2023—2024学年度第一学期阶段性练习（三）
九年级数学
（满分120分，练习时间120分钟）
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1.下列二次根式中是最简二次根式的为（ ）
A. B. C. D.
2.校运动会上甲、乙、丙、丁四名选手参加100米决赛，赛场有1号、2号、3号、4号4条跑道.如果选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，则甲抽到1号跑道，乙抽到2号跑道的概率是（ ）
A. B. C. D.
3.在中，，均为锐角，且，，，则的面积是（ ）
A.800 B. C.400 D.
4.如图，点为边上的任意一点，作于点，于点，下列用线段比表示的值，错误的是（ ）
A. B. C. D.
5.点是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A. B.
C.或 D.或
6.如图，在菱形中，为上一点，连接、，交于点，若，则等于（ ）
A.2:5 B.3:5 C.16:25 D.9:25
7.如图，已知是坐标原点，与是以点为位似中心的位似图形，且与的相似比为1:2，如果内部一点的坐标为，则在中的对应点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.解下列方程较为合理的方法是（ ）
（1） （2） （3）
A.开平方法；求根公式法；求根公式法 B.求根公式法；配方法；因式分解法
C.开平方法；求根公式法；因式分解法 D.开平方法；配方法；求根公式法
9.等腰三角形的底角为15°，腰长为，则腰上的高为（ ）
A. B. C. D.
10.如图，轮船从处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达处，在处观测灯塔位于北偏东10°方向上，则处与灯塔的距离是（ ）
A.20海里 B.40海里 C.海里 D.海里
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（共5个小题，每小题3分，共15分）
11.如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈.试求羊圈，的长.若设的长为米，则根据题意列方程为______.
12.如图，小明沿坡度的坡面由到行走了100米，那么小明行走的水平距离______米.（结果可以用根号表示）.
13.在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同.小颖做摸球实验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中.不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数 65 124 178 302 481 620 1845
摸到白球的频率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.620 0.615
摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 3000
请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到0.1）
14.如图，在中，，正方形的边长为，顶点、在边上，在上，直线分别交、于点、.若，，则的长是______？
15.如图，在边长相同的小正方形网格中，点、、、都在这些小正方形的顶点上，与相交于点，则的值为______.
三、解答题（共8个小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（每小题3分，本题9分）解方程：
（1）用配方法解方程：.
（2）解方程：.
（3）解方程：.
17.（每小题3分，本题12分）
（1）.
（2）.
（3）已知，，是锐角三角形的三个内角，且满足，求的度数；
（4）已知的值是方程的一个根，求式子的值.
18.（本题7分）已知，如图所示的正方形网格中，每个网格的单位长度为1，的顶点均在格点上，根据所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）点的坐标为______；点的坐标为______；点的坐标为______；
（2）将点、、的横坐标保持不变，纵坐标分别乘以，分别得点、、，并连接、、得，请画出；
（3）与的位置关系是______.
19.（本题8分）如图，是等边三角形，.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长和的面积.
20.（本题8分）有、两个黑布袋，布袋中有两个完全相同的小球，分别标有数字1和2.布袋中有三个完全相同的小球，分别标有数字，和.小强从布袋中边机取出一个小球，记录其标有的数字为，再从布袋中随机取出一个小球，记录其标有的数字为，这样就确定点的一个坐标为.
（1）用列表或画树状图的方法写出点的所有可能坐标；
（2）求点落在直线上的概率.
21.（本题8分）已知、、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且、是关于的一元二次方程的两个根，求的值.
22.（本题11分）综合与实践
数学活动小组组织一次登山活动，他们从山脚下点出发沿斜坡到达点，再从点沿斜坡到达山顶点，路线如图所示，斜坡的长为米，斜坡的长为米，坡度是1:1，已知点海拔121米，点海拔721米.
（1）问点测得点的俯角为______°，并求点的海拔；
（2）求斜坡的坡度；
（3）为了方便上下山，若在到之间架设一条钢缆，求钢缆的长度.
23.（本题12分）综合与探究
小新学习三角函数时，遇到一个这样的问题：在中，，，求的值.
解题思路：小新先画出了几何图形（如图1），他说得22.5°虽然不是特殊角，但22.5°是45°的一半，于是他尝试着在上截取，再连结，构造出等腰（如图2）.
解题过程：在上截取，再连结，可证为等腰三角形，设，则，……..
图1 图2 图3 图4
（1）实践应用：请把上面小新的解题过程补充完整.
（2）尝试应用：如图3，求的值.
（3）拓展应用：如图4，某同学站在离纪念碑底距离5米的处，测得纪念碑顶点的仰角为75°，该同学的眼睛点离地面的距离为1.5米，请帮助他求出纪念碑的高度.（结果保留整数，参考数据：，）
