2023-2024学年度第一学期上海市九年级数学期末仿真模拟试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
【答案】B
【分析】先利用勾股定理求出的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，
再利用排除法求解即可．
【详解】解：，，，
，
A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项正确，符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项错误，不符合题意；
故选：B．
2. 已知，下列说法中不正确的是（ ）
A. B. 与方向相同 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
详解】A.，故该选项错误，
B.∵，
∴与方向相同，故该选项正确，
C.∵，
∴，故该选项正确，
D.∵，
∴，故该选项正确，
故选：A．
3.把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】将二次函数的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：.
故选A.
4 .如图，，若，则下面结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据比例的性质与平行线分线段成比例，列出比例式，逐项判断即可
【详解】＝，
,
故A选项正确，不符合题意；
l1∥l2∥l3，且＝，
,
故B选项正确，不符合题意；
故D选项正确，不符合题意；
根据已知条件不能求出的值，故C选项不正确，
故选C．
5.对于二次函数，下列说法错误的是（）
A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴为直线
C. 图象与轴的交点坐标为 D. 当时，随的增大而增大
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：二次函数，
，则该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线，故选项B不符合题意；
∴当时，随的增大而增大，故选项D不符合题意；
当时，，
∴图象与轴的交点坐标为，故选项C符合题意；
故选：A．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，
点N是CB上的一点，，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，则BM的值为（ ）
A．3或4 B．或4 C．或6 D．4或6
【答案】D
【分析】分两种情形：当时，，
设，，可得，解出值即可；当时，
过点作，可得，得出，，
则，证明，得出方程求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，AB=10，
，
设，，
①当时，可得，
，
，
，
．
②当时，如图2中，过点作，可得，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
．
综上所述，或6．
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7.计算：2sin30°－ cos 45°=．
【答案】0
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【详解】解：．
故答案为：0．
8. 已知，则＝．
【答案】
【分析】由得到，代入式子计算即可.
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：.
9．已知锐角中，，，，那么度．
【答案】45
【分析】过A作AD⊥BC于D，求出AD长，根据勾股定理求出BD，从而得出CD长，
继而得出是等腰直角三角形，即可得出的度数．
【详解】过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC =90°，
在Rt中， AB=5，
∴
∴AD=4，
∴，
∵，
∴CD=BC-BD=7-3=4，
∴是等腰直角三角形，
∴∠C =45°．
故答案为：45．
已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象上的两点，
若x1＜x2＜0，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”），
【答案】＜
【分析】找到二次函数对称轴，根据二次函数的增减性即可得出结论．
【详解】解：∵y＝﹣2（x﹣1）2+3，
∴抛物线y＝﹣2（x﹣1）2+3的开口向下，对称轴为x＝1，
∴在x＜1时，y随x的增大而增大，
∵x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
11 .大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，
如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为．
【答案】
【分析】根据黄金分割的定义解答，即可得出答案．
【详解】解：为的黄金分割点，
，
，
故答案为：．
12.如图，一辆汽车沿着坡度为的斜坡向下行驶50米，
则它距离地面的垂直高度下降了________米.
【答案】25
【解析】
【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2+（x）2=502．
解得x=25，
即它距离地面的垂直高度下降了25米．
13.如图所示， 用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点 处，
光线从点 出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙 的顶端 处．
如果 ， 米， 米， 米，
那么该古城墙的高度是米
【答案】10
【分析】根据两个三角形相似、对应边长度比成比例求出古城墙高度．
【详解】∵入射角=反射角
∴入射角的余角∠APB=反射角的余角∠CPD
又AB⊥BD；CD⊥BD
∴△ABP∽△CDP
∴
∴CD=PD×=10
故答案为：10
14. 已知二次函数的图像经过原点，则的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的定义可得，再将点代入二次函数的解析式即可得．
【详解】解：函数是二次函数，
，
解得，
二次函数的图像经过原点，
，
解得或（舍去），
故答案为：．
15 .如图，已知在梯形ABCD中，ABCD，AB＝2CD，
设＝，＝，那么可以用，表示为．
【答案】
【分析】由AB∥CD，即可证得△PCD∽△PAB，又由AB＝2CD，
即可求得与的关系，利用三角形法则，求得，即可求得．
【详解】解：，
．
∥，，
∴△ECD∽△EAB，
，
，
．
故答案为：．
16.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面.
【答案】3
【分析】根据两三角形相似列出比例式进而求解即可．
【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则
解得．
故答案为：3．
如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，
再延长到点，使，联结，即可得，
如果设，则可得，那么，
运用以上方法，可求得的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】作，使，，再延长BC到点，使，
联结，即可得，设，然后用t表示出CD，最后根据余切的定义作答即可．
【详解】解：如图：作，使，，
再延长CB到点，使，联结，即可得
设，则BC=t，AB=BD=t
所以DC=BC+AB=t+t=（1+）t
所以．
故答案为．
如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，
若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，
且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为．
【答案】
【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，
再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，
然后根据正切的定义即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，
，
，
，
同理可得：，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
19.计算：．
【答案】
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值进行计算即可．
【详解】解：
20. 如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点A、点B．，．
(1)求直线的解析式；
(2)若点C在x轴上方的直线上，的面积为15，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用求出，再利用待定系数法求的解析式；
（2）过点C作轴于点H，根据的面积求出，再根据一次函数的性质求出，则．
【详解】（1）解：，点B在y轴正半轴上，
，
，
，
点A在x轴的负半轴上，
，
设直线的解析式为，将，代入，得：
，
解得，
直线的解析式为，
（2）解：如图，过点C作轴于点H，则，
，
，
点C的纵坐标为5，
点C在直线上，将代入，得，
解得
点C的横坐标为4，即，
，
，
，
．
21. 如图，已知中，，，，．
（1）求线段的长；
（2）设，．
①请直接写出向量关于、的分解式，________；
②连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．
【答案】（1）；（2）①；②作图见解析．
【分析】（1）先求出AB，再据平行线分线段成比例，写出关于AE、AC、AD、AB的等比式，问题可解．
（2）①以AD，DE为边作平行四边形ADEF，，先再求得，据问题可解；②以BD、DE为边作平行四边形即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴．
（2）①如下图
∵DE∥BC
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴△ADE∽△ABC
∴
又，
∴
∵四边形ADEF是平行四边形
∴
∴，
②如下图，和是分别在、方向上的分向量．
如图，某地下车库的入口处有斜坡，它的坡度为，斜坡的长为米，
车库的高度为（），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为,即
（）求车库的高度．
（）求点与点之间的距离（结果精确到米）．
（参考数据：，，，）
【答案】（）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用坡度为i＝1：2，得出AH：BH＝1：2，进而利用勾股定理求出AH的长；
（2）利用，求出BC的长即可．
【详解】解：（）由题意可得：，
设，则，
故，
解得：，
答：车库的高度为；
（）∵，
∴，
∴，
在中，，
故，
又∵，
∴，
∴，
解得：，
答：点与点之间的距离是．
23. 如图，点F是平行四边形的边上的一点，直线交线段的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可以得到，
然后即可得到，，从而可以得到结论成立；
（2）根据相似三角形的性质和题目中的数据，平行四边形的性质，可以计算出AB的长．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∴；
（2）由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
24 .如图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，
长米，宽米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．
卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．
(1)当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；
(2)点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，
已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，
卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．
当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？
试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，）
【答案】(1)5.3m
(2)不会，理由见解析
【分析】（1）过点作，垂足分别为，交于点，
过点作于点，根据即可解决问题；
（2）过点作于点，同理求得，进而勾股定理求得，根据平行线分线段成比例求得，进而判断是否大于即可判断该货车是否会发生车辆倾覆安全事故．
【详解】（1）如图，过点作，垂足分别为，交于点，过点作于点，
则四边形是矩形，
斜坡AB的坡角为37°，即
,，，
∴车厢最高点C离地面的距离是；
（2）该货车不会发生车辆倾覆安全事故，理由如下，
如图，过点作于点，
同理求得
在中，
四边形是矩形
,
该货车不会发生车辆倾覆安全事故．
25. 已知二次函数的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点．
（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点的坐标；
（2）设该函数图像与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点B，图像的对称轴与x轴交于点A，如果 ，，求该二次函数的解析式；
（3） 在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图像上，且点M的横坐标为，如果的面积是，求点M的坐标．
【答案】（1）抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点；（2）；（3）点M的坐标为
【分析】（1）根据二次函数图象与系数之间的关系即可判断开口方向，对称轴以及顶点坐标；
（2）过点D作DE⊥y轴，即可判断出△CDE∽△BCO，然后结合，可推出，从而通过相似三角形的性质列式求解a，即可得出解析式；
（3）首先根据M的坐标求出直线CM的解析式，从而得到直线CM与对称轴的交点P的坐标，进而利用割补法建立关于△ACM面积的等式，求解出t的值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴抛物线开口向下，
根据对称轴公式可得：，
当时，，则顶点，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点；
（2）如图所示，作DE⊥y轴，
由（1）可知顶点，则OA=ED=1，
∵DC⊥BC，
∴∠DCE+∠BCO=90°，
又∵∠DCE+∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠BCO，
∴△CDE∽△BCO，
∴，
∵，
∴
当时，，即点C的坐标为
∴，则：，
解得：，
经检验a=-1是方程的解，
∴抛物线的解析式为：；
（3）在（2）的条件下，如图所示，连接MC，M的坐标为，
此时设直线CM的解析式为：，
将C，M的坐标代入得：，解得：，
即：直线CM的解析式为：，
设直线CM与对称轴交于P点，则P的坐标为，，
∴，
解得：，
将代入抛物线解析式得：，
∴点M的坐标为．2023-2024学年度第一学期上海市九年级数学期末仿真模拟试题
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝
2. 已知，下列说法中不正确的是（ ）
A. B. 与方向相同 C. D.
3. 把二次函数y=2x2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
4 .如图，，若，则下面结论错误的是（ ）
对于二次函数，下列说法错误的是（）
A. 图象开口向下 B. 图象的对称轴为直线
C. 图象与轴的交点坐标为 D. 当时，随的增大而增大
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB上的一点，
点N是CB上的一点，，当∠CAN与△CMB中的一个角相等时，则BM的值为（ ）
A．3或4 B．或4 C．或6 D．4或6
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 计算：2sin30°－ cos 45°=．
8. 已知，则＝．
9．已知锐角中，，，，那么度．
已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为函数y＝﹣2（x﹣1）2+3的图象上的两点，
若x1＜x2＜0，则y1y2（填“＞”、“＝”或“＜”），
11 .大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，
如图，为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为．
12 .如图，一辆汽车沿着坡度为的斜坡向下行驶50米，
则它距离地面的垂直高度下降了________米.
如图所示， 用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点 处，
光线从点 出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙 的顶端 处．
如果 ， 米， 米， 米，
那么该古城墙的高度是米
14. 已知二次函数的图像经过原点，则的值是__________．
15 .如图，已知在梯形ABCD中，ABCD，AB＝2CD，
设＝，＝，那么可以用，表示为．
图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，
此时液面.
如图，图中提供了一种求的方法，作，使，，
再延长到点，使，联结，即可得，
如果设，则可得，那么，
运用以上方法，可求得的值是______．
如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，
若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，
且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为．
解答题（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，
第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）
计算：．
20. 如图：已知一次函数图像与x轴、y轴分别交于点A、点B．，．
(1)求直线的解析式；
(2)若点C在x轴上方的直线上，的面积为15，求．
21. 如图，已知中，，，，．
（1）求线段的长；
（2）设，．
①请直接写出向量关于、的分解式，________；
②连接，在图中作出向量分别在、方向上的分向量．
如图，某地下车库的入口处有斜坡，它的坡度为，斜坡的长为米，
车库的高度为（），为了让行车更安全，现将斜坡的坡角改造为,即
（）求车库的高度．
（）求点与点之间的距离（结果精确到米）．
（参考数据：，，，）
23. 如图，点F是平行四边形的边上的一点，直线交线段的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
24 .如图1是一种自卸货车，图2是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，
长米，宽米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米．
卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡．
当斜坡AB的坡角为37°时，求车厢最高点C离地面的距离；
(2)点A处的转轴与后车轮转轴（点E处）的水平距离叫做安全轴距，
已知该车的安全轴距为0.7m．货厢对角线AC、BD的交点G是货厢侧面的重心，
卸货时如果A、G两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．
当斜坡AB的坡角为45°时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？
试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，）
25. 已知二次函数的大致图像如图所示，这个函数图像的顶点为点．
（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点的坐标；
（2）设该函数图像与y轴正半轴交于点，与x轴正半轴交于点B，图像的对称轴与x轴交于点A，
如果 ，，求该二次函数的解析式；
在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图像上，且点M的横坐标为，
如果的面积是，求点M的坐标．
