佛山市2023-2024年普通高中教育教学质量检测模拟（二）
高三数学
2023.12
本试卷共5页，总分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卡相应位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.考生务必保持答题卷的整洁，考试结束后，将答题卷交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数为虚数单位，则（ ）
A.1 B. C.3 D.4
2.已知，若集合，则的值为（ ）
A.-2 B.-1 C.1 D.2
3.已知点，点在所在平面内，且满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.已知函数，则的增区间为（ ）
A. B. C. D.
5.在西双版纳热带植物园中有一种原产于南美热带雨林的时钟花，其花开花谢非常有规律.有研究表明，时钟花开花规律与温度密切相关，时钟花开花所需要的温度为，但当气温上升到时，时钟花基本都会调谢.在花期内，时钟花每天开闭一次.已知某景区有时钟花观花区，且该景区6时~14时的气温（单位：）与时间（单位：小时）近似满足函数关系式，则在6时14时中，观的最时约为（ ）（参考数据：）
A.6.7时~11.6时 B.6.7时~12.2时 C.8.7时~11.6时 D.8.7时~12.2时
6.已知平面，直线，若且，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.如图，分别是椭圆的左 右顶点，点在以为直径的圆上（点异于两点），线段与椭圆交于另一点，若直线的斜率是直线的斜率的4倍，则椭圆的离心率为（ ）
8.
A. B. C. D.
9.已知非常数列满足，若，则（ ）
A.存在，对任意，都有为等比数列
B.存在，对任意，都有为等差数列
C.存在，对任意，都有为等差数列
D.存在，对任意，都有为等比数列
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.若甲组样本数据（数据各不相同）的平均数为3，乙组样本数据的平均数为5，下列说错误的是（ ）
A.的值不确定
B.乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的2倍
C.两组样本数据的极差可能相等
D.两组样本数据的中位数可能相等
10.已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则（ ）
A. B.
C. D.
11.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2，在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若，则给出的说法中正确的是（ ）
12.
A.该几何体的表面积为
B.该几何体的体积为4
C.二面角的余弦值为
D.若点在线段上移动，则的最小值为
12.已知当时，，则（ ）
A. B.
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.杭州亚运会举办在即，主办方开始对志愿者进行分配.已知射箭场馆共需要6名志愿者，其中3名会说韩语，3名会说日语.目前可供选择的志愿者中有4人只会韩语，5人只会日语，另外还有1人既会韩语又会日语，则不同的选人方案共有__________种.（用数字作答）
14.若函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若对满足的，有的最小值为，则__________.
15.已知双曲线的右焦点为，离心率为，点是双曲线右支上的一点，为坐标原点，延长交双曲线于另一点，且，延长交双曲线于另一点，则__________.
16.如图，在中，，点是边（端点除外）上的一动点.若将沿直线翻折，能使点在平面内的射影落在的内部（不包含边界），且.设，则的取值范围是__________.
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本题满分10分）
在中，角所对的边分别为.已知.
（1）求的值；
（2）若，求的周长的最大值.
18.（本题满分12分）
如图，已知直圆柱的上 下底面圆心分别为是圆柱的轴截面，正方形内接于下底面圆，点是中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）若点为线段上的动点，求直线与平面所成角的余弦值的最小值.
19.（本题满分12分）
为了保障学生的饮食安全和健康，学校对饭堂硬件和菜品均进行了改造升级，改造升级后的饭堂菜品受到了很多学生的欢迎，因此在学校饭堂就餐成为了很多学生的就餐选择.现将一周内在饭堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢饭堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢饭堂就餐”.学校为了解学生饭堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下：
性别 饭堂就餐 合计
喜欢饭堂就餐 不喜欢饭堂就餐
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
（1）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢饭堂就餐是否与性别有关.
（2）该校小林同学逢星期三和星期五都在学校饭堂就餐，且星期三会从①号 ②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期三选择了①号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为0.8；若星期三选择了②号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为，求小林同学星期五选择②号套餐的概率.
（3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢饭堂就餐”的人数为，事件“”的概率为，求使取得最大值时的值.
参考公式：，其中.
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
20.（本题满分12分）
已知抛物线为其焦点，三点都在抛物线上，且，直线的斜率分别为.
（1）求抛物线的方程，并证明；
（2）已知，且三点共线，若且，求直线的方程.
21.（本题满分12分）
记数列的前项和为，且满足.
（1）求数列的通项公式
（2）数列满足，证明对任意
（3）某铁道线上共有84列列车运行，且每次乘坐到任意一列列车的概率相等，设随机变量为恰好乘坐一次全部列车所乘坐的次数，试估算的值（结果保留整数）
参考数据：
22.（本题满分12分）
已知函数.
（1）若存在极值，求的取值范围；
（2）若，已知方程有两个不同的实根，证明：.（其中2.71828是自然对数的底数）
