必修 第三册 综合测评(A卷) （含解析）

综合测评(A卷)
第Ⅰ卷(选择题)
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.[2023云南五华模拟]在平面直角坐标系中,若角的顶点为坐标原点,始边为x轴的正半轴,终边经过点sin,cos,则sin α=(　　)
A. B.- C.- D.
2.[2023河南襄城校级模拟]已知cos α=,则sin(π+2α)·tan α=(　　)
A. B.- C. D.-
3.函数f(x)=-x+tan x-4.[2023广东龙岗校级期中]已知a=(1,1),b=(-2,1),则b在a上的投影向量为(　　)
A.-,- B.(-1,-1) C. D.(1,1)
5.[2023湖北宜城期中]已知α为锐角,sin-α=-,则cos α=(　　)
A. B. C. D
6.设a=cos 10°-sin 10°,b=,c=,则a,b,c大小关系正确的是(　　)
A.a7.[2023全国甲卷(理)]已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos=(　　)
A.- B.- C. D.
8.已知函数f(x)=2sinsin+sin x,将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,然后再向右平移φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于y轴对称,则φ的最小值为(　　)
A. B. C. D.
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.已知向量a=(2,-1),b=(-4,2),c=(1,2),则(　　)
A.a∥b B.b⊥c
C.|a|=|c| D. λ,μ∈R,使得c=λa+μb
10.[2023吉林延边二模]下列化简正确的是(　　)
A.cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=-
B.sin 15°sin 30°sin 75°=
C.
D.cos215°-sin215°=
11.[2023山东崂山校级期中]给出下列说法,其中正确的选项有(　　)
A.非零向量a,b满足|a|>|b|且a与b同向,则a>b
B.若单位向量e1,e2的夹角为60°,则当|2e1-te2|(t∈R)取最小值时,t=1
C.在△ABC中,若·=0,则△ABC为等腰三角形
D.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是-,+∞
12. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示,则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的图象关于直线x=对称
B.函数f(x)的图象关于点-,0对称
C.函数f(x)在区间-上单调递增
D.函数y=1与y=f(x)-≤x≤的图象的所有交点的横坐标之和为
第Ⅱ卷(非选择题)
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知函数f(x)=tanωx+(ω>0)的相邻两个零点之间的距离是,则f=　　　　　.
14.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a·b=-1,则|a-b|=　　　　　.
15.[2023山东泗水期中]若tan α=2tan 10°,则=　　　　　.
16.在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分别为线段DC和AB的中点,若=a,=b,用a,b表示=　　　　　,若,则∠DAB余弦值的最小值为　　　　　.
四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知向量a=(4,-2),b=(3,1).
(1)求a·b,|a+b|的值;
(2)求a与b的夹角θ的余弦值.
18.(12分)已知=3.
(1)求tan(π+α)的值;
(2)求sin αcos α+cos2α的值.
19.(12分)[2023江苏高邮期中]已知α,β为锐角,tan α=2,sin(α-β)=-.
(1)求sin 2α的值;
(2)求tan(α+β)的值.
20.(12分)已知函数f(x)=cos2x+2sin xcos x-sin2x.
(1)求f(x)的单调递增区间;
(2)若f(θ)=,且<θ<,求sin 2θ的值.
21.(12分) [北师大版教材习题]如图,圆心角为60°的扇形AOB的半径为1,点C是上一点,作这个扇形的内接矩形CDEF,当点C在什么位置时,这个矩形的面积最大 这时的∠AOC等于多少度
22.(12分)已知函数f(x)=2sin ωxcos φ+2sin φ-4sin2sin φ(ω>0,|φ|<π),其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差,　　　　　,从以下两个条件中任选一个补充在空白横线上.
①函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且f(0)<0;
②函数f(x)的图象的一个对称中心为,0且f>0.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的(t>0)倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,若函数y=g(x)在区间0,上恰有3个零点,求t的取值范围.
参考答案
一、单选题
1.B　因为sin,cos=-,所以终边经过的点为,-,所以终边在第四象限,
所以sin α==-.故选B.
2.D　原式=-sin 2αtan α=-2sin αcos α·=-2sin2α=-2(1-cos2α)=-2×1-=-.
故选D.
3.D　因为f(-x)=-(-x)+tan(-x)=x-tan x=-(-x+tan x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除BC,又因为f=-+tan=1->0,所以排除A.故选D.
4.A　因为a=(1,1),b=(-2,1),所以b在a上的投影向量为·a=·(1,1)=-,-.故选A.
5.A　由题意α为锐角,可得-α∈-,由sin-α=-,可得cos-α=,故cos α=cos--α=coscos-α+sinsin-α=×-=.故选A.
6.A　a=cos 10°-sin 10°=cos(60°+10°)=cos 70°=sin 20°,b==2sin 12°cos 12°=sin 24°,
c=cos 20°-sin 20°=cos(45°+20°)=cos 65°=sin 25°,由sin 20°7.D　由a+b+c=0,得a+b=-c,所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2,即|a|2+|b|2+2|a||b|cos=|c|2.
又|a|=|b|=1,|c|=,所以2+2cos=2,
解得cos=0,则=.
不妨设a=(1,0),b=(0,1).因为a+b+c=0,所以c=(-1,-1),所以a-c=(2,1),b-c=(1,2),所以cos=.故选D.
8.B　由诱导公式可得sin=cos,
故f(x)=2sincos+sin x=sin+x+sin x,f(x)=sin x+cos x=2sinx+,
函数f(x)变换后得到g(x)=2sin2x-2φ+,g(x)图象关于y轴对称,故-2φ++kπ,k∈Z,得φ=-,k∈Z,而φ>0,故φ的最小值为.故选B.
二、多选题
9.ABC　A正确;B正确;|a|=,|c|=,C正确;因为c=λa+μb,所以(1,2)=λ(2,-1)+μ(-4,2),即无解,故不存在λ,μ∈R,使得c=λa+μb,D错误.故选ABC.
10.ABD　选项A,cos 82°sin 52°-sin 82°cos 52°=sin(52°-82°)=sin(-30°)=-,正确;选项B,sin 15°sin 30°·sin 75°=sin 15°sin 30°cos 15°=sin230°=,正确;选项C,=tan(48°+72°)=tan 120°=-,错误;选项D,cos215°-sin215°=cos 30°=,正确.故选ABD.
11.BC　对于选项A,∵向量不能比较大小,∴A选项错误;
对于选项B,∵|2e1-te2|=,
∴当t=1时,|2e1-te2|取最小值,∴B选项正确;
对于选项C,∵表示与∠A的角平分线平行的向量,又·=0,∴∠A的角平分线与边BC所在直线垂直,∴△ABC为等腰三角形,∴C选项正确;
对于选项D,∵当λ=0时,a与a+λb的夹角为0,∴D选项错误.故选BC.
12.BCD　由题图可知A=2,,即T=π,
因为T=,且ω>0,故ω=2,因此f(x)=2sin(2x+φ),又因为y=f(x)的图象过点,-2,所以2×+φ=-+2kπ,k∈Z,因为0<|φ|<π,故φ=,因此f(x)=2sin2x+.对于选项A,由2x++kπ,得y=f(x)的对称轴为x=,k∈Z,故x=不是函数f(x)的对称轴,因此A错误;对于选项B,由2x+=kπ,得函数f(x)的对称中心为-,0,k∈Z,故函数f(x)的图象关于点-,0对称,因此B正确;对于选项C,由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z.得函数f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ,k∈Z,故函数f(x)在区间-上单调递增,因此C正确;对于选项D,
由图可知,函数y=1与y=f(x)的图象在-上有4个交点,则这4个交点的横坐标之和为2×+2×,故D正确.故选BCD.
三、填空题
13.1　函数f(x)=tanωx+(ω>0)的相邻两个零点之间的距离是,则有f(x)的周期T=,解得ω=3,
于是得f(x)=tan3x+,
所以f=tanπ+=tan=1.
14.　因为|a|=1,|b|=2,a·b=-1,则|a-b|=.
15.3　因为tan α=2tan 10°,则=3.
16.a-b　　
如图,
∵AB∥CD,AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,且=a,=b,
∴=-a-b,
=-=-=-a+b,且,∴=a-b·-a+b=-a2-b2+a·b=0,∴a·b=a2+b2,
∴cos∠DAB=,当且仅当,即|a|=2|b|时,等号成立,
∴∠DAB余弦值的最小值为.
四、解答题
17.解(1)因为a·b=(4,-2)·(3,1)=12-2=10,a+b=(7,-1),所以=5.
(2)设a与b的夹角为θ,则cos θ=.
18.解(1)由=3,
可得=3,
所以8sin α=4cos α,
解得tan α=,
所以tan(π+α)=tan α=.
(2)由(1)知tan α=,
所以sin αcos α+cos2α=.
19.解(1)因为tan α==2,sin2α+cos2α=1,
又因为α为锐角,所以sin α=,cos α=,
所以sin 2α=2sin αcos α=2×.
(2)因为tan α=2,cos 2α==-,所以tan 2α==-,
又因为α,β均为锐角,所以-<α-β<,cos(α-β)=,
所以tan(α-β)==-,
所以tan(α+β)=tan[2α-(α-β)]==-.
20.解(1)f(x)=cos 2x+sin 2x=2sin2x+,
令-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z,
则-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以f(x)的单调递增区间为-+kπ,+kπ,k∈Z.
(2)因为f(θ)=,所以sin2θ+=.
因为<θ<,所以<2θ+,
所以cos2θ+=-,
所以sin 2θ=sin2θ+-
=sin2θ+cos-cos2θ+sin
=.
21.解设∠AOC=θ,θ∈(0°,60°),则OC=1,OF=cos θ,CF=sin θ,OE=.
EF=OF-OE=cos θ-,
所以S=EF·CF=cos θ-sin θ=sin θcos θ-sin 2θ+cos 2θ-sin 2θ+cos 2θ-(cos 30°sin 2θ+sin 30°cos 2θ)-sin(2θ+30°)-.
因为θ∈(0°,60°),所以2θ+30°∈(30°,150°),
当且仅当θ=30°时,S取得最大值.所以当C点在弧AB的中点时,矩形CDEF的面积最大,此时∠AOC=30°.
22.解(1)f(x)=2sin ωxcos φ+2sin φ-4sin2sin φ=2sin ωxcos φ+2sin φ-2(1-cos ωx)sin φ=2sin ωxcos φ+2sin φ-2sin φ+2cos ωxsin φ=2sin(ωx+φ),
由于其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差,
故,即T=π,即=π,得ω=2,
则f(x)=2sin(2x+φ).
若选①,函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称且f(0)<0,
则y=2sin2x++φ=2sin2x++φ,
此时函数关于y轴对称,则+φ=+kπ,k∈Z,
得φ=kπ-,k∈Z,
∵|φ|<π,∴当k=0时,φ=-,当k=1时,φ=.
∵f(0)<0,∴f(0)=2sin φ<0,则sin φ<0,
则φ=-成立,φ=不成立,舍去.
则f(x)=2sin2x-.
若选②,函数f(x)的图象的一个对称中心为,0且f>0.则2×+φ=kπ,k∈Z,得φ=kπ-,k∈Z,
∵|φ|<π,∴当k=0时,φ=-,当k=1时,φ=.
∵f>0,∴2sin+φ>0,
当φ=时,2sin+φ=2sin=2×-=-1>0不成立,当φ=-时,2sin=1>0成立,则f(x)=2sin2x-.
(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的(t>0)倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,
则g(x)=2sin2tx-,∵x∈0,,∴2tx∈0,,2tx-∈-.
∵函数y=g(x)在区间0,上恰有3个零点,
∴2π≤<3π,得,得≤t<,
即实数t的取值范围是.