北师大版九年级数学上册第六章反比例函数单元达标测试卷
一、单选题
1．已知反比例函数 图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．
B． 随 的增大而减小
C．若矩形 面积为2，则
D．若图象上两个点的坐标分别是 ， ，则
2．下面的函数是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， 是 的（ ）.
A．一次函数 B．反比例函数
C．正比例函数 D．既不是正比例函数，也不是反比例函数
4．已知点 在反比例函数 的图象上，则a的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
5．如图，已知点在反比例函数的图象上．由点分别向轴，轴作垂线段，与坐标轴围成的矩形部分面积为8．则的值为（ ）
A．4 B．－8 C．8 D．－4
6．下列各点在反比例函数y＝﹣图象上的是（ ）
A．(1，3) B．(﹣3，﹣1) C．(﹣1，3) D．(3，1)
7．有下列函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ .其中 是 的反比例函数的有（ )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图直线 与双曲线 交于 ， 两点，则 的值（ ）
A．-5 B．-10 C．5 D．10
9．在平面直角坐标系 中，反比例函数 的图象经过点(1,3)，则k的值可以为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图象上，若点A的坐标为（﹣2，﹣3），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣5 C．4 D．1或﹣5
二、填空题
11．在反比例函数y＝ （x＜0）中，函数值y随着x的增大而减小，则m的取值范围是 .
12．如图，若反比例函数与一次函数交于A、B两点，当时，则x的取值范围是 ．
13．如图，直线y=- 与x，y两轴分别交于A，B两点，与反比例函数y= 的图象在第二象限交于点C．过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点D．若AD=AC，则点D的纵坐标为 ．
14．如图，已知在平面直角坐标系中，点P是对角线的中点，反比例函数的图象经过点A，点P．若的面积为30，且y轴将的面积分为，则k的值为 ．
三、解答题
15．已知反比例函数y=（m﹣1），当x＜0时，y随x的增大而减小，求反比例函数的表达式．
16．已知点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）都在反比例函数y＝ 的图象上，求m的值及反比例函数的解析式.
17．如图，正比例函数y=﹣x的图象与反比例函数y=的图象分别交于M，N两点，已知点M（﹣2，m）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）点P为y轴上的一点，当∠MPN为直角时，直接写出点P的坐标．
四、综合题
18．如图，在平面直角坐标系 中，已知反比例函数 的图象经过点为A(-2，m).过点A作AB⊥x轴，且 ABO的面积为2.
（1）k和m的值；
（2）若点C(x，y)也在反比例函数 的图象上，当 时，直接写出函数值y的取值范围.
19．如图所示，已知反比例函数y= 的图象与一次函数y=ax+b的图象交于两点M（4，m）和N（﹣2，﹣8），一次函数y=ax+b与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）求△MON的面积；
（3）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．
20．已知A（-2n，n）、B（n，-4）两点是一次函数 和反比例函数 图象的两个交点.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积；
（3）观察图象，写出不等式 的解集.
21．如图，一次函数y=ax+b与反比例函数 交于点A（1，4）和点B（-2，-2），与y轴交于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点P在y轴上，且△PAB的面积等于 ，求P点的坐标．
22．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于A( 1，m)和B(n， 1)两点．
（1）m= ，n= ；
（2）求出一次函数的解析式，并结合图象直接写出不等式kx+b> 的解集．
23．定义：把能被一条对角线分成两个全等直角三角形的四边形叫做勾股四边形．
（1）矩形 勾股四边形（填“是”或“不是”）．
（2）如图在直角坐标系中，直线y=-x+1与双曲线相交于A，B两点，点在x轴负半轴上，Q为直角坐标平面上一点．
①分别求出A、B两点的坐标．
②当四边形是平行四边形时，如图，请证明是勾股四边形．
（3）在（2）的条件下，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是勾股四边形时，请直接写出Q点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：A.反比例函数的图象位于第二象限，∴k﹤0故A不符合题意；
B. 在第二象限内y随x的增大而增大，故B不符合题意；
C. 矩形 面积为2，∵k﹤0,∴k=-2，故C不符合题意；
D.∵图象上两个点的坐标分别是 ， ，在第二象限内 随 的增大而增大，∴ ，故D符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数的图象的位置确定其比例系数的符号，利用反比例函数的性质进行判断即可．
2．【答案】A
【解析】【解答】解：A、是反比例函数，符合题意；
B、是二次函数，不符合题意；
C、是正比例函数，不符合题意；
D、是一次函数，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y= 或y=kx-1（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，据此进行求解即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵xy-4=0，
∴xy=4，
y=.
∴为反比例函数.
故答案为：B.
【分析】把原函数式变形可得y=(k≠0)的形式，则y是x的反比例函数.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：将点 代入函数 得， ，
故答案为：C.
【分析】把M点坐标代入反比例函数式得出一个关于a的一元一次方程求解即可.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵与坐标轴围成的矩形部分面积为8，
又∵函数图象位于第一象限，
∴k=8，
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数k的几何意义结合题意即可求解。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：k＝xy＝ 3，
A.xy＝1×3≠k，不符合题意；
B.xy＝ 3×（ 1）＝3≠k，不合题意；
C.xy＝ 1×3＝ 3＝k，符合题意；
D.xy＝3×1＝3≠k，不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据反比例函数的解析式可得xy=-3，然后求出各个选项中点的横纵坐标的乘积，据此判断.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：①y=，是反比例函数，符合题意；②y=-，不是反比例函数，不符合题意；
③y=-，是反比例函数，符合题意；④y=，不是反比例函数，不符合题意；
⑤y=，不是y关于x的反比例函数，不符合题意；⑥y=-3，不是y关于x的反比例函数，不符合题意，
∴是y关于x的反比例函数有：①③.
故答案为：B.
【分析】根据反比例函数定义，满足函数关系y=（k≠0）或yx=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0），即为反比函数，据此判断即可.
8．【答案】B
【解析】【解答】∵A（x1，y1），B（x2，y2）双曲线 上的点，
∴x1y1=-2，x2y2=-2，
∵直线y=kx（k＜0）与双曲线 交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴x1=-x2，y1=-y2，
∴x1y2=-x1y1，x2y1=-x2y2，
∴3x1y2-8x2y1=-3x1y1+8x2y2=（-3）×（-2）+8×（-2）=-10．
故答案为：B．
【分析】先根据A（x1，y1），B（x2，y2）双曲线 上的点可知x1y1=-2，x2y2=-2，再根据反比例函数与正比例函数均关与原点对称可知x1=-x2，y1=-y2，故可知x1y2=-x1y1，x2y1=-x2y2，把此关系式代入所求代数式求解即可．
9．【答案】B
【解析】【解答】解：把x=1，y=3代入 中得
，
∴k=3.
故答案为：B.
【分析】把点(1,3)代入 中即可求得k值.
10．【答案】D
【解析】【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF=S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1=6，再解出k的值即可。
【解答】如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线，
∴S△BEO=S△BHO，S△OFD=S△OGD，S△CBD=S△ADB，
∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD=S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD，
∴S四边形CEOF=S四边形HAGO=2×3=6，
∴xy=k2+4k+1=6，
解得，k=1或k=﹣5．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义、矩形的性质、一元二次方程的解法，关键是判断出S四边形CEOF=S四边形HAGO．
11．【答案】m＞1
【解析】【解答】解：∵反比例函数y= （x＜0）中，函数值y随着x的增大而减小，
∴m-1＞0，
∴m＞1，
故答案为：m＞1.
【分析】根据反比例函数的性质可知，当k＞0时，函数值y随着x的增大而减小，所以可得关于m的不等式m-1＞0，解不等式即可求解。
12．【答案】
【解析】【解答】解：观察图象可知，当时，则x的取值范围是，；
故答案是：，．
【分析】根据反比例函数和一次函数的解析式，再结合函数图象求取值范围即可。
13．【答案】
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E.设CE=m.
∵直线y=与x轴的交点A（-3,0），与y轴的交点B（0，-）
∴OA=3，OB=
则AB=
又∵△AEC∽△AOB
∴即∴AE=m， AC=2m
∴AD=AC=2m
∴C（-m-3，m），D（-3，2m）
∴
（-m-3）·m=-3×2m
解得 m1=0 （不符合题意，舍去） ， m2=
∴点D的纵坐标为2。
【分析】先求出直线直线y=与x、y轴的交点A、B的坐标，从而求出△AOB的边长，再利用△AEC∽△AOB用含m的代数式表示出AEC的三边，根据已知条件可表示出点C、D的坐标，然后利用反比例函数图象上的点的坐标特征列出方程，从而求出m的值，继而得解。
14．【答案】4
【解析】【解答】解：设BC与y轴交于点D，连接DP并延长交AO于点E，连接BE并延长，交x轴于点F，过点A作AG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，
∵点P，A在反比例函数图象上，
∴
∵ y轴将的面积分为，
∴点D是BC的中点，BC∥OA，
∵点P是平行四边形ABCO对角线的OB的中点，
∴DP是△COB的中位线，
∴DP∥OC，
∴四边形OEDC是平行四边形，
∴OE=CD=BD，
∴四边形OEBD是平行四边形，
∴BE∥OD，
∴BE⊥x轴，
∴△OPH∽△OBF，
∴，
∴，
∴S△OBF=2k，
∵△OEF∽△OAG，
∴，
∴，
∵，
，
解之：k=4.
故答案为：4
【分析】设BC与y轴交于点D，连接DF并延长，交AO于点E，连接BE并延长，交x轴于点F，过点A作AG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，利用反比例函数的几何意义可表示出△OAG，△OPH的面积，利用已知和平行四边形的性质，可得到DP是△COB的中位线，可推出DP∥OC，可证得四边形CDFO和四边形ODBF是平行四边形，易证△OPH∽△OBF，△OEF∽△OAG，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方分别可以表示出△OBF，△OEF的面积，同时求出△OBE的面积，根据S△OBF=S△OEF+S△OBE，可得到关于k的方程，解方程求出k的值.
15．【答案】解：由反比例函数y=（m﹣1）得．
解得m=2或m=﹣1．
由当x＜0时，y随x的增大而减小，得m=2．
故反比例函数的表达式y=．
【解析】【分析】根据形如y=ax﹣1是反比例函数，可得方程，根据解方程，可得m的值，再根据反比例函数的性质，可得答案．
16．【答案】解：由题意可知，m（m+1）＝（m+3）（m﹣1）.
解得m＝3.
∴A（3，4），B（6，2），
∴k＝4×3＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝ .
【解析】【分析】根据反比例函数图象上各点的横纵坐标的积为定值求出m的值，再求出A点坐标，进而可得出k的值.
17．【答案】解：（1）∵点M（﹣2，m）在正比例函数y=﹣x的图象上，
∴m=﹣×（﹣2）=1，
∴M（﹣2，1），
∵反比例函数y=的图象经过点M（﹣2，1），
∴k=﹣2×1=﹣2．
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
（2）∵正比例函数y=﹣x的图象与反比例函数y=的图象分别交于M，N两点，点M（﹣2，1），
∴N（2，﹣1），
∵点P为y轴上的一点，
∴设P（0，m），
∵∠MPN为直角，
∴△MPN是直角三角形，
∴（0+2）2+（m﹣1）2+（0﹣2）2+（m+1）2=（2+2）2+（﹣1﹣1）2，
解得m=±
∴点P的坐标为（0，）或（0，﹣）．
【解析】【分析】（1）把M（﹣2，m）代入函数式y=﹣x中，求得m的值，从而求得M的坐标，代入y=可求出函数解析式；
（2）根据M的坐标求得N的坐标，设P（0，m），根据勾股定理列出关于m的方程，解方程即可求得m进而求得P的坐标．
18．【答案】（1）解：∵A（ 2，m），
∴OB=2，AB=m，
∴S△AOB= OB AB= ×2×m=2，
∴m=2；
∴点A的坐标为（ 2，2），
把A（-2，2）代入 ，
得k= 2×2= 4；
（2）
【解析】【解答】解：（2）∵反比例函数为 ，
∴当x=1时，y= 4；当x=3时， ，
又∵反比例函数 在x＞0时，y随x的增大而增大，
∴当1≤x≤3时，y的取值范围为 .
【分析】（1）根据点A的坐标得出OB=2，AB=m， 再根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可求出m的值，得出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式，即可求出k的值；
（2）分别求出当x=1和当x=3时y的值，再结合图象即可得出答案.
19．【答案】（1）解：由题意得：﹣8= ，
∴k=16，
∴反比例函数的解析式是y= ；
∵反比例函数过M（4，m），
∴m= =4，
∵一次函数y=ax+b的图象过点M（4，m）和N（﹣2，﹣8），
∴ ，
解得： ，
∴一次函数解析式是y=2x﹣4
（2）解：∵点A在一次函数图象上，
∴当y=0时，x=2，
∴A（2，0），
∴△MON的面积=△AOM的面积+△AOM的面积= ×2×8+ ×2×4=12
（3）解：由图象可知，当x＜﹣2或0＜x＜4时，反比例函数的值大于一次函数的值
【解析】【分析】（1）由点N的坐标求出k的值，即可得出反比例函数的解析式；由反比例函数解析式求出m=4，由待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）由一次函数解析式求出点A（2，0），△MON的面积=△AOM的面积+△AOM的面积，即可得出结果；（3）由图象容易得出结论．
20．【答案】（1）解：由“反比例函数上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积相等”可知：
-2n =-4n，求得n=0(舍去)或n=2，
∴A(-4，2)，B(2，-4)，
∴m=-4×2=-8，故反比例函数的解析式为： ，
将A、B两点代入一次函数 中：
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式为： ，
（2）解： y=-x-2中，令y=0，则x=-2，
即直线y=-x-2与x轴交于点C（-2，0），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=
（3）解： ，变形为： ，
观察图形，即要求一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∴解集为：x＜-4或0＜x＜2
【解析】【分析】（1）由反比例函数的特征“反比例函数上任意一点的横坐标与纵坐标的乘积相等”可得关于n的方程，解方程求得n的值，然后用待定系数法即可求解；
（2）由题意令一次函数中的y=0可求得直线与x轴的交点C的坐标，于是根据S△AOB=S△AOC+S△BOC可求解；
（3）由题意满足直线高于曲线的x的范围即为不等式的解集.
21．【答案】（1）解：把A（1，4）代入 可得k=4，
∴反比例函数的解析式为 ，
把A（1，4）和B（-2，-2）代入y=ax+b，可得 ，解得 ，
∴一次函数的解析式为y=2x+2.
（2）解：令y=2x+2中x=0，则y=2∴C（0，2），设P点的坐标为（0，p），如图，
∵△PAB的面积等于 ， ∴ |m-2| 2+ |m-2| 1= ， ∴|m-2|=3∴m-2=±3，
解得p=5或-1， ∴点P的坐标为（0，5）或（0，-1）
【解析】【分析】（1）利用点A的坐标，可求出反比例函数的解析式，再利用点A、B的坐标求出一次函数解析式。
（2）利用一次函数解析式求出点C的坐标，设P点的坐标为（0，p），根据△PAB的面积= ，建立方程求解，就可得出点P的坐标。
22．【答案】（1）2；2
（2）解：观察图象，不等式kx+b＞-的解集是x＜-1或0＜x＜2．
【解析】【解答】（1）解：把A（-1，m），B（n，-1）分别代入y=-得m=2，-1=-，
解得m=2，n=2；
故答案为：2，2；
(2)解：∵A（-1，2），B（2，-1），
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为y=-x+1，
观察图象，不等式kx+b＞-的解集是x＜-1或0＜x＜2．
【分析】（1）把A（-1，m），B（n，-1）分别代入y=-中，即可求出m、n的值；
（2）观察图象当x＜-1或0＜x＜2时， 一次函数y=kx+b的图象在反比例函数y= 的图象的上方．
23．【答案】（1）是
（2）解：①直线y=-x+1与双曲线相交于A，B两点，
联立，解得：，，
当时，；当时，，
点A在第二象限，点B在第四象限，
点A的坐标为，点B的坐标为；
②证明：，，，
，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
，
四边形是勾股四边形；
（3）解：，或或
【解析】【解答】解：（1）∵矩形能被一条对角线分成两个全等的直角三角形，
∴矩形是勾股四边形.
故答案为：是.
（3）由（2）可知，，，，
设点Q的坐标为，
①如图，当时，
，，
，解得：，
；
②如图，当时，
，，
，解得：，
；
③如图，当时， 设直线与轴交于点C，过点A作轴于点E，作轴，过点Q作于点F，则，
，，
直线，
令，则，解得：，
，
，轴，
，
，，，
是等腰直角三角形，
，
轴，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，解得：，
，
④如图，当时，
，，
，解：，
，
综上所述，平面内还存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形是勾股四边形，Q点的坐标为或或或．
【分析】（1）直接根据勾股四边形的定义以及矩形的性质进行判断；
（2）①联立直线与反比例函数解析式求出x、y的值，可得点A、B的坐标；
②根据点A、B、P的坐标可得AB2、AP2、BP2，利用勾股定理逆定理可知△ABP为直角三角形且∠APB=90°，由平行四边形的性质可得AP=BQ，QP=AB，由平行线的性质可得∠APB=∠QBP=90°，利用HL证明△APB≌△QBP，据此证明；
（3）设Q（x，y），当Rt△ABP≌Rt△QBP时，由AP=QB可得x、y的值，进而可得点Q的坐标；当Rt△ABP≌Rt△BAQ时，同理进行解答；当Rt△ABP≌Rt△ABQ时， 设直线AB与x轴交于点C，过点A作AE⊥x轴于点E，作AF∥x轴，过点Q作QF⊥AF于点F，则F（x，3），求出直线AB的解析式，可得C（1，0），易得△AEC是等腰直角三角形，则∠EAC=∠ACE=45°，由平行线的性质可得∠BAF=∠ACE=45°，则∠EAC=∠BAF，进而推出∠EAP=∠FAQ，利用AAS证明△AEP≌△AFQ，得到AF=AE=3，QF=PE=1，据此可得点Q的坐标；当Rt△ABP≌Rt△PQA时，AB=PQ，据此可得x、y的值，进而可得点Q的坐标.
