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四川省成都市新津区成实外高级中学2023--2024学年度第一学期
高一年级12月月考数学
时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.设集合 , 则（ ）
A. B.
C. D.
2.设命题 , 则命题的否定为（ ）
A. B.
C. D.
3.函数 , 则（ ）
A. B.0
C. D.
4.函数 的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
5.已知 是函数的反函数, 则的值为（ ）
A.0 B.1 C.10 D.100
6.已知 , 则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知 , 则 “” 是“”的（ ）
A.充分必要条件 B.必要不充分条件
C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
8.函数 的图象不可能是（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.下列命题正确的有（ ）
A.定义域为, 则的定义域为
B.是上的奇函数
C.函数 的值域为
D.函数 在上为增函数
11.定义在 上的函数满足, 当时,, 则满足（ ）
A. B.是奇函数
C.在上有最大值 D.的解集为
12.定义在 上的函数若满足: ①, 都有; ②对任意, 都有, 则称函数为 “轴对称函数”, 其中称为函数的对称轴. 已知函数是以为对称轴的 “轴对称函数”, 则使得不等式成立的的取值可能是（ ）
A. B.
C.1 D.2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知 ____________.
14.已知幂函数 的图象过点, 则____________.
15.已知正数 满足, 则的最小值为____________.
16.定义在 上的函数满足: 对, 且,都有成立, 且, 则不等式的解集为____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本题满分10分）
已知集合 .
(1)求 .
(2)若 , 求实数的取值范围.
18. （本题满分12分）
(1) ;
(2) .
19. （本题满分12分）函数 .
(1) 判断并证明函数 的奇偶性;
(2)判断并证明函数 在定义域上的单调性.
20. （本题满分12分）设函数 .
(1)若命题: 是假命题, 求的取值范围;
(2)若存在 成立, 求实数的取值范围.
21. （本题满分12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼, 现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分 与当天锻炼时间（单位: 分钟）的函数关系, 要求如下: (1) 函数的图象接近图示; (2) 每天运动时间为 0 分钟时, 当天得分为 0 分; (3) 每天运动时间为 30 分钟时, 当天得分为 3 分; (4) 每天最多得分不超过 6 分.现有以下三个函数模型供选择:① ; (2);② .
(1)请你从中选择一个合适的函数模型并说明理由;
(2)根据你对 (1) 的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式;
(3)已知学校要求每天的分数不少于 4.5 分, 求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
22. （本题满分12分）已知函数 .
(1) 若关于 的不等式的解集为, 求的值;
(2)已知 , 当时,恒成立, 求实数的取值范围;
(3) 定义: 闭区间 的长度为, 若对于任意长度为 1 的闭区间, 存在, 求正数的最小值.
参考答案及解析
1.【答案】D
【解析】,
所以 .故选: D.
2. 【答案】B
【解析】利用含有一个量词的命题的否定方法可知，
特称命题的否定为:,.故选：B.
3. 【答案】C
【解析】因为 所以, 所以, 故选 C.
4. 【答案】B
【解析】易知函数 在上单调递减, 且,
,则 ,
故由零点存在性定理可知, 函数 在上存在一个零点.故选: B.
5. 【答案】A
【解析】因 是函数的反函数, 则,所以的值为 0 .
故选: A
6. 【答案】D
【解析】由指数函数的性质可知: ,
且 ,
据此可知: , 综上可得:. 本题选择 D 选项.
7. 【答案】A
【解析】,
所以“ ”是 “”的充分必要条件.故选: A.
8. 【答案】D 【解析】若 , 则, 选项 C 符合;
若 , 则函数定义域为,选项 B 符合;
若 , 则, 选项 A 符合,
所以不可能是选项 D. 故选: D.
9. 【答案】BD
【解析】对于选项A, 的定义域为的定义域为, 两个函数定义域不同, 所以选项A不正确;
对于选项B,, 定义域为,, 定义域为,
两个函数定义域相同, 表达式相同, 所以选项 B 正确;
对于选项 C, 因为 , 两个函数表达式不同, 所以选项 C 错误;
对于选项 D, 因为 , 易知两个函数定义域相同, 表达式相同,所以选项 D 正确,
故选: BD.
10. 【答案】AD
【解析】A 选项: 的定义域为正确;
B选项: 是非奇非偶函数, 错误;
C选项:函数 的值域为, 错误;
D 选项: 函数在上为增函数, 正确;
故选AD
11. 【答案】ABD
【解析】对于A选项, 令 , 可得, 解得, A对;
对于B选项, 函数 的定义域为, 令, 可得, 则, 故函数是奇函数, B 对;
对于C选项, 任取 且, 则, 即,
所以 , 函数为上的减函数, 所以,在上有最大值C错;
对于D选项, 由于 为上的减函数, 由, 可得, 解得D对.
故选: ABD.
12. 【答案】BC
【解析】函数 是以为对称轴的 “轴对称函数”, 则以为对称轴的函数,
即函数 是偶函数, 又在上是增函数,
不等式 , 故, 解得,故选: BC.
13. 【答案】
【解析】.故答案为：.
14. 【答案】1.
【解析】为幂函数,;
其图象过点,, 故答案为: 1
15. 【答案】.
【解析】因为 是正数,, 所以,
当且仅当 时取等号，即当时，的最小值为.
16. 【答案】 .
【解析】令 , 因为对, 且, 都有成立,
不妨设 , 则, 故, 则,
即 ,所以在上单调递增,
又因为 , 所以, 故可化为,
所以由 的单调性可得, 即不等式的解集为.
17.【解析】(1) , 则.
(2) , 故, 故, 解得, 即
18. 【解析】(1) 原式 ;
(2) 原式
19. 【解析】(1) 为奇函数,, 定义域为,
关于原点对称, 又 , 所以函数为奇函数.
(2) 在上为减函数,,
任取 且, 则
,
即 . 因此, 函数在上为减函数.
20. 【解析】(1) 若命题: 是假命题, 则是真命题,
即 在上恒成立, 当时,, 符合题意;
当 时,需满足 ,
解得 ; 综上所述,的取值范围为.
(2) 若存在 成立, 即存在使得成立,
故只需 , 因为, 所以,
则 ,当且仅当 , 即时取等号,
所以 ,所以.
21. 【解析】(1) 第一步：分析题中每个模型的特点
对于模型一, 当 时, 匀速增长; 对于模型二, 当时, 先慢后快增长;
对于模型三, 当 时, 先快后慢增长.
第二步：根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型, 故选 .
(2) 第三步把题图中的两点代入选好的模型中, 得到函数解析式
将 代入解析式得到, 即,
解得 , 即.
第四步: 完善模型是否合适
当 时,, 满足每天得分最高不超过 6 分的条件.
所以函数的解析式为 .
(3) 由 ,
得 , 得,
所以每天得分不少于 4.5 分, 至少需要运动 55 分钟.
22. 【解析】(1) 不等式的解集为, 则方程的根为,
且 , 解得, 故.
(2) 令 , 若, 即, 则,
的开口向上, 对称轴为, 则在单调递减, 在单调递增,
且 , 即, 故实数的取值范围为.
(3) 的开口向上, 对称轴为,
, 根据二次函数的对称性不妨设,
则有:当 时,在上单调递增, 则可得
,
即 , 解得；
当 , 即时,在上单调递减, 在上单调递增,
则可得 ,
, 则, 即; 综上所述:,
故正数 的最小值为 4 .
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