苏科版2023年秋季七年级期末模拟卷01
选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．（2023上·江苏苏州·七年级统考期中）下列选项中，运算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·江苏南通·七年级统考期中）若与为同类项，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2023上·江苏·七年级专题练习）一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是( )
A． B． C． D．
4．（2023上·江苏苏州·七年级校考阶段练习）2023杭州亚运会主场馆，位于钱塘江畔，会场由钢结构制成28片大花瓣和27片小花瓣组成，其造型独特，动感飘逸，犹如绽放的“莲花碗”，据统计，主会场内座位数共有80800个座位．数字80800用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①直线与直线是同一条直线；②若，则点是的中点；③两点之间直线最短；④两点确定一条直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023上·江苏镇江·七年级统考期中）一张纸的厚度为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（ ）
A．数学课本的厚度 B．班级中课桌的高度
C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度
7．（2023上·江苏镇江·七年级统考期中）某地铁站共有四个闸机口A、B、C、D、E，假设每个闸机口每5分钟内通过的人数是不变的，现统计出5分钟内某两个闸机口通过的人数如下表，下列结论中正确的个数为（ ）
A、B B、C C、D D、E E、A
18 21 24 22
（1）A闸机口5分钟内通过的人数比C多；
（2）B闸机口5分钟内通过的人数比D少3人；
（3）假设C闸机口每5分钟通过的人数比D多2人，则；
（4）B、E同时开放，则5分钟内通过的人数为19人．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2021上·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期末）在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同 可组成的角的个数是（ ）
A．595 B．406 C．35 D．666
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）在数轴上距离为5个单位长度的数是 ．
10．（2023上·江苏泰州·七年级校考期中）已知a、b 乘积的2倍与a、b 两数的平方和的差，用代数式表示为 ．
11．（2022上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）如图，一个几何体由若干全大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为 ．
12．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．
13．（2023·四川巴中·校考二模）已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，x的值是 ．
14．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需根火柴，…，依此规律，第个图案需 根火柴．
15．（2023上·江苏南京·七年级统考期中）如图是一数值转换机，若输入的值为，则第次输出的结果是 ．
16．（2022上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，在内部，且，是的平分线，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 （写序号）．
三、解答题（11小题，共68分）
17．（2023上·河南焦作·七年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
18．（2023上·宁夏银川·七年级银川唐徕回民中学校考期中）已知，．
(1)求；
(2)求．
19．（2023上·江苏南京·七年级统考期中）解方程：
(1)；
(2)．
20．（2023·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．下图是他制作的一个半成品的平面图：
(1)在中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子；
(2)已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为，求这个长方体盒子的体积．
21．（2023上·江苏泰州·七年级校考期中）已知关于x的方程是一元一次方程．
(1)求k的值；
(2)若已知方程与方程的解相同，求m的值．
22．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周．
(1)两次旋转所形成的几何体都是___________；
(2)若（a是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
m
n
①通过表格中的数据计算：a=___________，m=___________，n=___________；
②当x逐渐增大时，的变化情况：___________；
③当x变化时，请直接写出与的大小关系．
23．（2023上·江苏南京·七年级校考期末）如图，C为线段上一点，点B为的中点，且．
(1)图中共有 条线段？
(2)求的长．
(3)若点E在直线上，且，求的长．
24．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）如图，直线和相交于点O，，平分．
(1)若，求的度数：
(2)若比小，求的度数．
25．（2023上·广西防城港·七年级统考期末）为庆祝元旦活动，某中学组织大合唱比赛，甲、乙两个班级共92人（其中甲班51人以上，不足55人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表为：
购买服装的套数 1套至50套 51套至90套 91套及以上
每套服装的价格 50元 40元 30元
(1)甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款____________元；
(2)如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元，甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出
(3)如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两个班级设计一种最省钱的购买服装方案．
26．（2023上·江苏宿迁·七年级沭阳县怀文中学校考期中）材料一：我们知道，在数轴上，表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地来说，数轴上两个点、，它们表示的数分别是、，那么、两点之间的距离为：．
材料二：若对于有理数，，满足，则我们称是关于，的“友好数”．例如：∵，∴5是关于2和10的“友好数”．
(1)若，则________；
(2)若是关于4，12的“友好数”，则的值可能为下列哪个数________（填序号）：
①1；②；③5；④13
(3)若是关于1，5的“友好数”，则________；
(4)数轴上有两个点、，它们表示的数分别是、，且它们在4的同侧，当4是关于，的“友好数”时，求的值．
27．（2023下·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在处，，，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周停止．设旋转时间为t秒，且．
(1)若射线的位置保持不变，当时，求的度数；
(2)如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由；
(3)在三角板旋转过程的同时，射线绕着点按每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出满足题意的的取值．
苏科版2023年秋季七年级期末模拟卷01
选择题（8小题，每小题2分，共16分）
1．（2023上·江苏苏州·七年级统考期中）下列选项中，运算结果为负数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相反数、绝对值、有理数的乘法等知识，分别计算判断即可．
【详解】解：，，，，
运算结果为负数的是．
故选：A．
2．（2023上·江苏南通·七年级统考期中）若与为同类项，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题主要考查了同类项的定义，解题的关键是根据同类项的定义得出，．
【详解】解：∵与为同类项，
∴，，
∴，故B正确．
故选：B．
3．（2023上·江苏·七年级专题练习）一个正方体的相对的表面上所标的数都是互为相反数的两个数，如图是这个正方体的表面展开图，那么的值是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，每个面上都写有一个数并且相对两个面所写的数互为相反数，求得的值，代入代数式，即可求解．
【详解】解：如图是这个正方体的表面展开图，
与相对，与相对，
∴图中，，
∴
故选：A．
4．（2023上·江苏苏州·七年级校考阶段练习）2023杭州亚运会主场馆，位于钱塘江畔，会场由钢结构制成28片大花瓣和27片小花瓣组成，其造型独特，动感飘逸，犹如绽放的“莲花碗”，据统计，主会场内座位数共有80800个座位．数字80800用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数．
【详解】解：数字80800用科学记数法表示是，
故选：C．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
5．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）下列说法中，正确的个数是（ ）
①直线与直线是同一条直线；②若，则点是的中点；③两点之间直线最短；④两点确定一条直线．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据直线、线段的定义及性质逐项判断即可得到答案．
【详解】解：①在同一图形中，直线与直线是同一条直线，故①说法正确，符合题意；
②若，则点是的中点的说法错误，因为点三点不一定在一条直线上，故②说法错误，不符合题意；
③两点之间线段最短，故③说法错误，不符合题意；
④两点确定一条直线，故④说法正确，符合题意；
综上所述，正确的有①④，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查了直线、线段的问题，熟练掌握直线、线段的定义及性质是解此题的关键．
6．（2023上·江苏镇江·七年级统考期中）一张纸的厚度为，如图，将其对折、压平，称作第1次操作，再将其对折、压平，称作第2次操作…假设这张纸足够大，每一次也能压得足够平整，如此重复，则第10次操作后的厚度最接近于（ ）
A．数学课本的厚度 B．班级中课桌的高度
C．一层楼房的高度 D．一支中性笔的长度
【答案】D
【分析】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．根据图形归纳类推出一般规律，从而可得第10次操作后的厚度，据此即可得．
【详解】解：第1次操作后的厚度为，
第2次操作后的厚度为，
第3次操作后的厚度为，
第4次操作后的厚度为，
归纳类推得：第次操作后的厚度为（其中为正整数），
则第10次操作后的厚度为，
观察四个选项可知，第10次操作后的厚度最接近于一支中性笔的长度，
故选：D．
7．（2023上·江苏镇江·七年级统考期中）某地铁站共有四个闸机口A、B、C、D、E，假设每个闸机口每5分钟内通过的人数是不变的，现统计出5分钟内某两个闸机口通过的人数如下表，下列结论中正确的个数为（ ）
A、B B、C C、D D、E E、A
18 21 24 22
（1）A闸机口5分钟内通过的人数比C多；
（2）B闸机口5分钟内通过的人数比D少3人；
（3）假设C闸机口每5分钟通过的人数比D多2人，则；
（4）B、E同时开放，则5分钟内通过的人数为19人．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了有理数加减法的应用、一元一次方程的应用，理解表格中数据之间的联系是解题关键．根据与两个闸机口通过的人数比较即可得（1）错误；根据与两个闸机口通过的人数即可得（2）正确；设闸机口每5分钟通过的人数为人，则闸机口每5分钟通过的人数为人，建立方程即可得，再分别求出闸机口每5分钟通过的人数，由此建立方程，解方程即可得（3）正确；利用与通过的人数之和减去通过的人数即可得（4）正确．
【详解】解：∵两个闸机口通过的人数为18，两个闸机口通过的人数为21，
∴闸机口5分钟内通过的人数比少，则结论（1）错误；
∵两个闸机口通过的人数为21，两个闸机口通过的人数为21，
∴闸机口5分钟内通过的人数比少（人），则结论（2）正确；
设闸机口每5分钟通过的人数为人，则闸机口每5分钟通过的人数为人，
由题意得：，
解得，
，
闸机口每5分钟通过的人数为（人），闸机口每5分钟通过的人数为（人），
闸机口每5分钟通过的人数为（人），
则，
解得，结论（3）正确；
同时开放，则5分钟内通过的人数为（人），结论（4）正确；
综上，结论中正确的个数为3个，
故选：C．
8．（2021上·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期末）在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同 可组成的角的个数是（ ）
A．595 B．406 C．35 D．666
【答案】B
【分析】设锐角，第1种中间由9条射线，每个小角为，第2种中间由11条射线，每个小角为，第3种中间由14条射线，每个小角为，利用内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同，则，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【详解】设锐角
第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为，
第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为，
第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为，
设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同
则，
先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种, 第2种, ，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种, ,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角．
故选择：B．
【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
9．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）在数轴上距离为5个单位长度的数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查数轴上两点间距离，根据数轴上两点间距离直接求解即可得到答案；
【详解】解：距离为5个单位长度的数是：或，
故答案为：或．
10．（2023上·江苏泰州·七年级校考期中）已知a、b 乘积的2倍与a、b 两数的平方和的差，用代数式表示为 ．
【答案】
【分析】本题考查列代数式，正确的翻译句子，列出代数式即可．
【详解】解：由题意，所列代数式为：；
故答案为：．
11．（2022上·江苏淮安·七年级校考阶段练习）如图，一个几何体由若干全大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为 ．
【答案】6
【分析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图最上面一行四个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案．
【详解】由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：
所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为．
故答案为：1．
【点睛】本题考查已知三视图求最多或最少的小立方块的个数．解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”．
12．（2023·四川乐山·统考中考真题）如图，点O在直线上，是的平分线，若，则的度数为 ．
【答案】/20度
【分析】根据邻补角得出，再由角平分线求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目注意考查邻补角及角平分线的计算，找准各角之间的关系是解题关键．
13．（2023·四川巴中·校考二模）已知a，b，c，d为有理数，现规定一种新的运算，那么当时，x的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查新运算下解一元一次方程，根据新运算法则化简后求解一元一次方程即可．
【详解】解：根据题中的新定义化简得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
故答案为：．
14．（2023上·江苏淮安·七年级统考期中）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需根火柴，…，依此规律，第个图案需 根火柴．
【答案】
【分析】本题考查图形的规律，根据图形发现规律，找到数量与顺序的规律直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
第1个图形需根火柴；
第2个图形需根火柴；
第3个图形需根火柴；
第4个图形需根火柴；
……
观察发现一般规律，第个图形的火柴数量为：，
∴第个图形的火柴数量为：，
故答案为：．
15．（2023上·江苏南京·七年级统考期中）如图是一数值转换机，若输入的值为，则第次输出的结果是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，根据转换机的设置，结合有理数的混合运算法则求出即可，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
第次输出：；
∴，
∴第次输出的结果是：．
故答案为：．
16．（2022上·湖北襄阳·七年级统考期末）如图，在内部，且，是的平分线，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论有 （写序号）．
【答案】①②④
【分析】根据，，得到，进而得到，根据是的平分线，得到，再根据角之间的和差，倍数关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；故①正确；
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，故③错误；
∵，，
∴；故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查几何图形中角度的计算．正确的识图，理清角度之间的和差，倍数关系，是解题的关键．
三、解答题（11小题，共68分）
17．（2023上·河南焦作·七年级统考期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题考查有理数的混合运算．
（1）根据有理数的加减运算法则，进行计算即可；
（2）根据有理数的混合运算法则，进行计算即可；
掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键．
【详解】（1）解：原式；
（2）原式．
18．（2023上·宁夏银川·七年级银川唐徕回民中学校考期中）已知，．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是整式的加减运算，掌握去括号，合并同类项的法则是解本题的关键；
（1）直接列式合并同类项即可；
（2）先列式，再去括号，合并同类项即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴
；
（2）∵，，
∴
；
19．（2023上·江苏南京·七年级统考期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，
（1）先去括号，再移项合并同类项，系数化为1，即可；
（2）先去分母，再去括号，再移项合并同类项，系数化为1，即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
20．（2023·江苏泰州·七年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．下图是他制作的一个半成品的平面图：
(1)在中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子；
(2)已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为，求这个长方体盒子的体积．
【答案】(1)见解析（答案不唯一）
(2)
【分析】（1）根据长方体的展开图补充图形即可求解；
（2）根据题意，设长方体的高为，则宽为，长为，根据长方体所有棱长的和为，列出方程，进而根据体积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：设长方体的高为，则宽为，长为，根据题意得，
解得：，
∴这个长方体的高为，宽为，长为，
∴这个长方体盒子的体积为：
【点睛】本题考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．
21．（2023上·江苏泰州·七年级校考期中）已知关于x的方程是一元一次方程．
(1)求k的值；
(2)若已知方程与方程的解相同，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行解答；
（2）先解方程，再把方程的解代入原方程可得m的值．
本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．
【详解】（1）∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，
∴；
（2）
移项合并同类项得，，
系数化1得，
原方程为：，
把代入得：，
解得，．
22．（2023上·江苏常州·七年级统考期末）如图，长方形的相邻两边的长分别为x、y，将它分别绕相邻两边旋转一周．
(1)两次旋转所形成的几何体都是___________；
(2)若（a是常数），分别记绕长度为x、y的边旋转一周的几何体的体积为、，其中x、、的部分取值如下表所示：
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
m
n
①通过表格中的数据计算：a=___________，m=___________，n=___________；
②当x逐渐增大时，的变化情况：___________；
③当x变化时，请直接写出与的大小关系．
【答案】(1)圆柱
(2)①10，，；②先增大后减小；③当时，；当时，；当时，
【分析】（1）根据圆柱的概念求解即可；
（2）①根据题意和圆柱的体积公式分别求解即可；
②根据题意和圆柱的体积公式填写表格，然后求解即可；
③根据②中的表格求解即可．
【详解】（1）根据题意可得，两次旋转所形成的几何体都是圆柱，
故答案为：圆柱；
（2）①由表格可得，当时，，
∴，解得，
∴，
∴当时，，
∴；
∴当时，，
∴；
故答案为：10，，；
②由圆柱的体积可得，
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9
∴当x逐渐增大时，的变化情况：先增大后减小；
故答案为：先增大后减小；
③由②中的表格可得，
当时，，
当时，，
当时，．
【点睛】此题考查了圆柱的体积公式，代数式求值，解题的关键是熟练掌握圆柱的体积公式．
23．（2023上·江苏南京·七年级校考期末）如图，C为线段上一点，点B为的中点，且．
(1)图中共有 条线段？
(2)求的长．
(3)若点E在直线上，且，求的长．
【答案】(1)6
(2)
(3)或
【分析】（1）根据两点确定一条线段进行求解即可；
（2）先根据线段中点的定义求出，则；
（3）分当点E在线段上时，当点E在线段的延长线上时，两种情况求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，图中的线段有：一共6条，
故答案为：6；
（2）解：∵，点B为的中点，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图1所示，当点E在线段上时，
∵，
∴，
∵，
∴；
解：如图2所示，当点E在线段的延长线上时，
∵，
∴，
∵，
∴；
综上所述，的长为或．
【点睛】本题主要考查了线段的和差计算，与线段中点有关的线段计算，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
24．（2023上·江苏镇江·七年级统考期末）如图，直线和相交于点O，，平分．
(1)若，求的度数：
(2)若比小，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直的定义得，根据对顶角和角平分线定义求出，即可求解．
（2）设，则，，根据角关系，建立等量关系，即可求解．
【详解】（1）解：，
．
，
．
平分，
．
．
（2）设，
平分，
．
比小，
，
，
，
，即，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了垂直定义，角平分线的定义，角之间的和差关系，数形结合是解答本题的关键．
25．（2023上·广西防城港·七年级统考期末）为庆祝元旦活动，某中学组织大合唱比赛，甲、乙两个班级共92人（其中甲班51人以上，不足55人）准备统一购买服装参加演出，下面是某服装厂给出的演出服装的价格表为：
购买服装的套数 1套至50套 51套至90套 91套及以上
每套服装的价格 50元 40元 30元
(1)甲、乙两个班级共92人合起来统一购买服装共需付款____________元；
(2)如果两个班级分别单独购买服装一共应付4080元，甲、乙两个班级各有多少学生准备参加演出
(3)如果甲班有8名同学抽调去参加书法绘画比赛不能参加演出，请你为两个班级设计一种最省钱的购买服装方案．
【答案】(1)2760元
(2)甲班级有52名学生准备参加演出，乙班级有40名学生准备参加演出
(3)甲乙两班联合购买91套演出服装比其他购买方案更省钱
【分析】（1）甲、乙两个班级合起来统一购买，总套数超过91套，再结合价格方案即可解答；
（2）设甲班有x名学生准备参加演出，共需要元，可列方程，解方程求出x的值及代数式的值即可解答；
（3）有三种方案，一是两班级单独购买，二是两班联合按准备参加演出的学生数购买，三是两班联合购买91套服装，计算出按每种方案购买分别需要多少钱，再比较三个计算结果的大小，即可得到题意的答案．
【详解】（1）解：（元），
∴甲、乙两个班级合起来统一购买服装共需付款2760元．
故答案为：2760．
（2）解：设甲班有x名学生准备参加演出，
∵甲、乙两个班级共92人，其中甲班51人以上，不足55人，
∴乙班少于50人，
根据题意得，解得，
∴（名）．
答：甲、乙两个班级分别有52名学生和40名学生准备参加演出．
（3）解：两班联合购买91套服装的费用：（元）
两班联合购买84套服装的费用：（元）
甲、乙单独购买的总费用：（元）
∵2730元＜3360元＜4200元，
∴甲、乙两班联合购买91套演出服装比最省钱．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识点，正确地用代数式表示甲、乙两班单独购买时所需要的总钱数及两班联合购买时所需要的总钱数是解题的关键．
26．（2023上·江苏宿迁·七年级沭阳县怀文中学校考期中）材料一：我们知道，在数轴上，表示数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地来说，数轴上两个点、，它们表示的数分别是、，那么、两点之间的距离为：．
材料二：若对于有理数，，满足，则我们称是关于，的“友好数”．例如：∵，∴5是关于2和10的“友好数”．
(1)若，则________；
(2)若是关于4，12的“友好数”，则的值可能为下列哪个数________（填序号）：
①1；②；③5；④13
(3)若是关于1，5的“友好数”，则________；
(4)数轴上有两个点、，它们表示的数分别是、，且它们在4的同侧，当4是关于，的“友好数”时，求的值．
【答案】(1)
(2)③
(3)或7；
(4)或16
【分析】本题考查绝对值的意义以及对数轴上两点间的距离的理解，理解题意是解决问题的关键．
（1）由表示到3和的距离相等，是3和的中点，解方程即可；
（2）若是关于4，12的“友好数”，则，是在4和12之间（包括4和12）的位置，即可求解；
（3）若是关于1，5的“友好数”，，当时、当时、分类讨论化简即可；
（4）分两种情况：当、都在4左侧和都在右侧，化简即可求结论．
【详解】（1）由表示到3和的距离相等，
∴是3和的中点，
解得：，
故答案为：；
（2）若是关于4，12的“友好数”，
，
∴是在4和12之间（包括4和12）的位置，
则的值可能为③；
（3）若是关于1，5的“友好数”，
，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，不符合题意，
综上所述：或7时，是关于关于1，5的“友好数”，
（4）当4是关于，的“友好数”时，
则
分两种情况：
当、都在4左侧，即，
，
解得：；
当、都在4右侧，即，
解得：，
或16．
27．（2023下·江苏盐城·七年级景山中学校考阶段练习）如图1，直线上有一点，过点在直线上方作射线，将一直角三角板的直角顶点放在处，，，一条直角边在射线上，另一边在直线上方，将直角三角板绕着点按每秒的速度逆时针旋转一周停止．设旋转时间为t秒，且．
(1)若射线的位置保持不变，当时，求的度数；
(2)如图2，在旋转的过程中，若射线的位置保持不变，是否存在某个时刻，使得射线与中的某一条射线是另两条射线所成夹角的平分线？若存在，求出所有满足题意的t的取值，若不存在，请说明理由；
(3)在三角板旋转过程的同时，射线绕着点按每秒的速度逆时针旋转，当时，请直接写出满足题意的的取值．
【答案】(1)
(2)存在，的取值为或或
(3)或或
【分析】（1）当时，根据即可求解；
（2）分①平分；②若平分；③若平分，三种情况进行讨论计算即可；
（3）首先根据题意得到当与重合时，与重合时，与重合时的时间，之后再根据讨论即可．
【详解】（1）解：当时
∵
∴
∴
（2）①当平分时，如图，
，
∵平分，
∴，
∴，
解得：；
②当平分时，如图，
∵平分，
∴，
∴，
解得：；
③当平分时，如图，
∵平分，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，满足题意的的取值为或或．
（3）解：由题意得：与重合时，，解得：，
与重合时，，解得：，
与重合时： ，解得：，
当时，，
解得：（舍）；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
综上所述：或或．
【点睛】本题主要考查角平分线的定义，余角与补角，解一元一次方程，解答的关键是对所求的直线位置进行讨论，并结合图形分析清楚角之间的关系．
