，
因为，则，
则，故，
由于,则；
【小问2详解】
由可得，
则，
化简得，又，则，
故的面积.
20. 某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设.
（1）求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）；
（2）求修建道路的总费用的最小值.
【答案】（1）
（2）80万元
【解析】
【分析】（1）根据题意结合正弦定理可得，，进而可得解析式；
（2）利用三角恒等变换整理可得，换元令，结合函数单调性求最值.
【小问1详解】
在中，因为，可得，
在中，可知，
由正弦定理，可得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可知：
，
因为，则，
令，则，
且在上单调递增，可知在上单调递增，
所以在上单调递减，
当，即时，修建道路的总费用取到最小值万元.
21 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，分类讨论导函数的正负，即可得出原函数的增减性；
（2）等价变形，构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，即可求出最值.
【小问1详解】
因为定义域为，则，
当时，令，解得，令，解得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，令，解得，令，解得，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增.
【小问2详解】
因为，所以，
所以，即
令，则有，
设，则，由得
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，即，又因为，
所以，当且仅当时等号成立
所以，从而，所以原式
设，则，由得
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以所求最小值为.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线：，过点的直线的参数方程为：（为参数）.
（1）求曲线的普通坐标方程和直线的极坐标方程；
（2）直线与曲线分别交于、两点.若、、成等比数列，求的值.
【答案】（1），
（2）1
【解析】
【分析】（1）由公式代入曲线方程化简即可；消参即可得到直线的普通方程；
（2）由、、成等比数列，利用参数的几何意义可得，解方程，即可得到答案；
【小问1详解】
因为曲线，则，
由，
所以曲线的直角坐标方程为，
直线的直角坐标方程为：，
所以极坐标方程为：即.
【小问2详解】
将直线的参数方程，（为参数），
代入曲线直角坐标方程得：
，
，（）恒成立，
设交点、对应的参数分别为、，
则，，
因为、、成等比数列，所以，
即，，
解得或（舍取），故满足条件的
23. 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
（2）若，，使得能成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分类讨论的方法求解绝对值不等式.
（2）利用绝对值的几何意义有，将问题转化为使成立，结合的图象确定其最大值，即可得m的取值范围．
【小问1详解】
依题意，得，
当时，，可得；
当时，，可得；
当时，，可得；
综上，不等式的解集为或．
【小问2详解】
依题意，，
又，故，
令，，
结合的图象知，，故，高2021级高三上期第四次月考考试
数学（文科）试题
时间：120分钟总分：150分
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.答非选择题时，将答案书写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若是虚数单位，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知等差数列中，，，则等于（ ）
A. 15 B. 30 C. 31 D. 64
4. 在中，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知向量满足，则（ ）
A. －2 B. －1 C. 0 D. 2
6. 已知角的顶点是坐标原点，始边是轴的正半轴，终边是射线，则（ ）
A. B. C. D.
7. 函数在上的图象大致为（ ）
A. B.
C D.
8. 函数零点个数为（ ）
A 4 B. 3 C. 2 D. 1
9. “欢乐颂”是尊称为“乐圣”“交响乐之王”的神圣罗马帝国音乐家贝多芬一生创作的重要作品之一．如图，以时间为横轴、音高为纵轴建立平面直角坐标系，那么写在五线谱中的音符就变成了坐标系中的点，如果这些点在函数的图象上，且图象过点，相邻最大值与最小值之间的水平距离为，则是函数的单调递增区间的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知定义在上的函数满足，且与曲线交于点，，…，，则为（ ）
A. B. C. D.
11. 若对任意的，，且，，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（ ）
A. 点是函数的零点 B. 的取值范围是
C. 是的极大值点 D. ，，使
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则________.
14. 设命题，，若是假命题，则实数的取值范围是________.
15. 已知函数的周期为，图象的一个对称中心为，将函数图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的解析式为________.
16. 已知函数在区间上有零点，则的最小值为________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
17. 已知函数.
（1）若时，求函数在点处的切线方程；
（2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围.
18. 数列满足，，当时，等式恒成立.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的前项和为.
19. 已知在中，角，，所对的边分别为，，，若，，
（1）求角值；
（2）若，求的面积.
20. 某城市平面示意图为四边形（如图所示），其中内的区域为居民区，内的区域为工业区，为了生产和生活的方便，现需要在线段和线段上分别选一处位置，分别记为点和点，修建一条贯穿两块区域的直线道路，线段与线段交于点，段和段修建道路每公里的费用分别为10万元和20万元，已知线段长2公里，线段和线段长均为6公里，，设.
（1）求修建道路的总费用（单位：万元）与的关系式（不用求的范围）；
（2）求修建道路的总费用的最小值.
21 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，求的最小值.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度，已知曲线：，过点的直线的参数方程为：（为参数）.
（1）求曲线的普通坐标方程和直线的极坐标方程；
（2）直线与曲线分别交于、两点.若、、成等比数列，求的值.
23. 已知函数．
（1）若，求不等式的解集；
