镇远县重点中学2019级高三年级期末考试
数学（文科）
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3．本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，集合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．复数（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．若一个圆锥的母线长为，且底面面积为3π，则此圆锥的高为（ ）
A．6 B．3 C． D．
4．如图所示，在一个长为a，宽为b的矩形内画一个梯形，梯形上、下底分别为，高为b．向该矩形内随机投一点，则所投的点落在梯形内部的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．在中秋的促销活动中，某商场对9月14日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知12时到14时的销售额为7万元，则10时到11时的销售额为（ ）
A．1万元 B．2万元 C．3万元 D．4万元
6．已知函数则下列结论正确的是（ ）
A．是周期函数 B．是奇函数
C．的图象关于对称 D．在处取得最大值
7．某三棱锥的三视图如图所示，其主视图和俯视图均为斜边长是4的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C．4 D．2
8．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知变量x，y满足约束条件，若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．设是定义域为R的偶函数，且在上单调递减，则（ ）
A． B．
C． D．
12．设分别为双曲线的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线某条渐近线于M、N两点，且满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则向量与的夹角______．
14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且的外接圆半径为，若，则的周长为______．
15．用系统抽样法从200名职工中抽取容量为20的样本，将200名职工从1至200编号．按编号顺序平均分成20组（1～10号，11～20号，…，191～200号），若第15组中抽出的号码为147，则第一组中按此抽签方法确定的号码是______．
16．设椭圆的一个焦点为，点为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得，则椭圆E的离心率的取值范围是______．
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共60分．
17．（本小题满分12分）
已知等比数列满足，且成等差数列，记．
（1）求数列的通项公式；
（2）若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前2n项和．
18．（本小题满分12分）
某刚开业的大型百货商场进行促销活动，统计得刚开始的五天内的客流量如下表：
天数 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天
客流量（千人） 6.7 7.4 7.9 8.6 9.4
（1）求出日客流量y（千人）关于开业天数之间的线性回归方程；
（2）根据市场经验，在促销活动期间，客流量增长速度遵循（1）中的线性回归方程．经过几天的调研发现，每天约有的人进行了饮食消费，约有的人进行了购物消费，且在购物消费的人中，约有的人进行了饮食消费．若该商场计划将促销活动持续进行20天，试判断能否实现第20天时商场内参与消费的人数超过1.5万人？
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
．
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，M为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若平面ABC，，求点B到平面的距离．
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与该抛物线交于A，B两点，过焦点F且垂直于直线l的直线与抛物线C的准线交于点P．当直线l的斜率为1时，的面积为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求的极值；
（2）已知，且，用函数性质证明：．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系：xOy中，已知倾斜角为α的直线l经过点．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）写出曲线C的直角坐标方程，并指出曲线C的形状；
（2）著直线l与曲线C有两个不同的交点A，B，且，求α的值．
23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数．
（1）解不等式；
（2）当时，证明：．
