专题 19 锐角三角函数
一．选择题（共 11 小题）
1．（2021 黄州区校级自主招生）已知 ABC 中， ACB 90 ， ABC 15 ，则 tan B (
)
A． 2 3 B．1 3 C． 2 3 D．1 3
2 2sin cos ．（2020 谷城县校级自主招生）已知 tan 2，则 的值为 ( )
sin cos
A．5 B．4 C．3 D．2
3. 1 1（ 浙 江 自 主 招 生 ） 因 为 cos60 ， cos 240 ， 所 以
2 2
cos 240 cos(180 60 ) cos60 ； 由 此 猜 想 、 推 理 知 ： 当 为 锐 角 时 有
cos(180 ) cos ，由此可知： cos 210 ( )
A 1． B 2 3． C． D． 3
2 2 2
4．（2020 浙江自主招生）如图，在 ABC 中． ACB 90 ， ABC 15 ， BC 1，则
AC ( )
A． 2 3 B． 2 3 C．0.3 D． 3 2
5．（ 2020 浙江自主招生）在 ABC 中， C 90 ， B的平分线交 AC 于 D ．则
AB BC
( )
AD
A． sin B B． cos B C． tan B D． cot B
6．（2019 南浔区校级自主招生）以下说法正确的是 ( )
A．存在锐角 ，使得 sin2 cos2 1
B．已知 A为Rt ABC的一个内角，且 A 45 ，则 sin A cos A
C．在Rt ABC中， C 90 ， A， B为Rt ABC的两个内角，则 sin A 不一定等于
cos B
D．存在锐角 ，使得 sin tan
7．（ 2019 巴州区校级自主招生）规定：对任意角 x ， y ，都有 sin2 x cos2 x 1，
sin( x) sin x， cos( x) cos x ， cos(x y) cos xcos y sin xsin y ，现给出下列等式：①
sin( 60 ) 3 6 2 ； ② cos15 ； ③ cos 2x 1 2sin2 x ； ④
2 4
cos(x y) cos xcos y sin xsin y ；⑤ cos xcos y 1 [cos(x y) cos(x y)]，其中，等式成
2
立的个数为 ( )
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
8．（2018 温江区校级自主招生）已知 sin cos 7 ,0 45 ，则 tan ( )
5
A 3． B 4． C 3 4． 或 D 3．
4 3 4 3 5
9．（2017 金牛区校级自主招生）下列说法中，正确的是 ( )
A．在Rt ABC中，锐角 A的两边都扩大 5 倍，则 cos A也扩大 5 倍
B．若 45 90 ，则 sin 1
C． cos30 cos 45 cos(30 45 )
D 5 5．若 为锐角， tan ，则 sin
12 13
10．（2010 凉山州）已知在 ABC 中， C 90 且 ABC 不是等腰直角三角形，设
sin B n ，当 B是最小的内角时， n的取值范围是 ( )
A 0 n 2 3． B． 0 n 1 C． 0 n D． 0 n 3
2 2 3 2
11．（2017 萧山区校级自主招生）如图，在 4 4的正方形网格中， cos ( )
A 1． B．2 C 2 5 5． D．
2 5 5
二．填空题（共 10 小题）
12．（2020 赫山区校级自主招生）若 为锐角，化简 1 2sin sin2 ．
13．（2020 浙江自主招生）已知：实常数 a、 b 、 c 、 d 同时满足下列两个等式：①
asin bcos c 0 ；② a cos bsin d 0 （其中 为任意锐角），则 a、b 、 c 、 d 之
间的关系式是： ．
14．（2019 顺庆区校级自主招生）已知 sin cos ，则锐角 的取值范围是 ．
15．（2019 顺庆区校级自主招生）直角三角形 ABC 中， C 90 且 tan B 2 tan A 1，则
B ．
16．（2017 奉化市自主招生）已知 ABC 的内角满足 | 3 tan A 3 | 2 cos B 1 0 ，则
C 度．
17 ．（ 2018 即 墨 区 自 主 招 生 ） 已 知 三 角 函 数 的 变 换 公 式 ：（ a ）
cos(x y) cos xcos y sin xsin y ，（b） sin( x) sin x，（c） cos( x) cos x ，则下列说法
正确的序号是 ．
① cos( 30 ) 3 ；
2
② cos75 6 2 ；
4
③ cos(x y) cos xcos y sin xsin y ；
④ cos 2x cos2 x sin2 x ．
18．（2017 信丰县自主招生）如图，在边长相同的小正方形网格中，点 A、 B 、C 、 D 都
在这些小正方形的顶点上， AB 与CD相交于点 P ，则 tan APD 的值为 ．
19 ．（ 2017 镇 海 区 校 级 自 主 招 生 ） 已 知 A为 锐 角 且
4sin2 A 4sin Acos A cos2 A 0，则 tan A ．
20．（2010 天津）如图，等边三角形 ABC 中， D 、 E 分别为 AB 、 BC 边上的点， AD BE ，
AE CD F AG CD AG与 交于点 ， 于点G ，则 的值为 ．
AF
21．（2011 浙江校级自主招生）若 A是锐角三角形的一个内角，则在二次根式 2sin A 3
中 A的取值范围是 ．
三．解答题（共 3 小题）
22．（2012 海门市校级自主招生）（1）在Rt ABC中， C 90 ， A的正弦、余弦之间有
什么关系？请给出证明过程．
（2）已知锐角 满足： sin 1 x ， cos 1 2x ，求 tan 的值．
23．（2012 芜湖县校级自主招生）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的
大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比
叫做顶角的正对 (sad ) ．如图，在 ABC 中， AB AC ，顶角 A的正对记作 sadA ，这时 sad
A 底边 BC ．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
腰 AB
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1） sad60 的值为
A 1 3． B ．1 C ． D ．2
2 2
（2）对于 0 A 180 ， A的正对值 sadA 的取值范围是 ．
（3）已知 sin 3 ，其中 为锐角，试求 sad 的值．
5
24．（2006 启东市自主招生）已知，凸 4n 2 边形 A1A2 A4n 2 (n是非零自然数）各内角都
是30 的整数倍，又关于 x 的方程：
x2 2xsin A1 sin A2 0
x2 2xsin A2 sin A3 0均有实根，求这凸 4n 2 边形各内角的度数．
x
2 2xsin A3 sin A1 0
专题 19 锐角三角函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共 11 小题）
1．【解答】解：作 AB 的垂直平分线交 BC 于 D ，连接 DA，
则 DA DB ，
DAB ABC 15 ，
ADC DAB ABC 30 ，
AD 2AC ，
由勾股定理得， DC AD2 AC 2 3AC ，
BC (2 3)AC ，
tan B AC AC则 2 3 ，
BC (2 3)AC
故选：C ．
2 sin ．【解答】解：因为 tan 2，即 2 ，
cos
所以 sin 2cos ，
4cos cos
所以原式 5，
2cos cos
故选： A．
3．【解答】解： cos(180 ) cos ，
cos 210 cos(180 30 ) cos30 3 ．
2
故选：C ．
4．【解答】解：过 A作 AD 交 BC 于 D ，使 BAD 15 ，
ABC 中． ACB 90 ， ABC 15 ，
BAC 75 ，
DAC BAC BAD 75 15 60 ，
ADC 90 DAC 90 60 30 ，
AC 1 AD ，
2
又 ABC BAD 15
BD AD，
BC 1，
AD DC 1，
设CD x，则 AD 1 x ， AC 1 (1 x) ，
2
AD2 AC 2 CD2 (1 1，即 x)2 (1 x)2 x2 ，
4
解得： x 3 2 3 ，
1
AC (4 2 3)
2
2 3
故选： B ．
5．【解答】解：过点 D 作 DE AB于 E ．
则 DE DC ．
可证 BED BCD ，
BE BC ．
AB BC AB BE AE ，
又 A ADE 90 ， A ABC 90 ，
ADE ABC ，
sin ADE AE AB BC
AD AD
sin ABC AB BC ．
AD
故选： A．
6．【解答】解：当 是锐角时， sin2 cos2 1，因此选项 A不符合题意；
当 A 45 ，则90 A A ，因此 sin A sin(90 A)，即 sin A cos A，故选项 B 符合题
意；
因为 A B 90 ，所以 sin A cos B，因此选项C 不符合题意；
因为 tan sin ，而 0 cos 1，所以 tan sin ，因此选项 D 不符合题意；
cos
故选： B ．
7．【解答】解：① sin 60 sin( 60 ) 3 ，故正确；
2
②
cos15 cos(60 45 ) cos60 cos( 45 ) sin 60 sin( 45 ) cos60 cos 45 sin 60 sin 45 1 2 3 2 2 6
2 2 2 2 4
，即 cos15 6 2 是错误的；
4
③ cos 2x cos(x x) cos xcos x sin xsin x cos2 x sin2 x 1 sin2 x sin2 x 1 2sin2 x ，故
正确；
④ cos(x y) cos xcos y sin xsin y ，故正确；
⑤ cos xcos y 1 [cos(x y) cos(x y)]，故正确．
2
综上所述，其中，等式成立的个数为 4 个．
故选：C ．
8．【解答】解：设直角三角形中，锐角 所对的边为 a，邻边为b ，斜边为 c ，
则 sin a b a ， cos ， tan ，
c c b
因为 sin cos 7 a b 7 ，即 ，
5 c c 5
a b 7
所以 ，
c 5
设 c 5k ，则 a b 7k ，由勾股定理可得， a 3k ，b 4k 或 a 4k ，b 3k ，
所以 tan a 3 或 tan a 4 ，
b 4 b 3
故选：C ．
9．【解答】解： A、在Rt ABC中，锐角 A的两边都扩大 5 倍，但它们的比值不变，所以 cos A
值不变，故本选项错误；
B 2、应为若 45 90 ，则 sin 1，故本选项错误；
2
C 、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误；
D 、根据 tan 5 5 设两直角边为 5k 、12k ，根据勾股定理得斜边为13k ，所以 sin ，
12 13
故本选项正确．
故选： D ．
10．【解答】解：根据题意，知
0 B 45 ．
又 sin 45 2 ，
2
0 n 2 ．
2
故选： A．
11．【解答】
解：
BC 1， AB 2 ，
AC 5 ，
cos BC 5 ，
AC 5
故选： D ．
二．填空题（共 10 小题）
12．【解答】解： 为锐角，
0 sin 1，
1 2sin sin2 (1 sin )2 1 sin ．
13．【解答】解：由①得 asin bcos c ，
两边平方， a2 sin2 b2 cos2 2absin cos c2 ③
由②得 a cos bsin d ，
两边平方， a2 cos2 b2 sin2 2absin cos d 2 ④
③ ④得
a2 (sin2 cos2 ) b2 (sin2 cos2 ) c2 d 2
a2 b2 c2 d 2 ．
故答案为： a2 b2 c2 d 2 ．
14．【解答】解：由 sin cos ，得
0 45 ，
故答案为： 0 45 ．
15．【解答】解：在直角三角形 ABC 中， C 90 ，
tan B b a则 ， tan A ，
a b
b 2 a 1，
a b
整理得， 2a2 ab b2 0，
(2a b)(a b) 0，
解得， a b ，
B 45 ，
故答案为： 45 ．
3 tan A 3 016．【解答】解：由题意，得 ，
2 cos B 1 0
解得 A 60 ， B 45 ，
C 180 A B 75 ，
故答案为与：75．
17．【解答】解：① cos( 30 ) cos30 3 ，命题错误；
2
② cos75 cos(30 45 ) cos30 cos 45 sin 30 sin 45 3 2 1 2 6 2 ，命
2 2 2 2 4
题正确；
③ cos(x y) cos xcos( y) sin xsin( y) cos xcos y sin xsin y ，命题正确；
④ cos 2x cos x cos x sin x sin x cos2 x sin2 x，命题正确；
故答案为：②③④．
18．【解答】解：如图 ，连接 BE ，
四边形 BCED 是正方形，
DF CF 1 CD 1， BF BE ，CD BE ， BE CD ，
2 2
BF CF ，
根据题意得： AC / /BD ，
ACP∽ BDP，
DP : CP BD : AC 1: 3，
DP : DF 1: 2 ，
1 1
DP PF CF BF ，
2 2
在Rt PBF tan BPF BF 中， 2 ，
PF
APD BPF ，
tan APD 2．
故答案为：2
19．【解答】解： 由题意得： (2sin A cos A)2 0，
解得： 2sin A cos A 0， 2sin A cos A，
tan A sin A sin A 0.5．
cos A 2sin A
故答案为： 0.5 ．
20．【解答】解：在 CAD与 ABE 中，
AC AB ， CAD ABE 60 ， AD BE ，
CAD ABE ．
ACD BAE ．
BAE CAE 60 ，
ACD CAE 60 ．
AFG ACD CAE 60 ．
在直角 AFG 中，
sin AFG AG ，
AF
AG 3
．
AF 2
21．【解答】解：根据题意得： 2sin A 3 0 ，解得 sin A 3 ．
2
sin 60 3 ， A是锐角三角形的一个内角，在 0 到90 之间正弦值是单调递增的，
2
A的取值范围是 60 A 90 ．
三．解答题（共 3 小题）
22．【解答】解：（1） Rt ABC 中， C 90 ，
a2 b2 c2
sin A a cos A b
c c
2 2 2
sin2 A a b a b c cos2 A ( )2 ( )2 2 2 1c c c c
故 sin2 A cos2 A 1
（2）由 sin2 cos2 1，得 (1 x)2 (1 2x)2 1，
x 1解得 或 x 1（舍 )
5
a 4
tan a c sin 5 4 ．
b b cos 3 3
c 5
23．【解答】解：（1）根据正对定义，
当顶角为 60 时，等腰三角形底角为 60 ，
则三角形为等边三角形，
则 sad60 1 1．
1
故选 B ．
（2）当 A接近 0 时， sad 接近 0，
当 A接近180 时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故 sad 接近 2．
于是 sadA 的取值范围是 0 sadA 2 ．
故答案为 0 sadA 2 ．
（3）如图，在 ABC 中， ACB 90 ， sin 3 A ．
5
在 AB 上取点 D ，使 AD AC ，
作 DH AC ， H 为垂足，令 BC 3k ， AB 5k ，
则 AD AC (5k)2 (3k)2 4k ，
又 在 ADH 中， AHD 90 ， sin A 3 ．
5
DH ADsin A 12 k ， AH AD2 DH 2 16 k ．
5 5
4 10
则在 CDH 中，CH AC 4 AH k ，CD DH 2 CH 2 k ．
5 5
于是在 ACD中， AD AC 4k ，CD 4 10 k ．
5
sadA CD 10 10由正对的定义可得： ，即 sad ．
AD 5 5
24．【解答】解： 各内角只能是30 ， 60 ，90 ，120 ，150 ，
1 3 正弦值只能取 ， ，1，
2 2
1
若 sin A1 ，2
sin A2
1
， sin A 1
2 3
，
2
方程①的判别式△ 1 4(sin
2 A1 sin A2 ) 4(
1 1
) 0，
4 2
方程①无实根，与已知矛盾，
故 sin A 11 ，2
1 1
同理 sin A2 ， sin A ，2 3 2
若 sin A 31 ，则 sin A
3
2 ， sin A
3
2 2 3
，
2
3 3
方程①的判别式△ 4(sin21 A1 sin A2 ) 4 ( ) 0 ，方程①无实根，与已知矛盾，4 2
sin A 3 3 31 ，同理 sin A2 ， sin A2 2 3
，
2
综上， sin A1 1， A1 90 ，
这样，其余 4n 1个内角之和为 4n 180 3 90 720 n 270 ，这些角均不大于150 ，
720 n 270 (4n 1) 150 ，
故 n 1，又 n为正整数，
n 1，即多边形为凸六边形，且 A4 A5 A6 4 180 3 90 450 ，
A4 ， A5 ， A6 150 ，
A4 A5 A6 150 ．
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日期：2021/9/15 11:56:16；用户：欧阳盛世；邮箱：15901707080；学号：27817092
