2023-2024学年上学期七年级数学期末模拟试题一
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分,共40分)
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，7cm B．3cm，3cm，7cm
C．4cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，9cm
3．的算术平方根是（ ）
A．±6 B．6 C． D．
4．点P（a﹣2，a+1）在x轴上，则a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．﹣1
5．如图，数轴上点A与点B分别对应实数a，b，下列四个等式中正确的个数是（ ）
①（）2＝a；②＝a；③＝﹣b；④＝a+b．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
7．直线l1：y＝kx﹣b和l2：y＝﹣2kx+b在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
8．某旅游景区内有一块三角形绿地ABC（AC≠BC），现要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，下列作法正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则AB的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
9. 10.
10．在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边△OAB，已知A（2，0），若正比例函数y＝kx的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．2
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请填在答题卡上）
11．若与的小数部分分别为a，b，则a+b＝ ．
12．如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则线段EF的长为 ．
13．某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 分钟时，两仓库快递件数相同．
14．如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为 m2．
13. 14. 15.
15．棱长分别为5cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P＝E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ．
16．在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 ．
三、解答题（本大共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．计算：
（1）（）2++； （2）（﹣2）3×﹣×（﹣）．
18．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求7a﹣2b﹣2c的平方根．
19．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上．
（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．
（2）若BD＝1，CD＝3，求AD的长．
20．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上．
（1）计算线段AB的长度 ；
（2）判断△ABC的形状 ；
（3）写出△ABC的面积 ；
（4）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．
21．东营市某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形ABCD是规划好的“试验田”，经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．求四边形ABCD的面积．
22．小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于﹣1，所以﹣1没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么（±i）2＝﹣1，因此﹣1就有两个平方根i和﹣i．进一步，小明想：因为（±2i）2＝﹣4，所以﹣4的平方根是±2i；因为（±3i）2＝﹣9，所以﹣9的平方根就是±3i．
请你根据上面的信息解答下列问题：
（1）求﹣25的平方根；
（2）i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，i8＝1，…，你发现了什么规律？请用你发现的规律求i2022的值；
（3）求i+i2+i3+i4+…+i2022的值．
23．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，）为“好点”．
（1）判断点A（，﹣），B（4，10）是否为“好点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“好点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
24．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题；
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式．
（2）求出B点坐标．
（3）洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？
25．如图，直线与直线l2：y＝﹣与y轴相交于点A，直线l2与y轴相交于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）P为x轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
26．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标.
2023-2024学年上学期七年级数学期末模拟试题一
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项的代码涂写在答题卡上，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记0分,共40分)
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，7cm B．3cm，3cm，7cm
C．4cm，4cm，8cm D．4cm，5cm，9cm
【分析】直接利用三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，进而判断得出答案．
【解答】解：A．∵3+5＝8＞7，
∴能组成三角形，符合题意；
B．∵3+3＜7，
∴不能组成三角形，不符合题意；
C．∵4+4＝8，
∴不能组成三角形，不符合题意；
D．∵4+5＝9，
∴不能组成三角形，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
3．的算术平方根是（ ）
A．±6 B．6 C． D．
【分析】先求出36的算术平方根＝6，然后再求6的算术平方根即可．
【解答】解：∵＝6，
∴6的算术平方根为．
故选：D．
【点评】本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根．
4．点P（a﹣2，a+1）在x轴上，则a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．﹣1
【分析】根据x轴上的点纵坐标为零可得a+1＝0，再解即可．
【解答】解：∵点P（a﹣2，a+1）在x轴上，
∴a+1＝0，
解得：a＝﹣1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握坐标轴上点的坐标特点．
5．如图，数轴上点A与点B分别对应实数a，b，下列四个等式中正确的个数是（ ）
①（）2＝a；②＝a；③＝﹣b；④＝a+b．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由数轴可知，﹣1＜b＜0＜1＜a，根据（）2＝a，②＝|a|，再对每一个小题进行判断即可．
【解答】解：由数轴可知，﹣1＜b＜0＜1＜a，
∴①（）2＝a，故①符合题意；
②＝a，故②符合题意；
③＝﹣b，故③符合题意；
④∵﹣1＜b＜0＜1＜a，
∴a+b＞0，
∴＝a+b，故④符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查实数与数轴，二次根式的化简，熟练掌握数轴上点的特征，（）2＝a，②＝|a|是解题的关键．
6．若一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k、b的取值范围是（ ）
A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【分析】根据一次函数图象和性质进行判断即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0．
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＜0，b＞0 y＝kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．
7．直线l1：y＝kx﹣b和l2：y＝﹣2kx+b在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先看一条直线，得出k和b的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案．
【解答】解：A、直线l1：y＝kx﹣b中k＞0，b＜0，l2：y＝﹣2kx+b中k＞0，b＞0，b的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
B、直线l1：y＝kx﹣b中k＞0，b＜0，l2：y＝﹣2kx+b中k＜0，b＜0，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
C、直线l1：y＝kx﹣b中k＞0，b＜0，l2：y＝﹣2kx+b中k＜0，b＜0，k的取值相矛盾，故本选项不符合题意；
D、直线l1：y＝kx﹣b中k＞0，b＜0，l2：y＝﹣2kx+b中k＞0，b＜0，k、b的取值一致，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了一次函数图象与k和b符号的关系，关键是掌握当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．
8．某旅游景区内有一块三角形绿地ABC（AC≠BC），现要在道路AB边上建一个休息点M，使它到AC和BC两边的距离相等，下列作法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据到AC和BC两边的距离相等的点在∠ACB的角平分线上，判断即可．
【解答】解：到AC和BC两边的距离相等的点在∠ACB的角平分线上．
故选：B．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
9．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点D从点A出发，沿A→C→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则AB的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
【分析】根据题意可得，△ADE的最大面积是6（cm2），此时点D与点C重合，根据三角形ADE的面积即可求出DE＝2，再根据30度特殊角即可求出AB的长．
【解答】解：根据题意可知：
△ADE的最大面积是6（cm2），
此时点D与点C重合，
如图，
在Rt△ADE中，∠A＝30°，
设DE＝x，则AE＝x，
∴S△ADE＝AE DE
＝×x x
＝x2，
∴x2＝6，
解得x＝2（负值舍去），
∴DE＝2，
∴AD＝AC＝2DE＝4，
在Rt△ABC中，∠A＝30°，
∴cos30°＝＝，
∴＝，
∴AB＝8cm．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
10．在平面直角坐标系中，放置如图所示的等边△OAB，已知A（2，0），若正比例函数y＝kx的图象经过点B，则k的值为（ ）
A．﹣ B． C． D．2
【分析】过点B作BC⊥x轴于点C，利用等边三角形的性质，可求出OC，BC的长，进而可得出点B的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出k值．
【解答】解：过点B作BC⊥x轴于点C，如图所示.
∵点A的坐标为（2，0），
∴OA＝2，
又∵△OAB为等边三角形，
∴OC＝OA＝×2＝1，BC＝OA＝×2＝，
∴点B的坐标为（1，）．
∵正比例函数y＝kx的图象经过点B，
∴＝1×k，
解得：k＝，
∴k的值为．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用等边三角形的性质，找出点B的坐标是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分。请填在答题卡上）
11．若与的小数部分分别为a，b，则a+b＝ 1 ．
【分析】先估算出的大小，再用含的式子表示出a，b，然后代入计算即可．
【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小、代数式求值以及二次根式的加减运算，求得a，b的值是解题的关键．
12．如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，作直线MN，分别交AC，AB于点E，F，则线段EF的长为 ．
【分析】根据作图知：BD＝BC＝3，EF垂直平分AD，再利用三角形相似求解．
【解答】解：由作图得：BD＝BC＝3，EF垂直平分AD，
∵BC＝3，AC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝5，
∴AD＝2，
∴AF＝1，
∵∠A＝∠A，∠ACB＝∠AFE＝90°，
∴△ABC∽△AEF，
∴＝，
即：＝，
解得：EF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了基本作图，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
13．某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过 20 分钟时，两仓库快递件数相同．
【分析】分别求出甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式，求出两条直线的交点坐标即可．
【解答】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，
∴y1＝6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，
∴y2＝﹣4x+240，
联立，
解得，
∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同．
故答案为：20
【点评】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法求解析式；（2）解决该类问题应结合图形，理解图形中点的坐标代表的意义．
14．如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为 240 m2．
【分析】过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，由平分线的性质证得DE＝DF，由三角形的面积公式求出DF，再由三角形的面积公式即可求出△ACD的面积．
【解答】解：过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝40m，△ABD的面积为320m2，
∵DE＝DF＝＝16（m），
∴△ACD的面积＝AC DF＝×30×16＝240（m2），
故答案为：240．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，根据角平分线的性质证得DE＝DF是解决问题的关键．
15．棱长分别为5cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P＝E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 4cm ．
【分析】求出两种展开图PA的值，比较即可判断；
【解答】解：如图，有两种展开方法：
方法一：PA＝＝4cm，
方法二：PA＝＝3cm．
故需要爬行的最短距离是4cm．
故答案为：4cm．
【点评】本题考查平面展开﹣最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
16．在平面直角坐标系xOy中，点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是 （﹣5，﹣1） ．
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得出答案．
【解答】解：∵关于y轴对称，
∴横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴点P（5，﹣1）关于y轴对称的点的坐标是（﹣5，﹣1）．
故答案为：（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查了关于x轴，y轴对称的点的坐标，掌握关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．
三、解答题（本大共10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17．计算：
（1）（）2++；
（2）（﹣2）3×﹣×（﹣）．
【分析】（1）原式利用平方根及立方根定义计算即可求出值；
（2）原式利用乘方的意义，算术平方根及立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝5+3+（﹣2）
＝8﹣2
＝6；
（2）原式＝（﹣8）×﹣3×（﹣）
＝（﹣1）﹣（﹣1）
＝﹣1+1
＝0．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．已知2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求7a﹣2b﹣2c的平方根．
【分析】根据算术平方根，立方根的意义可得2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8，从而可得a＝5，b＝2，然后再估算出的值的范围，从而求出c的值，最后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵2a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣9的立方根是2，
∴2a﹣1＝9，3a+b﹣9＝8，
解得：a＝5，b＝2，
∵9＜13＜16，
∴3＜＜4，
∴的整数部分是3，
∴c＝3，
∴7a﹣2b﹣2c＝7×5﹣2×2﹣2×3
＝35﹣4﹣6
＝25，
∴7a﹣2b﹣2c的平方根是±5．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，立方根，熟练掌握估算无理数的大小，以及平方根与立方根的意义是解题的关键．
19．如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，CD＝CE，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上．
（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．
（2）若BD＝1，CD＝3，求AD的长．
【分析】（1）根据SAS可证明△ACE≌△BCD；
（2）由全等三角形的性质得到BD＝AE，△ADE是直角三角形；由勾股定理可知AD2+AE2＝DE2，则可求出答案．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠CBD＝∠CAE＝45°，
又∵∠CAB＝45°，
∴∠DAE＝∠CAB+∠CAE＝90°．
在Rt△ADE中，由勾股定理可知AD2+AE2＝DE2，
在Rt△CDE中，ED2＝DC2+EC2＝2DC2，
∴AD＝＝＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明△ACE≌△BCD是解题的关键．
20．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C均落在格点上．
（1）计算线段AB的长度 ；
（2）判断△ABC的形状 等腰直角三角形 ；
（3）写出△ABC的面积 5 ；
（4）画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．
【分析】（1）根据勾股定理即可求出AB的长度；
（2）根据网格即可判断△ABC的形状；
（3）结合（2）即可求出△ABC的面积；
（4）根据轴对称的性质即可画出△ABC关于直线l的轴对称图形△A1B1C1．
【解答】解：（1）AB＝＝，
故答案为：；
（2）根据网格可知：AB＝AC＝，∠BAC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形；
故答案为：等腰直角三角形；
（3）△ABC的面积＝×＝5，
故答案为：5；
（4）如图，△A1B1C1即为所求．
【点评】本题考查了轴对称变换，勾股定理，勾股定理的逆定理，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
21．东营市某中学在校园一角开辟了一块四边形的“试验田”，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形ABCD是规划好的“试验田”，经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC＝7m，CD＝15m，AD＝20m．求四边形ABCD的面积．
【分析】连接AC，利用勾股定理判断△ADC为直角三角形，利用分割法，分为△ABC和△ADC，求四边形面积，
【解答】解：连接AC，如图，
在Rt△ABC中，AB＝24m，BC＝7m，
∴AC＝＝25（m），
在△ADC中，CD＝15m，AD＝20m．AC＝25m，
∵CD2+AD2＝152+202＝252＝AC2，
∴△ADC为直角三角形，∠D＝90°．
∴S△ADC＝×AD×DC＝×20×15＝150（m2），
∵S△ABC＝×AB×BC＝×24×7＝84（m2），
∴S四边形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝150+84＝234（m2），
答：四边形ABCD的面积234m2．
【点评】本题主要考查利用勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形或者能够根据是否满足勾股定理判断三角形是否为直角三角形．
22．小明是一位善于思考．勇于创新的同学．在学习了有关平方根的知识后，小明知道负数没有平方根．比如：因为没有一个数的平方等于﹣1，所以﹣1没有平方根．有一天，小明想：如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么（±i）2＝﹣1，因此﹣1就有两个平方根i和﹣i．进一步，小明想：因为（±2i）2＝﹣4，所以﹣4的平方根是±2i；因为（±3i）2＝﹣9，所以﹣9的平方根就是±3i．
请你根据上面的信息解答下列问题：
（1）求﹣25的平方根；
（2）i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，i8＝1，…，你发现了什么规律？请用你发现的规律求i2022的值；
（3）求i+i2+i3+i4+…+i2022的值．
【分析】（1）根据题中的新定义，利用平方根定义计算即可；
（2）归纳总结，确定出所求式子的值即可；
（3）原式四项四项结合，计算即可得到结果．
【解答】解：（1）∵（±5i）2＝﹣25，
∴﹣25的平方根是±5i；
（2）∵i2＝﹣1，i3＝﹣i，i4＝1，i5＝i，i6＝﹣1，i7＝﹣i，i8＝1，…，
∴从1开始，结果以i，﹣1，﹣i，1循环，
∵2022÷4＝505…2，
∴i2022＝﹣1；
（3）原式＝（i+i2+i3+i4）+…+（i2017+i2018+i2019+i2020）+（i2021+i2022）
＝（i﹣1﹣i+1）+（i﹣1﹣i+1）+…+（i﹣1﹣i+1）+（﹣1﹣i）
＝﹣1+i．
【点评】此题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
23．已知当m，n都是实数，且满足2m＝8+n时，称p（m﹣1，）为“好点”．
（1）判断点A（，﹣），B（4，10）是否为“好点”，并说明理由；
（2）若点M（a，2a﹣1）是“好点”，请判断点M在第几象限？并说明理由．
【分析】（1）根据A、B点坐标，代入（m﹣1，）中，求出m和n的值，然后代入2m＝8+n检验等号是否成立即可；
（2）直接利用“好点”的定义得出a的值进而得出答案．
【解答】解：（1）点A（，﹣）为“好点”，理由如下：
当A（，﹣）时，m﹣1＝，＝﹣，得m＝，n＝﹣3，
则2m＝5，8+n＝5，
所以2m＝8+n，
所以A（，﹣）是“好点”；
点B（4，10）不是“好点”，理由如下：
当B（4，10）时，m﹣1＝4，＝10，得m＝5，n＝18，
则2m＝10，8+18＝26，
所以2m≠8+n，
所以点B（4，10）不是“好点”；
（2）点M在第三象限，理由如下：
∵点M（a，2a﹣1）是“好点”，
∴m﹣1＝a，＝2a﹣1，
∴m＝a+1，n＝4a﹣4，
代入2m＝8+n得2a+2＝8+4a﹣4，
∴a＝﹣1，2a﹣1＝﹣3，
∴M（﹣1，﹣3），
所以点M在第三象限．
【点评】此题主要考查了点的坐标，正确掌握“好点”的定义是解题关键．
24．随着春节临近，某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为x时，所需费用为y元，且y与x的函数关系如图所示．根据图中信息，解答下列问题；
（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式．
（2）求出B点坐标．
（3）洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，请问选择哪种消费卡划算？
【分析】（1）运用待定系数法，即可求出y与x之间的函数表达式；
（2）根据（1）的结论联立方程组解答即可；
（3）把y＝240分别代入（1）的结论即可解答．
【解答】解：（1）设y甲＝k1x，
根据题意得5k1＝100，解得k1＝20，
∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x+100，
根据题意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，
∴y乙＝10x+100；
（2）解方程组，得，
∴B点坐标为（10，200）；
（3）甲：20x＝240，解得x＝12，即甲种消费卡可玩12次；
乙：10x+100＝240，解得x＝14，即乙种消费卡可玩14次；
14＞12，
∴洋洋爸爸准备240元钱用于洋洋在该游乐场消费，选择乙种消费卡划算．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标，正确由图象得出正确信息是解题关键，属于中考常考题型．
25．如图，直线与直线l2：y＝﹣与y轴相交于点A，直线l2与y轴相交于点B．
（1）求点A的坐标；
（2）P为x轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
（2）作点B关于x轴对称点B'，连接AB′交x轴于P，则此时PA+PB的值最小，求得直线AB′的解析式，当 y＝0时，求得x的值，于是得到结论．
【解答】解：（1）由，解得，
∴A（﹣4，3）；
（2）∵直线l2：y＝﹣与y轴相交于点B，
∴x＝0时，y＝1，即B（0，1），
作点B关于x轴对称点B'（0，﹣1），连接AB′交x轴于P，则此时PA+PB的值最小，
设直线AB′：y＝kx﹣1，
代入A（﹣4，3）得，3＝﹣4k﹣1，解得k＝﹣1，
∴直线AB′：y＝﹣x﹣1，
当y＝0时，x＝﹣1，
∴当PA+PB的值最小时，点P坐标为（﹣1，0）．
【点评】本题是两直线相交或平行问题，考查了两直线交点的求法，待定系数法求得一次函数的解析式，轴对称﹣最短路线问题，求得交点坐标是解题的关键．
26．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标.
【分析】（1）证∠DAC＝∠ECB，再由AAS证△ADC≌△CEB即可；
（2）证△ADC≌△CEB（AAS），得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题；
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，证△AEC≌△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），
即BE的长为0.8cm；
（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，
则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∵A（﹣1，0），C（1，3），
∴EG＝OA＝1，CG＝1，FH＝AE＝OG＝3，
∴CE＝EG+CG＝2，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，
∴FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，
∴B点坐标为（4，1）．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
