乌鲁木齐市天山区三校联考 2023-2024学年
高三上学期12月月考 数学试题
总分150分 考试时间120分钟
一、单项选择题（8小题每题5分共40分）
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则的虚部为（ ）
A．2 B．2 C． D．-2
3．等边的边长为3，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
A． B． C． D．
5．若椭圆经过原点，且焦点分别为则其离心率为
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．“数列和数列极限都存在”是“数列和数列极限都存在”的（ ）条件
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．非充分非必要
8．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中提出了一种求三角形面积的方法——三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．也就是说，在中，分别为内角的对边，那么的面积，若，且，则面积的最大值为（ ）
A． B． C．6 D．
二、多选题（共4小题每题五分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．新冠肺炎疫情防控期间，进出小区、超市、学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）
甲同学体温的极差为0.4℃
乙同学体温的众数为36.4℃，中位数与平均数不相等
乙同学的体温比甲同学的体温稳定
甲同学体温的第80百分位数为36.5℃
10．若，，则下列选项正确的有（ ）．
A． B． C． D．
11．下列说法中正确的是（ ）
A．全称量词命题“，”的否定是“，”
B．若函数在其定义域内的最大值为2，最小值为0，则的值域是
C．定义在上的函数的图象与y轴有且只有一个交点
D．若是奇函数，则
12．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示的六面体，则下列说法正确的是（ ）
A．六面体的体积为
B．若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为
C．折后棱，所在直线异面且垂直
D．折后棱，所在直线相交
三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
13．用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个.（用数字作答）
14．已知一圆台的高为3，下底面面积是上底面面积的4倍，若圆台的体积为，则该圆台的母线长为 ．
15．已知两个不同的零点，则m的取值范围是 ．
16．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点在双曲线上，点在直线上，且满足.若存在实数使得，则双曲线的离心率为
四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）
17．已知函数．
（1）若，求的递增区间和值域；
（2）若，求点．
18．如图，在四面体中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若，求证：．
19．已知函数的两个极值点为，2，且在处的切线方程为．
(1)求函数的表达式；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．
20．已知数列中，，___________，其中.
(1)求数列的通项公式：
(2)设，求数列的前项和.
从①前项和，②，③且，这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并作答.
21．肥胖已经成为威胁人类身体健康的第二大危险因素，体重指数是判断是否肥胖的标准之一（，其中，体重单位：公斤，身高单位：米），体重指数超过24属于肥胖.为调查青少年的肥胖与性别是否有关，从17岁的青少年中随机抽取了50位进行调查，其中男生30人，女生20人，这20位女生的原始数据如表所示：已知，50人中共有11人属于肥胖.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高/ 159 160 172 160 173 165 164 170 161 170 164 168 158 165 155 170 167 163 165 167
体重/公斤 52 55 56 61 61 52 48 50 53 50 51 60 54 57 65 55 56 54 58 85
体重指数 20.6 21.5 18.9 23.4 20.3 19.1 17.8 17.3 20.4 17.3 19.0 21.3 21.6 21.9 27.1 19 20.1 20.3 21.3 30.5
(1)补充列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为肥胖与性别有关系？
是否肥胖 合计
性别 肥胖 不肥胖
男生 30
女生 20
合计 50
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
(2)从11位肥胖的同学中随机抽取2人进行减肥减脂训练，记抽取到的女生人数为X，求X的分布列及均值.
22．一个袋子中装有个红球和5个白球，一次摸奖是从袋中同时摸两个球，两个球颜色不同则为中奖．
（1）试用表示一次摸奖就中奖的概率；
（2）若，求三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率；
（3）记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为，当取多少时，最大？
数 学 答 案：
1．A
【分析】求出集合可得.
【解析】，，故，
故选：A.
2．A
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其共轭复数，从而判断可得；
【解析】解：因为，所以，则的虚部为；
故选：A
3．A
【分析】取中点，建立直角坐标系，得到，再根据模长的坐标公式即可求解.
【解析】
如图，取中点，建立直角坐标系，则，
由，若，则，
所以得：，
由，若，则，
所以得：，
所以，故.
故选：A
4．D
【解析】根据幂函数和指数函数和三角函数的奇偶性，以及单调性得到结果.
【解析】是奇函数，故A排除；是非奇非偶函数，C排除；
是偶函数，但在上有增也有减，B排除，只有D正确.
故答案为D.
5．C
【解析】由题意可知：
.
本题选择C选项.
6．A
【分析】由二倍角公式可求得的值，结合诱导公式即可求得结果.
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：A.
7．C
【解析】由题意，分别从充分性与必要性两个部分证明，对于充分性，都存在，证明与存在；对于必要性，都存在，证明存在.
【解析】都存在，所以，，
所以与存在，故充分性成立；
记，，则，，
由题意，都存在，所以，
，所以都存在，故必要性成立，
所以“数列和数列极限都存在”是“数列和数列极限都存在”的充分必要条件.
故选：C.
8．B
【分析】利用正弦定理及两角和的正弦公式得，代入“三斜求积”公式，利用二次函数求解最值.
【解析】因为，所以，
所以，
由正弦定理得，又，所以
，
所以当即时，面积的最大值为.
故选：B
9．ACD
【分析】根据图中数据，依次分析各选项即可得答案.
【解析】解：对于A选项，甲同学体温的极差为℃，故A选项正确；
对于B选项，乙同学体温为，其众数为36.4℃，中位数、平均数均为36.4℃，故B选项错误；
对于C选项，根据图中数据，甲同学的体温平均数为36.4℃，与乙同学的体温平均数相同，但甲同学的体温极差为℃，大于乙同学的体温极差℃，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C选项正确；
对于D选项，甲同学的体温从小到大排序为，，故甲同学体温的第80百分位数为36.5℃，故D选项正确.
故选：ACD
10．ACD
【分析】先把指数式化为对数式，求出的值，然后利用对数函数的性质逐个分析判断即可.
【解析】由，得：，，
因为，
所以，故A正确；
，所以，故，故B不正确；
，
所以，所以C正确；
因为，所以等价于，
即，
因为，即，所以，即，
而，
所以成立，所以，故D正确.
故选：ACD.
11．AC
【分析】对于A选项，根据全称命题的否定为特称命题即可判断A选项正误；
对于B选项，可以举分段函数的反例即可判断B选项的正误；
对于C选项，可以根据函数的定义进行判断C选项的正误；
对于D选项，可以举的反例进行判断D选项的正误.
【解析】对于A选项，已知命题“”的否定为“”，故A选项正确；
对于B选项，若是分段函数，则其值域不一定为；故B选项错误；
对于C选项，因为函数的定义域为，故函数在处一定有意义，根据函数定义，自变量与因变量直接存在一对一或多对一的对应关系，不存在一对多的对应关系，所以函数图像与轴有且只有一个交点，故C选项正确；
对于D选项，若为奇函数，但是在处无意义，故D选项错误.
故选：AC
12．ABD
【分析】六面体由两个全等的正四面体组成，算出每个正四面体的高为，再利用锥体的体积公式即可判断A；由图形的对称性，小球的体积要达到最大，即球与六面体的每个面都相切时体积达到最大，利用等体积法求得内切球的半径，再利用球的体积公式即可判断B；利用翻折变换规律，折后、在共底的两个四面体的底面，可判断C D；
【解析】对于A，六面体由两个全等的正四面体组成，其中每个四面体的棱长为1，取的中点D，连接，且，由正四面体性质知，顶点在底面的投影在上，如图所示，
，，故四面体的高为，故六面体的体积，故A正确；
对于B，由图形的对称性，小球的体积要达到最大，即球与六面体的每个面都相切时体积达到最大，六面体的每个面的面积是，连接球心与五个顶点，把六面体分成了六个三棱锥，且每个小棱锥的高都是球的半径，由等体积法知，解得，所以球的体积，故B正确；
对于CD，折后、在共底的两个四面体的底面，则直线与相交，故C错误，D正确；
故选：ABD.
13．1080
【解析】
14．
【分析】先利用题给条件求得圆台的上、下底面半径，进而求得该圆台的母线长.
【解析】设圆台的上、下底面半径分别为，，
因为下底面面积是上底面面积的4倍，所以，则，
由圆台的高为3，体积为，可知，
解得，则，
如图所示，过A作的垂线，垂足为C，则，
，，
又，故圆台的母线长．
故答案为：
15．
【分析】由题意有两个不同的零点可化为方程有两个不同的解,利用函数图象解答.
【解析】因为有两个不同的零点可化为方程有两个不同的解，
作函数的图象如下所示，
由图可知，的取值范围为
故答案为：
16．
【分析】根据双曲线的定义及向量的运算，三角形的正弦定理，求出，再表示出，根据双曲线离心率的定义求解即可.
【解析】设直线交轴于点，如图，
设的外接圆半径为，由，
有，
故，所以直线过的内心，
设的内切圆圆心为，内切圆圆分别切、、于点、、，
由切线长定理可得，，，
所以，，
结合图形可得，所以，，
故的内心的横坐标为，
因为点在直线上，所以点为的内心.
由可得，
所以，，记，
设，则，所以，，
所以，点在直线上，又因为，故点与点重合，
且有，
由角平分线的性质可知点到直线、的距离相等，
故，同理可得，
令，则，且，
故.
则双曲线的离心率.
故答案为：.
17．（1），值域；（2）.
【解析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将化为，利用正弦函数的性质可得函数的单调区间和值域.
（2）利用两角差的正弦公式可求的值.
【解析】①，
由得，，
又，所以的递增区间为，
又，故，所以，
值域为.
②由得，
因，所以，故
.
18．证明见解析
【分析】欲证，只要证明，需将用其他向量表示后再进行计算．
【解析】证明：如图，设．
因为P，M分别为OA，BC的中点，所以．
N，Q分别为AC，OB的中点,则
所以．
又因为，所以
所以，所以，即．
19．(1)
(2)
【分析】（1）求，由题意可得，，由导数的几何意义可得，，将代入，中求出的值即可求解；
（2）分别讨论，，，分别分离参数，构造函数转化为最值问题即可求解.
【解析】（1）由可得，
则，2是方程的两根，
所以，（*）
因为又因为处的切线方程为
故，
代入（*）式解得，
故
（2）由（1）知：，
①当时，即恒成立，此时，
②当时，由即，
分离参数可得：，
设，则，
，
故在上单调递减，上单调递减，上单调递增，
故当时，在上单调递减，上单调递增，
所以的最小值为，
所以，
③当时，由分离参数可得
设，则，
由②过程知在上单调递减，
故，
所以，
综上所述：的取值范围为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）选①，根据与的关系即可得出答案，
选②，根据，可得数列是以2为公差的等差数列，从而可得答案；
选③，根据，可得数列是以2为公差的等差数列，从而可得答案；
（2）利用分组求和法即可求出答案.
(1)
解：选①，当时，，
当时，也成立，
所以；
选②，因为，所以，
所以数列是以2为公差的等差数列，
所以；
选③，因为，所以数列是以2为公差的等差数列，
设公差为，
则，所以，
所以；
(2)
解：选①②③答案相同，
，又，
所以数列是以为首项，4为公比的等比数列，
所以
.
21．(1)列联表见解析，不能认为肥胖与性别有关系，
(2)见解析
【分析】（1）根据题意可填写出列联表，然后利用公式计算，再根据临界值表判断即可，
（2）由题意可得X的可能的取值为0，1，2，然后求出对应的概率，从而可求得X的分布列及均值
(1)
由题意可得
是否肥胖 合计
性别 肥胖 不肥胖
男生 9 21 30
女生 2 18 20
合计 11 39 50
则
，
因为，
所以不能认为肥胖与性别有关系，
(2)
由题意可得X的可能的取值为0，1，2，则
,
,
,
所以X的分布列为
0 1 2
所以
22．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）一次摸奖从个球中任选两个，有种，它们等可能，其中两球不同色有种，一次摸奖中奖的概率；
（2）根据（1）的结果，即可求出三次摸奖（每次摸奖后球放回）恰好有1次中奖的概率；
（3）设每次摸奖中奖的概率为，则三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率，知在上为增函数，在上为减函数，当时取得最大值，又，解得的值．
【解析】（1）一次摸奖是从个球中同时选两个球，有种方法，它们是等可能的，其中两球不同色有种方法，所以一次摸奖就中奖的概率．
（2）当时，，由于摸奖是有放回的，因此三次摸奖可看作三次独立重复试验，三次摸奖恰有一次中奖的概率为．
（3）记（1）中的，
，
，即．
，，
在上单调递增，在上单调递减，
∴当时，取得最大值．由，解得或（舍去），
∴当时，三次摸奖（每次摸奖后放回），恰有一次中奖的概率最大．
