期末模拟试题（2）
试卷范围:浙教版九年级上册第1—4章+九年级下册第5章。
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2023·浙江·九年级统考期末）如图，一架人字梯，若，梯子离地面的垂直距离为2米，与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据余弦的定义即可，得到答案．
【详解】解：过点A作，如图所示：
∵，，∴，
∵，∴米，∴米，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查的是解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，作出辅助线，利用正切三角函数值求出的长，是解题的关键．
2．（2023上·浙江舟山·九年级校联考期中）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
【答案】C
【分析】此题主要考查了概率的意义，解题的关键是正确理解概率的意义．根据概率表示可能性大小，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是，实验次数过少，不能得到钉尖朝上的概率是，不合理；
B、某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票不一定有5张中奖，不合理；
C、小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是，合理；
D、某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是，中靶与不中靶不是等可能事件，不合理；故选C．
3．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，、是上的两点，是直径，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用垂径定理得出，通过同弧或等弧所对圆周角相等可得，再根据三角形内角和即可求解．
【详解】解：∵，是直径，∴，∴，
∵，∴，故选：．
【点睛】此题考查了垂径定理和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理和同弧或等弧所对圆周角相等的应用．
4．（2023上·山东济南·九年级统考期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率等知识点，先画树状图展示所有9种等可能的结果，再找出两次摸到相同颜色的棋子的结果数，然后根据概率公式计算，熟练掌握其画图或列表得出所有可能结果数是解决此题的关键．
【详解】画树状图为：
共有9种等可能的结果，其中两次摸到相同颜色的棋子的结果数为5种，
∴两次摸到相同颜色的棋子的概率，故选：C．
5．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了扇形面积公式，根据题意得出圆锥的底面圆周长即为侧面展开图弧长，再根据，求出扇形半径，最后根据，即可求出圆心角度数．
【详解】解：∵该圆锥的底面圆周长为，∴侧面展开图弧长，
∵侧面积为，，∴，解得：，
∵，∴，解得：，
∴这个扇形的圆心角的度数是，故选：D．
6．（2022上·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据两个正切值求出、，即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
∵，，， ∴，，
∵，∴，，
∴，故答案为B．
【点睛】本题考查根据正切求线段，解题的关键是熟练掌握一个角的正切值等于对边比邻边．
7．（2023上·山东德州·九年级统考期中）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴是
C．抛物线与轴没有交点 D．当时，关于的一元二次方程有实根
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系．将点代入可求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【详解】解：将点代入得：，解得，
∴，
∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是，选项A错误，选项B正确；
∵方程的根的判别式，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴抛物线与轴有两个交点，选项C错误；
由二次函数的性质可知，这个抛物线的开口向上，且当时，取得最小值，
∴当时，与没有交点，
∴当时，关于的一元二次方程没有实根，选项D错误；故选：B．
8．（广东省深圳市2023-2024学年九年级期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在、上，且，，、相交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④，正确的结论有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质．
根据等边三角形的性质可证得，得到，从而利用三角形外角的性质得到，据此可判断①；
从上截取，连接，则是等边三角形，从而有，，根据等边三角形的性质和边的关系可得，从而，根据等腰三角形的“等边对顶角”和三角形外角的性质求得，从而判断②；
易证，根据相似三角形的性质即可判断③；
易证，根据相似三角形的性质即可判断④．
【详解】∵是等边三角形
∴，
∵，∴∴∴，
∵∴
∵是的外角∴∴①正确；
如图，从上截取，连接，则是等边三角形
∴，
∵，，，∴，
∴点D，点M是线段的三等分点，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴∴，∴②正确；
∵，∴，又∴
∴∴∴∴③正确；
∵，是公共角∴
∴，∴，
∵∴∴④正确．故选：D．
9．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题属于二次函数和圆的综合问题；、、的坐标，然后求出半圆的直径为，由于为定点，是半圆上的动点，为的中点，连接，可证明，所以的运动路径为以为直径的半圆，计算即可．
【详解】解：连接，．
，点的坐标为，
令，则，解得，，，
，，，∴，
∴轴．，∴点在上，
∵，∴，∴，
∴点的运动轨迹是以为直径的半圆，
点运动的路径长是．故选：D
10．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】由是等边三角形，及同弧所对圆周角相等可得，即可判断①正确；根据最长时，为直径，可判定②正确；在上取一点E，使，可得是等边三角形，从而，有，可判断③正确；过点A作于点，根据直角三角形的性质以及勾股定理，即可判断④是错误的；把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，因为，则，再结合②，即可作答．
【详解】解：∵是等边三角形，∴，
∵，，∴，，
∴，故①正确；因为当最长时，则为的直径，∴，
∵，∴，∴，故②正确；
在上取一点E，使，如图：
∵，∴是等边三角形，∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∴，故③正确；
由③知，则，
过点A作于点，如图所示：
在中，，则，
因为所以
在中，，
∵是等边三角形，，故④是错误的；
把绕点逆时针转，使得与重合，点与点是对应点，如图所示：
因为，所以是等边三角形，
易知所以则
要使四边形最大面积，则最大此时为的直径
由②知，则所以
因为 所以在，那么
则，故⑤是正确的；
∴正确的有①②③⑤，共4个，故选：C．
【点睛】本题考查等边三角形及外接圆，涉及三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识内容，解题的关键是正确作辅助线，构造三角形全等解决问题．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上）
11．（2023上·浙江杭州·九年级校联考期中）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
【答案】0.53
【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够仔细观察表格并了解：现随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可．
【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53，故答案为：0.53
12．（成都市天府新区2022-2023学年九年级期末）如图，在中，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为 ．
【答案】
【分析】证明，求得，证明，求得，从而求得，然后由针尖落在黑色区域内的概率为求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴针尖落在黑色区域内的概率为，故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，相似三角形的判定与性质，熟练掌握几何概率公式，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．（2023上·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，圆内接四边形中，，连接，．则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理．熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
由题意知，，则，，进而可求，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，∴，
∵，∴，
∵，，∴，
∵，∴，故答案为：．
14．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，处．从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点出发到桥尾点的微信步数（步长视为定值）统计如下表：
计数位置 点 点 点 点 点 点
步数/步 0 140 180 360 400 540
根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米．
【答案】 /
【分析】根据路程等于步数乘步长可求得步长；建立坐标系，分别求得段和段抛物线的解析式，求得点M的横坐标，进一步计算即可求解．
【详解】解：步长（米）；
设点A为原点，所在直线为x轴，则，，，
设段抛物线的解析式为，
将代入得，∴，
∴段抛物线的解析式为，
∵三条抛物线的形状相同，C、D的中点为
∴设段抛物线的解析式为，
将代入得，∴，
∴抛物线的解析式为，
解方程，，即点M的横坐标为162，
由对称性知点N的横坐标为，∴（步），
（米），故答案为：，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，分别求得段和段抛物线的解析式是解题的关键．
15．（2023上·江苏盐城·九年级统考期末）如图，一幢居民楼临近斜坡，斜坡的坡度为，小生在距斜坡坡脚A处测得楼顶M的仰角为，当从A处沿坡面行走16米到达P处时，测得楼顶M的仰角刚好为，点N、A、B在同一直线上，则该居民楼的高度为 （结果保留根号）．
【答案】米/米
【分析】过点P作于点E，于点F．由斜坡的坡度为，可得出，结合题意即可得出米，米．由所作辅助线结合题意可知四边形为矩形，得出，．又易证是等腰直角三角形，即可设米，则米，米．最后在中，根据正切的定义可列出关于m的等式，解出m的值，即可求出的长．
【详解】解：如图，过点P作于点E，于点F，
∵山坡的坡度为，米，∴．
∵，∴米，米．
∵，，∴是等腰直角三角形，∴．
由所作辅助线结合题意可知四边形为矩形，∴，．
设米，则米，米．
∵在中，，
∴，即， 解得：，
∴米．即该居民楼的高度为米，故答案为：米．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用．正确连接辅助线构造直角三角形是解题的关键．
16．（2023上·四川德阳·九年级统考期末）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
【答案】＜t＜1/0.6
【详解】解：由二次函数y＝x2﹣2x+3（x＜2）可知：图象开口向上，对称轴为x＝1，
∴当x＝1时函数有最小值为2，x1+x2＝2，
由一次函数y＝﹣x+（x≥2）可知当x＝2时有最大值3，当y＝2时x＝，
∵直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3），
∴y1＝y2＝y3＝m，2＜m＜3，∴2＜x3＜，∴t＝＝，∴＜t＜1．故填：＜t＜1
【点睛】本题考查了二次函数的性质、一次函数的性质、函数值的取值范围等知识点，熟练掌握各知识点，利用数形结合的思想是解答本题的关键．
17．（成都市第七中学2022-2023学年九年级上期末）如图，、、、分别是矩形的边、、、上的点，，，，，若，，则四边形的周长为 ．
【答案】
【分析】先构造 的直角三角形，求得 的余弦和正切值；作，可求得；作，分别交直线于和，构造“一线三等角”，先求得的长，进而根据相似三角形求得，进而求得，于是得出，进一步求得结果．
【详解】解：如图1，
中，，，，
设，则，，，
，，如图2，
作于，作，分别交直线于和，
四边形是矩形，，
在与中，，，，
同理证得，则，四边形是平行四边形，
设，则，，，
，，，
可得：，，，
，，，，
，，，
，，
，，，
四边形的周长为：，故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形性质，全等三角形判定和性质，解直角三角形，构造特殊角的图形及其求的函数值，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造“一线三等角”及构造直角三角形求其三角函数值．
18．（2023上·江苏淮安·九年级统考期末）在正方形中，，点P是边上一动点（不与点D、C重合），连接，过点C作，垂足为E，点F在线段上，且满足，连接，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】不论P怎么运动，保持不变，则的外接圆中所对的圆心角为，从而的圆心与半径确定，于是可得当点F在与的交点位置时，就取最小值，求出此时的值便可．
【详解】解：作的外接，连接、、、，在优弧上取点M，连接、，过O作，与的延长线交于点N，
∵，，∴，∴，
∴点F在的外接上，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∵，
当A、F、O三点依次在同一直线上时， 的值最小，
故AF的最小值为：．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，勾股定理，两点之间线段最短，解题的关键是构造圆与直角三角形，找出点F的运动轨迹．
三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19-20题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上）
19．（安徽省阜阳市2023-2024学年九年级期中）如图，在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似且相似比为；
(2)点的坐标为______，点的坐标为______．
【答案】(1)见解析(2)，
【分析】本题考查了位似作图，图形与坐标，掌握位似的性质是解题的关键．
（1）在网格中作出，连接即可得到；
（2）根据点的位置写出、的坐标即可．
【详解】（1）即为所作；
（2）点的坐标为，点的坐标为，
故答案为：，．
20．（2023上·四川成都·九年级校考期中）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C：，D：.并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
(1)请把条形统计图补充完整．(2)扇形统计图中 ， ，B等级所占扇形的圆心角度数为 ．
(3)对甲、乙、丙、丁4名参加知识竞赛学生进行分组作业调查，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
【答案】(1)见解析(2)15，5，(3)
【分析】本题考查了树状图法、条形统计图和扇形统计图的有关知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
（1）先由A等级人数及其所占百分比求出总人数，再根据四个等级人数之和等于总人数求出C等级人数，从而补全图形；（2）根据（1）中补全的图形得出C、D人数，利用百分比概念求解可得m、n的值，用360°乘以B等级对应的百分比可得其对应圆心角度数；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）被调查的总人数为（人），
∴C等级人数为（人），补全图形如下：
（2）∵，，∴；
B等级所占扇形的圆心角度数为，故答案为：15，5，；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，甲和乙恰好分在同一组的结果有2种，
∴甲和乙恰好分在同一组的概率为．
21．（安徽省皖东南初中四校之宣城市第十二中学2023-2024学年九年级上学期第二次联考数学试题）如图，是的角平分线，延长至点，使得．(1)求证：；(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定；
（1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质得出，根据对顶角相等得出，即可得证；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入数据，即可求解．
【详解】（1）证明：如图 是的角平分线，
又，，，
又，
（2）解：∵，， ∴，
∵，∴， 即，解得
22．（2022上·江苏扬州·九年级统考期末）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（在同一条直线上）．请解答下列问题：
(1)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
(2)求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）在中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解；
（2）如图所示，延长交于点，可得是等边三角形，再计算出的长度，在中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，，
∴灯管支架底部距地面高度的长为．
（2）解：如图所示，延长交于点，
，，∴，
，，
是等边三角形，，
，，，
在中，， ，
∴灯管支架的长度约为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际运用、等边三角形的判定与性质，掌握仰俯角求直角三角形，特殊三角函数值求边长是解题的关键．
23．（2023春·河南·九年级专题练习）如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为15米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为3米．(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；(2)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后平移多少米？(3)记水流的高度为，此时的斜坡的高度为，请直接写出求的最大值；
【答案】(1)能(2)1米(3)
【分析】（1）根据当喷射出的水流距离喷水头10米时，达到最大高度6米，设设水流形成的抛物线为，代入点求出二次函数的解析式，再求出当时的函数值，即可得到结论；
（2）设喷射架向后平移了m米，设出平移后的函数解析式，代入点B的坐标即可求解．
（3）先求出斜坡的高度的解析式，列出，把函数解析式化为顶点式，即可求解；
【详解】（1）由题可知：抛物线的顶点为 ，
设水流形成的抛物线的表达式为 ，将点代入可得 ，
∴抛物线的表达式为 ，当时， ，
答：能浇灌到小树后面的草坪；
（2）设喷射架向后平移了m米，则平移后的抛物线可表示为 ，
将点代入得 或（舍去），
答：喷射架应向后移动1米．
（3）的最大值为，理由如下：
由题可知A点坐标为 ，则直线的解析式为 ，
∴，
∵ ，∴当时，取得最大值为，
答：的最大值为；
【点睛】此题考查了二次函数在实际问题中的应用，根据题意求出函数的解析式是解决此题的关键．
24．（2022上·浙江丽水·九年级期末）如图，已知内接于平分，交于点E，交于点D，连接．(1)求证：；(2)作于点N，G为中点，连接．①若，求的长；②作于点M，连接，若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)①；②6
【分析】（1）证明出，结合即可证明；
（2）作于点H，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出 ，可得，结合得出，再由勾股定理求解即可；②设，则由可知，，可得，延长，过点D作于点H，过点D作于点I，连接．可得，再证明可得结论．
【详解】（1）∵平分，∴．
∵，∴．
（2）①作于点H，
∵，G为中点，∴，
∴，∴
∴，∴，∴．
②设，则由可知，，
由平分，∴．
∴
．
延长，过点D作于点H，过点D作于点I，连接．
∵，∴
∴．由平分，∴，
∴，∴．∴，∴，
∴，∴，∴．
由于等底等高，，
，
在中， ，∴，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定，解直角三角形等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键．
25．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．(1)求的值．(2)当时，求的最小值．
(3)当时，的最大值为，最小值为，且，求的值．
【答案】(1)(2)(3)或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）首先根据题意得到二次函数开口向上，然后结合得到当时，y取得最小值，然后代入求解即可；（3）根据题意分3种情况讨论，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，对称轴为直线
∴，解得∴；
（2）∵二次函数，∴开口向上
∵对称轴为直线，∵，
∴当时，y取得最小值，即 ∴的最小值为；
（3）∵对称轴为直线∴当时，
∵二次函数开口向上∴y随x的增大而减小
∴当时，y取得最大值，即，
当时，y取得最小值，即
∵∴解得，不符合题意，舍去；
∴当时，当时，即
∴当时，y取得最大值，当时，y取得最小值，
∵∴ 解得（舍去）或；
当，即∴当时，y取得最大值，当时，y取得最小值，
∴ 解得（舍去）或；
当时，即，
∴当时，y取得最小值，即，
当时，y取得最大值，即
∵∴ 解得，不符合题意，应舍去，
∴综上所述，的值为或．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是待定系数法求出二次函数解析式．
26．（四川省成都市天府新区2022-2023学年九年级期末）如图1，在中，．点P是线段上的一动点，将沿着折叠，点A落在处．
(1)求点A到直线的距离；(2)如图2，点Q是线段上的一动点，将沿着折叠，使得边折叠后与重合．若，求证：；(3)如图3，连接，过作的平行线，与直线交于点M．当时，求的长．
【答案】(1)点A到直线的距离为；(2)证明见解析(3)的长为．
【分析】（1）如图，过作交的延长线于，证明，从而可得结论；
（2）由对折可得：，，，，证明，再证明是等边三角形，可得，，证明，再利用相似三角形的性质可得答案；
（3）分当在直线下方时和当在直线上方时，两种情况讨论．如图，过作于，先求解，，再求解，，证明，可得，再建立方程求解即可．
【详解】（1）解：如图，过作交的延长线于，
∵，，∴，，，
∴，即点A到直线的距离为；
（2）解：由对折可得：，，
，，
∵，∴，
∵，∴，
∴，∴是等边三角形，
∴，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴．
（3）解：当在直线下方时，如图，过作于，
由（1）得：，，∴，
∴，∴，
∵，，，∴，
∴由等面积法可得：，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．
当在直线上方时，如图，过作于，
同理得：，，∴，
∴，∴，
∵，，，∴，
∴由等面积法可得：，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴．综上，的长为．
【点睛】本题考查的是含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形与相似三角形是解本题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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期末模拟试题（2）
试卷范围:浙教版九年级上册第1—4章+九年级下册第5章。
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2023·浙江·九年级统考期末）如图，一架人字梯，若，梯子离地面的垂直距离为2米，与地面的夹角为，则两梯脚之间的距离为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．（2023上·浙江舟山·九年级校联考期中）以下说法合理的是（ ）
A．小明做了3次掷图钉的实验，发现2次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是
B．某彩票的中奖概率是5%，那么买100张彩票一定有5张中奖
C．小明做了3次掷均匀硬币的实验，其中有一次正面朝上，2次正面朝下，他认为再掷一次，正面朝上的概率还是
D．某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶，所以他击中靶的概率是
3．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）如图，、是上的两点，是直径，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山东济南·九年级统考期中）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和1个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同．从中随机摸出一个棋子，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个棋子，则两次摸到相同颜色的棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·河南周口·九年级统考阶段练习）如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为，侧面积为，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022上·江苏扬州·九年级统考期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（2023上·山东德州·九年级统考期中）已知抛物线经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下 B．抛物线的对称轴是
C．抛物线与轴没有交点 D．当时，关于的一元二次方程有实根
8．（广东省深圳市2023-2024学年九年级期中）如图，是等边三角形，点D、E分别在、上，且，，、相交于点F，连接，则下列结论：①；②；③；④，正确的结论有（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
9．（2023上·浙江台州·九年级校考期中）如图，抛物线与坐标轴相交于点，，，顶点为．以为直径画半圆交轴的正半轴于点，圆心为，是半圆上的一动点，连接，是的中点，当点沿半圆从点运动至时，点运动的路径长为( )
A． B． C． D．
10．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，是等边的外接圆，点D是弧上一动点（不与A，C重合），下列结论：①；②当最长时，；③；④当，时，；⑤当时，四边形最大面积是．其中一定正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分，答案写在答题卡上）
11．（2023·浙江杭州·九年级校联考期中）某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表：
累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650
盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530
随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于 （精确到0.01）．
12．（成都天府新区2022-2023学年九年级期末）如图，在中，．现随机向三角形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为 ．
13．（2023上·广西南宁·九年级校考阶段练习）如图，圆内接四边形中，，连接，．则的度数是 ．
14．（2023上·浙江台州·九年级统考期末）图1是一座三拱悬索桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，三条抛物线的形状相同，分别交于桥墩点，处．从桥头点处的碑文得知桥面长为270米，小张从桥头点出发到桥尾点的微信步数（步长视为定值）统计如下表：
计数位置 点 点 点 点 点 点
步数/步 0 140 180 360 400 540
根据上述数据信息得小张的步长为 米，中间两桥墩的距离 米．
15．（2023上·江苏盐城·九年级统考期末）如图，一幢居民楼临近斜坡，斜坡的坡度为，小生在距斜坡坡脚A处测得楼顶M的仰角为，当从A处沿坡面行走16米到达P处时，测得楼顶M的仰角刚好为，点N、A、B在同一直线上，则该居民楼的高度为 （结果保留根号）．
16．（2023上·四川德阳·九年级统考期末）如图，函数y＝的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直线y＝m（m为常数）相交于三个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）（x1＜x2＜x3）．设t＝，则t的取值范围是 ．
17．（成都市第七中学2022-2023学年九年级上期末）如图，、、、分别是矩形的边、、、上的点，，，，，若，，则四边形的周长为 ．
18．（2023上·江苏淮安·九年级统考期末）在正方形中，，点P是边上一动点（不与点D、C重合），连接，过点C作，垂足为E，点F在线段上，且满足，连接，则的最小值为 ．
三、解答题（本题共8小题，共66分。其中：19-20题7分，21-24题每题8分，25-26题每题10分，答案写在答题卡上）
19．（安徽省阜阳市2023-2024学年九年级期中）如图，在平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，，．
(1)以点B为位似中心，在点B的下方画出，使与位似且相似比为；
(2)点的坐标为______，点的坐标为______．
20．（2023上·四川成都·九年级校考期中）今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动．赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A，B，C，D四个等级，A：，B：，C：，D：.并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：
(1)请把条形统计图补充完整．(2)扇形统计图中 ， ，B等级所占扇形的圆心角度数为 ．
(3)对甲、乙、丙、丁4名参加知识竞赛学生进行分组作业调查，要求两人一组，求甲和乙恰好分在同一组的概率．（用列表或树状图方法解答）
21．（安徽省皖东南初中四校之宣城市第十二中学2023-2024学年九年级上学期第二次联考数学试题）如图，是的角平分线，延长至点，使得．(1)求证：；(2)若，，，求的长．
22．（2022上·江苏扬州·九年级统考期末）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（在同一条直线上）．请解答下列问题：
(1)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
(2)求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）．
23．（2023春·河南·九年级专题练习）如图①，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图②是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，当喷射出的水流与喷灌架的水平距离为10米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为15米处有一棵高度为米的小树，垂直水平地面且点到水平地面的距离为3米．(1)计算说明水流能否浇灌到小树后面的草地；(2)如果要使水流恰好喷射到小树顶端的点，那么喷射架应向后平移多少米？(3)记水流的高度为，此时的斜坡的高度为，请直接写出求的最大值；
24．（2022上·浙江丽水·九年级期末）如图，已知内接于平分，交于点E，交于点D，连接．(1)求证：；(2)作于点N，G为中点，连接．①若，求的长；②作于点M，连接，若，求的值．
25．（2022上·浙江绍兴·九年级统考期末）已知二次函数的图象经过点，对称轴为直线．(1)求的值．(2)当时，求的最小值．
(3)当时，的最大值为，最小值为，且，求的值．
26．（四川省成都市天府新区2022-2023学年九年级期末）如图1，在中，．点P是线段上的一动点，将沿着折叠，点A落在处．
(1)求点A到直线的距离；(2)如图2，点Q是线段上的一动点，将沿着折叠，使得边折叠后与重合．若，求证：；(3)如图3，连接，过作的平行线，与直线交于点M．当时，求的长．
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