宁夏重点中学2023-2024学年高三上学期第三次月考
数学（理科）试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
4.现有一张正方形剪纸，沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开，得到2张纸片，再从中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，得到3张纸片，……，以此类推，每次从纸片中任选一张，沿只过其一个顶点的一条直线剪开，若经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为（ ）
A.33 B.34 C.36 D.37
5.已知，，，则是的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.若数列，，，，是等比数列，则实数的值为（ ）
A. B. C.3 D.3或
7.由曲线，直线，所围成的封闭图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
8.函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）
A. B. C. D.
9.在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（ ）
A.3 B. C. D.
10.已知，，且，则下列说法不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11.已知函数，记等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A. B. C.2023 D.4046
12.若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知，则________.
14.若数列满足，，则________.
15.函数在区间上存在极值，则实数的取值范围是________.
16.函数是定义域为的奇函数，满足，且当时，，给出下列四个结论：
①；②是函数的周期；③函数在区间上单调递增；④函数所有零点之和为.
其中，正确结论的序号是________.
三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：（共60分）
17.记数列的前项和为，若，且.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）求数列的前项和的表达式.
18.如图，中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）已知，若为外接圆劣弧上一点，求的最大值.
19.已知函数，把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，然后再把所得到的图象上所有点向右平移移动个单位长度，得到函数的图象.
（1）求函数的解析式及其单调递增区间；
（2）求函数在上的最大值和最小值.
20.已知是数列的前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列前项的和，若对一切恒成立，求实数的最大值.
21.已知.
（1）求函数的最大值；
（2）设，，求证：.
（二）选考题（共10分．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分。）
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）求曲线，的极坐标方程；
（2）若射线：与曲线交于点（异于极点），与曲线交于点，且，求.
23.[选修4-5：不等式选讲]已知函数
（1）当时，解不等式；
（2）若不等式对任意都成立，求实数的取值范围.
答案和解析
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C C B A B D D C C A A
填空题
14. 15. 16. ① ③ ④
1．【答案】D
【分析】利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为集合，，则.
故选：D.
2.【答案】C
【详解】设复数，则，
则，则，，
所以．
故选：C.
3．【答案】C
【分析】先根据三角函数的定义求出，再根据二倍角的正切公式即可得解.
【详解】因为角的终边经过点，所以，所以.故选：C.
4.【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可得次剪纸得到的多边形纸片的边数成公差为3的等差数列，进而可得结果.
【详解】设没剪之前正方形的边数为，即，
沿只过其一个顶点的一条直线将其剪开得到一个三角形和一个四边形，，
然后无论是选择三角形或四边形，剪一次后边数都增加3，
所以可知次剪纸得到的多边形纸片的边数成公差为3的等差数列，即，
故经过10次剪纸后，得到的所有多边形纸片的边数总和为，
故选：B.
5.【答案】A
【详解】解：因为，，：
即，即，则，
而：，
所以，是的充分不必要条件，
故选：A.
6【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质，属于基础题．
根据等比数列的性质直接列式求解即可．
【解答】
解：由题意，
又数列的奇数项同号，即，所以．
故选：B．
7.【答案】D
【分析】画出图形，求出点的坐标，然后根据定积分的性质求解即可
【详解】由，得或，则，
所以由曲线，直线，所围成的封闭图形的面积为
，
故选：D
8．【答案】D
【详解】由图知：函数图象关于轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
9.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查三角形的面积的计算，根据余弦定理求出是解决本题的关键，属于基础题．
根据条件进行化简，结合余弦定理以及三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：∵，
∴，
即，
，
，
解得，
则三角形的面积．
故选C．
10．C
【分析】根据，利用均值不等式判断A，由条件可化为，据此，利用均值不等式判断B，取特殊值判断C，根据均值不等式及不等式的性质判断D.
【详解】对A，，当且仅当，
即时等号成立，故A正确；
对B，由可得，所以，当且仅当时等号成立，故B正确；
对C，当时，，故C错误；
对D，由，即，当且仅当时等号成立，
又，当且仅当时等号成立，
故，时等号成立，故D正确.
故选：C
11.令，
因为，
所以为上的增函数，
因为，
所以是奇函数，
因为，，
所以，，
所以，即，
所以.
故选：A.
12【答案】A
【解析】
【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.
【详解】设公切线与函数切于点，
由，得，所以公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
设公切线与函数切于点，
由，得，则公切线的斜率为，
所以公切线方程为，化简得，
所以，消去，得，
由，得，
令，则，
所以在上递减，
所以，
所以由题意得，
即实数的取值范围是，
故选：A
13．
由题意，即，
所以.
故答案为：.
14．【详解】得, ,
所以有,因此.
15.【答案】
【分析】求得，令，分析函数在的单调性，利用函数在区间上存在极值可得出关于实数的不等式组，解之即可.
【详解】因为，则，
令，则函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，，
因为函数在上存在极值，则，解得.
故答案为：.
16【答案】① ③ ④
【分析】由可得直接计算即可判断① ；根据函数的奇偶性和对称性即可求得周期，从而可判断② ；先判断在的单调性，再根据奇函数关于原点对称的区间单调性相同即可判断③ ；根据对称性以及函数图象交点的个数即可判断④.
【详解】对于①：由可得，故①正确；
对于② ：由可得关于直线对称，
因为是定义域为R的奇函数，所以
所以，
所以函数的周期为，故② 不正确；
对于③ ：当时，单调递增，且，
在单调递减，且，
所以在单调递增，因为是奇函数，
所以函数在区间上单调递增；故③ 正确；
对于④ ：由可得关于直线对称，作出示意图
函数所有零点之和即为函数与两个函数图象交点的横坐标之和，当时，两图象交点关于对称，此时两根之和等于 ，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于，当时两图象交点关于对称，此时两根之和等于时两图象无交点 ，
所以函数所有零点之和为.故④ 正确；
故答案为：① ③ ④
【点睛】求函数零点的方法：画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数；将函数拆成两个函数，和的形式，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象交点个数；零点之和即为两个函数图象交点的横坐标之和.
17.【答案】解：（1）因为，故，
则，
则，
，
故，
故是以为首项，为公比的等比数列
（2）由（1）可知，，故，
故
．
18.解：（Ⅰ）法一：∵，由正弦定理得：
………………………………………………2分
∴
∵，∴，又∵，∴………………………………5分
法二：∵，由余弦定理得：
，
∴…………………………………………………………………………3分
∴，∵，∴……………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，而四边形内角互补，则，
法一：设，则，由正弦定理得：
………………………………………………………………7分
∴，，
∴，
当且仅当时，的最大值为……………………………………10分
法二：在中，，，由余弦定理得：
…………………………………………7分
∴
∴，
当且仅当时，的最大值为………………………………10分
19.【答案】（1）
（2）；
【分析】（1）由函数的平移法则可直接求解的解析式；
（2）结合诱导公式化简得，再由二倍角公式和换元法，可得，，结合二次函数的开口和对称轴可求的最大值和最小值．
【详解】（1）由题可知横坐标缩短到原来的倍，可得，再向右平行移动个单位长度，得，
即；
（2）
由
得，
设，因为，所以，，
故，对称轴为，故，
，
20.【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用代入即可求得通项公式；
（2）裂项相消求得的前项和，再结合基本不等式求最值.
【详解】（1）因为是数列的前n项和，且，则，当时，，当时，，满足通项公式，所以的通项公式为.
（2）因为为数列前n项的和，令，
则，
，因为对一切恒成立，
则，因为，当且仅当时，等号成立.
所以,所以实数的最大值为.
21.【答案】（1）0
（2）证明见解析
【分析】（1）求得，令，求得，结合当时，且，得到的符号，得出函数的单调区间，进而求得其最小值.
（2）求得，得出函数单调性和，由，不妨设，又由（1）知恒成立，得到，再结合为证明，转化为证明，得到，构造新函数，利用导数求得函数的单调性，结合，即可得证.
【详解】（1）解：由，可得，
令，可得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
又因为时，，且，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，函数取得最小值.
（2）证明：由函数，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得大致，
其当时，；当时，，
由，可得异号，不妨设且，
又由（1）知恒成立，
可得，即，所以，
要证：，只需证，
而且在上单调递增，
只需证：，即证：，即证，
令，可得，
所以在上单调递减，所以，
所以.
【点睛】方法总结：利用导数求证明函数不等式问题的求解策略:
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
22.【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解曲线和的极坐标方程；
（2）将代入曲线和的方程，求得和 ，结合题意求得，即可求解.
【详解】（1）解：由，可得，即，
又由，可得，
所以曲线M的极坐标方程为．
由，可得，即，
即曲线N的极坐标方程为.
（2）解：将代入，可得，
将代入，可得，
则，
因为，所以，
又因为，所以．
23.【答案】（1） （2）
【分析】（1）分类讨论去掉绝对值，转化成整式不等式组去求解即可解决；
（2）分类讨论，去绝对值值利用分离参数法求实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则化为
或或，
解得或，
所以不等式的解集为.
（2），即，
当时，，即，
所以，所以，
所以，因为，所以；
当时，，即，所以，
所以，因为，所以；
综上，.
