第二章综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1.[2023·临沂]在同一平面内，过直线l外一点P作l的垂线m，再过点P作m的垂线n，则直线l与n的位置关系是( )
A.相交 B.相交且垂直 C.平行 D.不能确定
2.[2023·北师大附属实验中学期中]如图，已知∠1＝70°，要使CD∥BE，则∠B的度数为( )
A.70° B.100° C.110° D.120°
(第2题) (第3题) (第4题)
3.[2022·济南]如图，AB∥CD，点E在AB上，EC平分∠AED.若∠1＝65°，则∠2的度数为( )
A.45° B.50° C.57.5° D.65°
4.如图，A是直线m外一定点，B，C是直线m上的两定点，P是直线m上一动点.已知AB＝6 cm，BC＝10 cm，当动点P移动到点C处时，PA恰好垂直于AB，且此时PA＝8 cm，则当动点P在直线m上移动时，线段PA的最小值是( )
A.4.5 cm B.6 cm C.4.8 cm D.2.4 cm
5.如图，给出下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2＋∠4＝180°.其中能判定直线l1∥l2的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(第5题) (第6题) (第7题) (第8题)
6.[2023·荆州]如图所示的“箭头”图形中，AB∥CD，∠B＝∠D＝80°，∠E＝∠F＝47°，则图中∠G的度数是( )
A. 80° B.76° C.66° D.56°
7.如图，将长方形ABCD沿线段OG折叠，点B，C的对应点分别为B'，C'.若∠OGC'＝100°，则∠AOB'的度数为( )
A.20° B.30° C.40° D.50°
8.如图，将一副三角尺叠放在一起，使两个直角顶点重合于点O，AB∥OC，DC与OB相交于点E，则∠DEO的度数为( )
A.85° B.70° C.75° D.60°
9.如图，AB∥EF，∠C＝90°，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是( )
A.∠β＝∠α＋∠γ B.∠α＋∠β＋∠γ＝180°
C.∠α＋∠β－∠γ＝90° D.∠β＋∠γ－∠α＝90°
10.如图，AB与HN相交于点E，点G在直线CD上，GF交AB于点M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四个结论：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG＋∠EFM＝90°；④3∠EHG－∠EFM＝180°.其中正确的是( )
A.①②③ B.②④ C.①②④ D.①④
(第9题) (第10题) (第12题) (第13题)
二、填空题(每题3分，共24分)
11.[2022·玉林]已知∠α＝60°，则∠α的余角的度数是 .
12.[2023·烟台]一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知∠1＝102°，则∠2的度数为 .
13.(母题：教材P43习题T3)如图，某工程队计划把河水引到水池A中，他们先过点A作AB⊥CD，垂足为B，然后沿AB开渠，可以节约人力、物力和财力，这样设计的数学依据是 .
14.同一平面内的三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a c.
15.[2022·阜新]一副三角尺按如图所示的方式摆放，直线AB∥CD，则∠α的度数是 .
(第15题) (第16题) (第17题) (第18题)
16.[情景题 生活应用]为响应国家新能源建设，某市公交站亭安装了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光(平行光线)与水平线最大夹角为64°，如图，电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，此时电池板CD与水平线夹角为46°，要使AB∥CD，需要将电池板CD逆时针旋转m度(0＜m＜90)，则m＝ .
17.如图，某煤气公司安装煤气管道，他们从点A处铺设到点B处时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与AB平行的DE方向继续铺设.已知∠ABC＝135°，∠BCD＝65°，则∠CDE＝ .
18.如图，AB∥CD，∠CDE＝119°，GF交∠DEB的平分线EF于点F，∠AGF＝130°，则∠EFG＝ .
三、解答题(19～21题每题8分，25题12分，其余每题10分，共66分)
19.(母题：教材P56随堂练习T1)用尺规作一个角等于已知角.(不写作法，保留作图痕迹)
已知：∠AOB，求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B'＝∠AOB.
(第19题)
20.完成下列推理过程：
如图，∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明：∠BMN与∠CNM互补.
解：因为∠A＝∠F(已知)，
所以 ∥ ( ).
所以∠D＝∠ ( ).
又因为∠C＝∠D(已知)，
所以∠C＝∠ ( ).
所以 ∥ ( ).
所以∠BMN与∠CNM互补( ).
21.如图，AB∥DF，AC⊥BC于点C，BC与DF交于点E，若∠CAB＝20°，求∠BEF的大小.
22.[2023·厦门一中期中]如图，已知AB∥CD，直线AE交CD于点C，∠A与∠D互补，判断直线AE与DF的位置关系，并说明理由.
23.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，P为BC上一动点(点P与点B，C不重合)，设∠CDP＝∠α，∠CPD＝∠β，试说明：不论点P在BC上怎样运动，总有∠α＋∠β＝∠B.
24.[新趋势 学科综合]如图所示的是一个潜望镜模型示意图，AB，CD代表镜子摆放的位置，并且AB∥CD，EF是进入潜望镜的光线，MN是离开潜望镜的光线，光线经过镜子反射时，满足∠1＝∠2，∠3＝∠4.求证：MN∥EF.
25.[新考法 特殊到一般思想]如图①，E，F分别是直线AB，CD上的点，点M在AB与CD之间，且AB∥CD.
(1)若∠EMF＝80°，则∠AEM＋∠CFM＝ .
(2)如图②，在图①的基础上，作射线EN，FN交于点N，使∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，设∠EMF＝α，猜想∠ENF的度数(用含α的式子表示)，并说明理由.
(3)如图③，在图①的基础上，分别作射线EP，FP交于点P，作射线EQ，FQ交于点Q.若∠AEP＝∠AEM，∠CFP＝∠CFM，∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，∠P与∠Q之间有什么数量关系，并说明理由.
第二章综合素质评价
一、1.C
2.C 点拨：由“对顶角相等”可得∠1的对顶角等于70°，再根据“同旁内角互补，两直线平行”即可求解.
3.B
4.C 点拨：连接AC，过点A作AH⊥BC于点H，如图.
因为AC⊥AB，AH⊥BC，
所以AH·BC＝AC·AB.
所以AH＝＝4.8(cm).
所以当动点P运动到点H时，线段PA的值最小，最小值为4.8 cm.
5.C
6.C 点拨：如图，延长AB交EG于点M，延长CD交FG于点N，过点G作GK∥AB，
∵AB∥CD，
∴GK∥CD.
∴∠KGM＝∠EMB，∠KGN＝∠DNF.
∴∠KGM＋∠KGN＝∠EMB＋∠DNF.
∴∠EGF＝∠EMB＋∠DNF.
∵∠ABE＝80°，∴∠EBM＝100°.
又∵∠E＝47°，
∴∠EMB＝180°－100°－47°＝33°.
同理∠DNF＝33°，
∴∠EGF＝∠EMB＋∠DNF＝33°＋33°＝66°.故选C.
7.A 8.C 9.C
10.D 点拨：因为∠FMA＝∠FGC，所以AB∥CD.所以①正确；过点F作FP∥AB，过点H作HQ∥AB，如图.
因为AB∥CD，
所以FP∥AB∥HQ∥CD，
设∠NEB＝x，∠HGC＝y，则∠FEN＝2x，∠FGH＝2y，
所以∠EHG＝∠EHQ＋∠GHQ＝∠AEH＋∠HGC＝∠NEB＋∠HGC＝x＋y，∠EFM＝180°－∠FEM－∠FME＝∠BEF－∠FME＝∠BEF－∠AMG＝∠BEF－(180°－∠FGC)＝x＋2x－(180°－2y－y)＝3x＋3y－180°，
所以2∠EFM＝6x＋6y－360°，
所以∠EHG≠2∠EFM，所以②错误；
所以∠EHG＋∠EFM＝x＋y＋3x＋3y－180°＝4x＋4y－180°≠90°，
所以③错误；
所以3∠EHG－∠EFM＝3(x＋y)－(3x＋3y－180°)＝180°，
所以④正确.
综上所述，正确的是①④.故选D.
二、11.30°
12. 78° 点拨：如图，
由题意，得AB∥CD，
∴∠2＝∠BCD.
∵∠1＝102°，
∴∠BCD＝78°.
∴∠2＝78°.
13.垂线段最短 14.∥
15.15°
16.20 点拨：因为电池板AB与最大夹角时刻的太阳光线互相垂直，所以AB与水平线的夹角为90°－64°＝26°.要使AB∥CD，需要CD与水平线的夹角为26°，所以需将电池板CD逆时针旋转46°－26°＝20°.
17.110° 点拨：如图，过点C作CF∥AB.
因为AB∥DE，
所以DE∥CF.
所以∠CDE＝∠FCD.
因为AB∥CF，∠ABC＝135°，
所以∠BCF＝180°－∠ABC＝45°.
又因为∠FCD＝∠BCD＋∠BCF，∠BCD＝65°，
所以∠FCD＝110°.
所以∠CDE＝110°.
18.9.5° 点拨：过点F向左作FH∥BA，则AB∥CD∥HF.
所以∠BED＝∠CDE，∠AGF＋∠GFH＝180°，∠BEF＝∠EFH.
所以∠GFH＝180°－∠AGF＝50°.
因为EF平分∠BED，
所以∠BEF＝∠BED＝∠CDE＝59.5°.
所以∠EFH＝59.5°.
所以∠EFG＝∠EFH－∠GFH＝9.5°.
三、19.解：如图，∠A'O'B'就是所求作的角.
20.DF；AC；内错角相等，两直线平行；DBA；两直线平行，内错角相等；DBA；等量代换；BD；CE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
21.解：因为AC⊥BC，
所以∠C＝90°.
因为∠CAB＝20°，
所以∠ABC＝180°－∠CAB－∠C＝180°－20°－90°＝70°.
因为AB∥DF，所以∠DEB＝∠ABC＝70°.
因为∠DEB＋∠BEF＝180°，所以∠BEF＝110°.
22.解：AE∥DF，理由如下：
因为AB∥CD，所以∠A＝∠DCE.
因为∠A与∠D互补，
所以∠DCE＋∠D＝180°.所以AE∥DF.
23.解：过点P作PE∥CD交AD于点E，则∠DPE＝∠α.
因为AB∥CD，所以PE∥AB.
所以∠CPE＝∠B，
即∠DPE＋∠β＝∠α＋∠β＝∠B.
所以不论点P在BC上怎样运动，总有∠α＋∠β＝∠B.
24.证明：因为AB∥CD，
所以∠2＝∠3.
又因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，
所以∠1＝∠2＝∠3＝∠4.
因为∠1＋∠2＋∠5＝180°，∠3＋∠4＋∠6＝180°，
所以∠5＝∠6.
所以MN∥EF.
25.【解】(1)80°
(2)∠ENF＝α，理由如下：
如图，过点M作MG∥AB，
易知，∠EMF＝∠AEM＋∠CFM.
过点N作NH∥AB，
因为AB∥CD，
所以AB∥CD∥NH.
所以∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠CFN.
所以∠ENF＝∠ENH＋∠HNF＝∠AEN＋∠CFN.
因为∠AEN＝∠AEM，∠CFN＝∠CFM，
所以∠ENF＝∠AEM＋∠CFM＝(∠AEM＋∠CFM)＝∠EMF.
因为∠EMF＝α，所以∠ENF＝α.
(3)n∠Q＋m∠P＝360°，理由如下：
易知，∠P＝∠M，∠Q＝∠BEQ＋∠DFQ，∠BEM＋∠DFM＋∠M＝360°，
因为∠BEQ＝∠BEM，∠DFQ＝∠DFM，
所以∠Q＝∠BEM＋∠DFM＝(∠BEM＋∠DFM)＝(360°－∠M).
所以∠M＝360°－n∠Q.
因为∠M＝m∠P，
所以360°－n∠Q＝m∠P，即n∠Q＋m∠P＝360°.
