威远中学校2023-2024学年高三上学期第三次阶段考试
数 学（文科）
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题:（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.
1. 设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，则集合B中元素的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，即集合B中的元素有0，1，-1．
【详解】解：由于集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，
∵-1∈A且1∈A，0的相反数是0，0∈A∴-1∈B，1∈B，0∈B．
∴B={-1，0，1}
故B中元素个数为3个；
故选C．
【点睛】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．
2. 已知为复数单位，，则模为（ ）
A. B. 1 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数运算的乘除法则，结合复数相等的定义可求得，进而可求得，再结合模长公式即可求解.
【详解】由可得，所以，
所以，则.
故选：A.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先由sinα=求出cos2α，然后利用诱导公式和余弦和差公式化简cos（﹣2α），并将值代入即可．
【详解】∵sinα=
∴cos2α=1﹣sin2α=
cos（﹣2α）=﹣cos2α=﹣（cos2α﹣sin2α）=﹣
故选C．
【点睛】本题考查了二倍角的余弦，要熟练掌握三角函数的有关公式，属于基础题．
4. 实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】举反例即可判定ABD，由，得出，利用指数函数的性质即可判定C.
【详解】取,满足,但,所以A错误；
取,满足,但，所以B错误；
若，则,,所以C正确；
取,则,所以D错误.
故选:C.
5. 在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A. 3 B. 9 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据韦达定理可得，结合等比数列的性质即可求解.
【详解】因为，是方程两根，
所以，即，
在等比数列中，，又，
所以，因为，所以，所以.
故选：B.
6. 在如图所示的程序框图中，程序运行的结果为3840，那么判断框中可以填入的关于的判断条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】模拟程序的运行过程，即可得出判断框中应填入的判断条件.
【详解】模拟程序的运行过程，如下：
程序进行第一次循环：，此时，继续运行.
程序进行第二次循环：，此时，继续运行.
程序进行第三次循环：，此时，继续运行.
程序进行第四次循环：，此时，结束运行.
所以时，程序退出循环，而时，程序运行不退出循环.
结合选项分析可得：选项C满足.
故选：C
7. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性即可排除选项；再利用特殊值即可排除选项，进而求解.
【详解】函数的定义域为，
且，
所以是奇函数，图象关于原点对称，排除选项，
只需研究的图象，当时，，则，排除选项.
故选：．
8. 已知函数，若，都有，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可.
【详解】当时，且函数为增函数，
当时，则，则，
当时，且函数为增函数，
此时，则，
所以函数是上的增函数，且为奇函数，
则，即为，
所以对恒成立，
即对恒成立，
当时，，
所以，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
9. 已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示可得，再结合基本不等式中的巧用“1”即可求解.
【详解】若存在非零实数使得，即，又，，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为.
故选 ：B
10. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率.
【详解】设圆的半径为r，如图所示，
12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB的面积为
．
∴所求的概率为P= ．
故选B．
【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养.
11. 已知函数，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象结合三角函数求点，进而求，即可得结果.
【详解】因，
可得，即，
由图可知：点A为减区间的对称中心，
令，解得，
取，则，即，
可得，
因为点A为线段CD的中点，则，
所以.
故选：B.
12. 已知正数，，满足，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据对数函数的单调性判断，分别造函数和，利用导数判断函数的单调性，从而得出，，进而求解即可.
【详解】；
构造，则，
令，即解得：，
所以函数在上单调递增，则，
即，所以，
构造，则，
令，即，解得：，
所以函数在上单调递减，则，
即，所以，
综上可知：，
故选：.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.
13. 设满足约束条件，则的最大值为__．
【答案】4
【解析】
【分析】根据可行域结合几何意义求最值.
【详解】作出可行域如下，
由可得，
当直线过点时，最小，则最大，
此时.
故答案为:4.
14. 已知，点，则向量在方向上的投影为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据投影的计算公式即可求解.
【详解】由点，得，
所以向量在方向上的投影为：
．
故答案为:.
15. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…，则第100层球的个数______．
【答案】
【解析】
【分析】设第层的个数为，根据题意可得，然后利用等差数列求和即可求解.
【详解】设第层的个数为，根据题意可得，
所以
，
故答案为：.
16. 已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列命题：
①； ②函数图象关于直线对称；
③函数在上有5个零点；④函数在上为减函数．
则以上结论正确的是___________．
【答案】①②
【解析】
【分析】由题意分析的对称性 、单调性、周期性，对结论逐一判断.
【详解】根据题意，函数是上的奇函数，则；
由得，即
所以是函数的一条对称轴；
又由为奇函数，则，
变形可得，则有，
故函数是周期为4的周期函数，
当，且时，都有，
则函数在区间上为增函数，又由是上的奇函数，
则在区间上单调递增；
据此分析选项：
对于①，，则，
，故①正确；
对于②，是函数的一条对称轴，且函数是周期为4的周期函数，则是函数的一条对称轴，又由函数为奇函数，则直线是函数图象的一条对称轴，故②正确；
对于③，函数在上有7个零点：分别为，，，0，2，4，6，故③错误；
对于④，在区间上为增函数且其周期为4，函数在上为增函数，故④错误；
故答案为：①②．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）．某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）2020年1月，统计了该地的一个家庭2019年7~12月的该家庭人均月纯收入如下表：
月份/2019（时间代码x） 1 2 3 4 5 6
人均月纯收入入y（元） 275 365 415 450 470 485
由散点图发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，求出回归直线方程；并估计2020年3月份（即时间代码x取9）该家庭人均月纯收入为多少元？
参考数据：；；线性回归方程中，，．
【答案】（1），4.72
（2），630（元）
【解析】
【分析】（1）利用频率分布直方图求解；
（2）最小二乘法求回归直线方程,并利用回归方程估计.
【小问1详解】
，
平均数
.
【小问2详解】
，，
，
，，
所以回归直线方程为：，
当时，（元）。
18. 设函数.
（1）求函数的最小正周期及图象的对称轴；
（2）在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围.
【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程是直线，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角恒等变换，化简得出，进而得出周期.解，，即可得出函数的对称轴；
（2）根据已知可推得，的外接圆半径，进而根据正弦定理可得出，化简得出.然后根据已知得出的范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得出答案.
【小问1详解】
因为
，
所以函数的最小正周期，
令，，解得，，
所以对称轴方程是直线，.
【小问2详解】
因为为锐角三角形，所以，.
因为，所以，
所以，所以.
因为能盖住的最小圆为的外接圆，设半径为，
所以，得.
由正弦定理可得，可得，
，.
所以，
因为为锐角三角形，所以，
即，解得，所以，
根据正弦函数的图象以及性质可知，
所以，
所以的取值范围是.
19. 已知函数在处有极值-1.
（1）求的值；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，根据题意可列出相应方程，即可求得的值，验证后即可确定答案；
（2）由题意得在上恒成立，继而参变分离得在内恒成立.，构造函数，求出函数的最小值，即可求得答案.
【小问1详解】
由题意知，
因为在处取得极值-1，
所以，
解得，
即，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
即在处取得极小值-1，符合题意，
故.
【小问2详解】
在上恒成立，
即在内恒成立.
令，
则，令，得或，
令，得或，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
所以，经验证时，，即符合题意，
即的取值范围为.
【点睛】方法点睛：解答第二问根据函数的单调区间求解参数取值范围，得到不等式在上恒成立，即可参变分离，转化为不等式在内恒成立，继而构造函数，将问题转化为求解函数的最值问题.
20. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．
【答案】20. ；
21. ①；②．
【解析】
【分析】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解；
（2）①先计算的通项公式，再用错位相减法求解；
②代入，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果.
【小问1详解】
依题意得，解得，
，即．
【小问2详解】
①，，
，
，
所以．
．
②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立，
即转化为对一切恒成立，
令，则，
又，
当时，；时，，
所以，且，则．
所以实数的最大值为．
21. 已知，是的导函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，与x轴负半轴的交点为点P，在点P处的切线方程为．求证：对于任意的实数x，都有.
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用导数与单调性的关系求解；
（2）利用导函数与单调性、最值的关系证明不等式.
【小问1详解】
由题意得，令，则，
当时，，函数在上单调递增；
当时，，得，，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
【小问2详解】
证明：由（1）可知，
令，有或，
故曲线与x轴负半轴的唯一交点P为．
曲线在点处的切线方程为，
则，
令，则，
所以，
当时，若，，
若，令，
则，
故在时单调递增，．
故，上单调递减，
当时，由知在时单调递增，，在上单调递增，
所以，即成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求．
【答案】（1）；当时，直线的直角坐标方程为，当时，直线的参数方程为．
（2）
【解析】
【分析】（1）利用平方法，结合同角三角函数关系式进行求解即可；
（2）根据直线参数方程中参数的几何意义进行求解即可.
【小问1详解】
，
，
曲线的直角坐标方程为；
当时，，
当时，可得直线的参数方程为；
【小问2详解】
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，
整理可得：．①
因为
所以曲线截直线所得线段的中点在椭圆内，
则方程①有两解，设为，
则，
故，解得的倾斜角为．
选修4-5：不等式选讲
23. 已知.
（1）求的最小值M；
（2）关于的不等式有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）确定，，，相加得到答案.
（2）根据得到，解得答案.
【小问1详解】
，则，，
，
则，所以，
当且仅当时等号成立，的最小值为．
【小问2详解】
，
当且仅当且时取最大值．
的最大值为，威远中学校2023-2024学年高三上学期第三次阶段考试
数 学（文科）
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题:（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.
1. 设集合A={-1，0，1，2，3}，B={x|x∈A且-x∈A}，则集合B中元素的个数为（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
2. 已知为复数单位，，则的模为（ ）
A B. 1 C. 2 D. 4
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
4. 实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在等比数列中，，是方程两根，若，则m的值为（ ）
A. 3 B. 9 C. D.
6. 在如图所示的程序框图中，程序运行的结果为3840，那么判断框中可以填入的关于的判断条件是（ ）
A. B. C. D.
7. 函数的大致图象是（ ）
A B.
C. D.
8. 已知函数，若，都有，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
9. 已知，，，，若存在非零实数使得，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
10. 剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，其在一个周期内的图象分别与x轴、y轴交于点A、点B，并与过点A的直线相交于另外两点C、D.设O为坐标原点，则（ ）
A. B. C. D.
12. 已知正数，，满足，，，则（ ）
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）各题答案必须填写在答题卡相应的位置上.
13. 设满足约束条件，则的最大值为__．
14. 已知，点，则向量在方向上的投影为________．
15. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，…，则第100层球的个数______．
16. 已知函数是R上的奇函数，对任意，都有成立，当，且时，都有，有下列命题：
①； ②函数图象关于直线对称；
③函数在上有5个零点；④函数在上为减函数．
则以上结论正确的是___________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标．2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年（总书记2020年新年贺词）．某贫困地区截至2019年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2019年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图．
（1）求出频率分布直方图中的a的值，并求出这50户家庭人均年纯收入的平均数；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）2020年1月，统计了该地的一个家庭2019年7~12月的该家庭人均月纯收入如下表：
月份/2019（时间代码x） 1 2 3 4 5 6
人均月纯收入入y（元） 275 365 415 450 470 485
由散点图发现：家庭人均月纯收入y与时间代码x之间具有较强的线性相关关系，求出回归直线方程；并估计2020年3月份（即时间代码x取9）该家庭人均月纯收入为多少元？
参考数据：；；线性回归方程中，，．
18. 设函数.
（1）求函数的最小正周期及图象的对称轴；
（2）在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求的取值范围.
19. 已知函数在处有极值-1.
（1）求值；
（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.
20. 已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，
①求数列的前项和；
②若不等式对一切恒成立，求实数最大值．
21. 已知，是的导函数，其中．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，与x轴负半轴的交点为点P，在点P处的切线方程为．求证：对于任意的实数x，都有.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求．
选修4-5：不等式选讲
23. 已知.
（1）求的最小值M；
