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沈阳市浑南区2023-2024学年高二上学期12月月考 数学学科
满分：150分 考试时间：120分钟
一．选择题（共8小题）
1．当圆C：x2+y2+6y﹣3＝0的圆心到直线l：mx+y+m﹣1＝0的距离最大时，m＝（ ）
A． B．4 C． D．﹣4
2．已知直线l1：kx﹣y+3k+5＝0恒过点A，已知B（2，8），动点P在直线l2：x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，把椭圆绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径，称为扁椭球的“扁率”．假设一扁椭球的短半径为，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点P（2，1）且斜率为﹣1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．
5．设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝（ ）
A． B． C． D．
6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，4|F1P|＝|AB|，tan∠APF1＝，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．在翻折过程中，直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，F1，F2为双曲线的左右焦点，过F2的直线交双曲线于B，D两点，且，E为线段DF1的中点，若对于线段DF1上的任意点P，都有成立，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．若直线L的一个方向向量，且L经过点（1，﹣2），则下列结论正确的是（ ）
A．直线L的倾斜角为150°
B．直线L在x轴上的截距为﹣2
C．直线L与直线垂直
D．直线L上不存在与原点距离等于0.1的点
（多选）10．下列命题中正确的是（ ）
A．双曲线x2﹣y2＝1与直线x+y﹣2＝0有且只有一个公共点
B．平面内满足||PA|﹣|PB||＝2a（a＞0）的动点P的轨迹为双曲线
C．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为
（多选）11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，定点M（a，4）和动点A，B都在抛物线C上，且△MOF（其中O为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为y2＝8x
B．设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为
C．若（点A在第一象限），则直线AB的倾斜角为
D．若弦AB的中点N的横坐标2，则|AB|弦长的最大值为7
（多选）12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是C右支上一点，下列结论正确的有（ ）
A．若C的离心率为，则过点M（2，3）且与C的渐近线相同的双曲线的方程是
B．若点，则|AP|+|PF2|的最小值为
C．过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q到直线的距离的最大值为3a
D．若直线PF2与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点M，且，则C的离心率为
三．填空题（共4小题）
13．已知双曲线，O为坐标原点，F1，F2为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ．
14．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1，从坐标原点O向圆C作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若∠POQ＝，则|a﹣b+3|的取值范围是 ．
15．已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则|PF|+|PA|的最大值为 ；的最小值为 ．
16．如图抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是
①|AB|＝5；②四边形MNST的面积为；③；④|CD|的取值范围为．
四．解答题（共6小题）
17．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4）、B（﹣2，﹣1）、C（2，3）．
（1）求边BC的中垂线所在的直线方程和平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
（2）求△BCD的面积．
18．某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：
（1）在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？
（2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度．
19．已知圆C与圆（x+4）2+（y﹣3）2＝2关于直线8x﹣6y+25＝0对称．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）直线y＝kx+m与圆C交于A，B两点，O为坐标原点．设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，当k1k2＝3时，求k的取值范围．
20．如图，平面五边形ABCDE中，△ADE是边长为2的等边三角形，CD∥AE，CD＝AE，，将△ADE沿AD翻折，使点E翻折到点P．
（Ⅰ）证明：PC⊥BC；
（Ⅱ）若PC＝3，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
21．已知抛物线H：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点，cos∠OFM＝﹣．
（1）求抛物线H的方程；
（2）若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线x＝﹣1上的动点．
①求证：∠ACB≤．
②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由．
22．已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线x＝ty﹣1（t≠0）交椭圆于M，N两点，交y轴于P点，，，记△OMN，△OMF2，△ONF2（F2为C的右焦点）的面积分别为S1，S2，S3．
（1）证明：λ+μ为定值；
（2）若S1＝mS2+μS3，﹣4≤λ≤﹣2，求m的取值范围．
沈阳市浑南区2023-2024学年高二上学期12月月考 数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．当圆C：x2+y2+6y﹣3＝0的圆心到直线l：mx+y+m﹣1＝0的距离最大时，m＝（ ）
A． B．4 C． D．﹣4
【分析】求出直线所过定点A（﹣1，1），根据CA与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，kAC kl＝﹣1，求解即可．
【解答】解：因为圆C：x2+y2+6y﹣3＝0的圆心为C（0，﹣3），半径，
又直线l：mx+y+m﹣1＝0，化为l：m（x+1）+y﹣1＝0，
则直线l过定点A（﹣1，1），
故当CA与直线l垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有kAC kl＝﹣1 ﹣4 （﹣m）＝﹣1，解得．
故选：C．
2．已知直线l1：kx﹣y+3k+5＝0恒过点A，已知B（2，8），动点P在直线l2：x﹣y+1＝0上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据直线的点斜式方程判断直线所过的定点，再结合点关于线对称的性质进行求解即可．
【解答】解：由kx﹣y+3k+5＝0化简得y﹣5＝k（x+3），
所以A（﹣3，5），
如下图所示：
由图形可知，点A、B在直线x﹣y+1＝0的同侧，
且直线x﹣y+1＝0的斜率为1，
设点B关于直线x﹣y+1＝0的对称点为点B′（a，b），
则，解得a＝7，b＝3，即点B′（7，3），
由对称性可知．
故选：D．
3．如图，把椭圆绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径，称为扁椭球的“扁率”．假设一扁椭球的短半径为，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据正方体与“扁椭球”的对称性，可得正方体的对角面的顶点在椭圆上，又易知正方体的对角面的矩形的长为，宽为1，从而都可得P（，）在椭圆上，从而建立方程即可求解．
【解答】解：由题意可知正方体的对角面的顶点在椭圆上，如图所示，
又易知正方体的对角面的矩形的长为，宽为1，
∴在直角坐标系中，可得矩形的一个顶点P为（，），
又P在椭圆椭圆上，且b＝，
∴，∴a＝1，
∴扁椭球的“扁率”e＝＝．
故选：B．
4．已知过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，过点P（2，1）且斜率为﹣1的直线与C相交于A，B两点，若P恰好是AB的中点，则椭圆C上一点M到F的距离的最大值为（ ）
A．6 B． C． D．
【分析】利用椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系即可解决．
【解答】解：由过椭圆左焦点F且与长轴垂直的弦长为，
可得椭圆过点，代入方程得．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，
两式作差得：，
因为P恰好是AB的中点，所以x1+x2＝4，y1+y2＝2，又因为直线AB斜率为﹣1，
所以，将它们代入上式得a2＝2b2，
则联立方程解得．
所以椭圆C上一点M到F的距离的最大值为．
故选：D．
5．设抛物线E：y2＝8x的焦点为F，过点M（4，0）的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|BF|＝3，则△BCF与△ACF的面积之比＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用三角形面积公式，可把△BCF与△ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|BF|＝4求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得答案．
【解答】解：∵抛物线方程为y2＝8x，
∴焦点F的坐标为（2，0），准线方程为x＝﹣2，
如图，设A（x1，y1），B（x2，y2），
过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，
则|BF|＝x2+2＝3，∴x2＝1，
把x2＝1代入抛物线y2＝8x，得，y2＝﹣2，
∴直线AB过点M（4，0）与（1，﹣2），
方程为2x﹣3y﹣8＝0，代入抛物线方程，解得，x1＝16，
∴|AE|＝16+2＝18，
∵在△AEC中，BN∥AE，
∴＝＝＝＝．
故选：C．
6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左右焦点为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，4|F1P|＝|AB|，tan∠APF1＝，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设|AB|＝2m，则|AP|＝|PB|＝m，由已知可得cos∠APF1＝，由余弦定理可求得|F1P|＝m，进而可得|AF1|2+|AP|2＝|PF1|2，可得|F1F2|＝，可求椭圆的离心率．
【解答】解：设|AB|＝2m，则|AP|＝|PB|＝m，
∵tan∠APF1＝，可得cos∠APF1＝，
在△AF1P中，|AF1|2＝|PF1|2+|AP|2﹣2|PF1| |AP|cos∠APF1，
∵4|F1P|＝|AB|，∴|F1P|＝m，
∴|AF1|2＝m2+m2﹣2×m m ＝m2，
∴|AF1|＝m，∴|AF1|2+|AP|2＝|PF1|2，∴AF1⊥AB，
∴|F1B|＝＝＝m，
∴|AF1|+|AB|+|F1B|＝m+2m+m＝6m＝4a，
∴m＝a，|AF1|＝m＝a，|AF2|＝2a﹣a＝a，
∴|F1F2|＝＝＝a，∴2c＝a，
∴e＝＝．
故选：B．
7．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE．在翻折过程中，直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ）
A． B． C． D．
【分析】取DE，DC的中点O，F，点A的轨迹是以AF为直径的圆，以OA，OE为x，y轴，过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，用向量法可求线面角的最大值．
【解答】解：分别取DE，DC的中点O，F，点A的轨迹是以AF为直径的圆，以OA，OE为x，y轴，过O与平面AOE垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（﹣2，1，0），平面ABCD的其中一个法向量为＝（0，0，1），由A1O＝1，设A1（cosα，0，sinα），α∈[0，2π），
则＝（cosα+2，﹣1，sinα），记直线A1C与平面ABCD所成角为θ，
则sinθ＝＝＝，
令t＝cosα+∈[，]，sinθ＝≤＝，
所以直线A1C与平面ABCD所成角的正弦值最大为．
故选：B．
8．如图，F1，F2为双曲线的左右焦点，过F2的直线交双曲线于B，D两点，且，E为线段DF1的中点，若对于线段DF1上的任意点P，都有成立，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【分析】画出图形，取F1B中点Q，连接DQ，PQ，EQ，推出恒成立，设|BF2|＝m，由得：|BD|＝2m，结合双曲线定义以及勾股定理，推出离心率即可．
【解答】解：取F1B中点Q，连接DQ，PQ，EQ，
∵＝
＝＝，
＝
＝＝，
∵对于线段DF1上的任意点P，都有成立，
∴，则，
∴恒成立，∴EQ⊥DF1，又EQ∥BD，∴BD⊥DF1，
设|BF2|＝m，由得：|BD|＝2m，
根据双曲线定义可知：|DF1|＝|DF2|﹣2a＝3m﹣2a，|BF1|＝|BF2|+2a＝m+2a，
∵，即4m2+（3m﹣2a）2＝（m+2a）2，∴，
∴|DF1|＝2a，|DF2|＝4a，又，
∴20a2＝4c2，∴，则离心率e＝．
故选：D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．若直线L的一个方向向量，且L经过点（1，﹣2），则下列结论正确的是（ ）
A．直线L的倾斜角为150°
B．直线L在x轴上的截距为﹣2
C．直线L与直线垂直
D．直线L上不存在与原点距离等于0.1的点
【分析】根据题意先将直线的方程求出来；对于A，由直线斜率与倾斜角的关系即可判断；对于B，在直线方程中令y＝0，求出x的值即可判断；对于C，判断两直线斜率之积是否为﹣1即可；对于D，算出原点到直线L的距离即可判断．
【解答】解：因为直线L的一个方向向量为，所以直线L的斜率为，
又L经过点（1，﹣2），所以直线L的方程为：，
整理得．
对于A，由于直线L的斜率为，所以其倾斜角为120°，故A选项不正确；
对于B，在直线方程中令y＝0，解得，
所以L在x轴上的截距等于，故B选项不正确；
对于C，将直线方程变形得，所以其斜率为，
又直线L的斜率为，所以，所以直线L与直线垂直，故C选项正确；
对于D，由于原点到直线的距离为，这表明了原点到直线L上的任意一点的距离至少是，
因为，
因此L上不存在与原点距离等于0.1的点，故D选项正确．
故选：CD．
（多选）10．下列命题中正确的是（ ）
A．双曲线x2﹣y2＝1与直线x+y﹣2＝0有且只有一个公共点
B．平面内满足||PA|﹣|PB||＝2a（a＞0）的动点P的轨迹为双曲线
C．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4
D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为
【分析】联立求出双曲线x2﹣y2＝1与直线x+y﹣2＝0只有一个交点，可判断A；举出反例可判断B；根据焦点在y轴上，得到不等式组，求出t＞4，可判断C；由双曲线焦距和渐近线方程，得到b＝1，，得到双曲线方程，可判断D．
【解答】解：对于A，解方程组得唯一解，
所以双曲线x2﹣y2＝1与直线x+y﹣2＝0有且只有一个公共点，所以A对；
对于B，当|AB|＝2a时，满足||PA|﹣|PB||＝2a的动点P的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以B错；
对于C，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则4﹣t＜0且t﹣1＞0，解得t＞4，所以C对；
对于D，设双曲线标准方程为，由2c＝4，则c＝2，
渐近线方程为，即，由c2＝a2+b2，解得b＝1，，
∴双曲线的标准方程为，所以D错．
故选：AC．
（多选）11．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，定点M（a，4）和动点A，B都在抛物线C上，且△MOF（其中O为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为y2＝8x
B．设点R是线段AF的中点，则点R的轨迹方程为
C．若（点A在第一象限），则直线AB的倾斜角为
D．若弦AB的中点N的横坐标2，则|AB|弦长的最大值为7
【分析】根据三角形MOF的面积求得p，从而求得抛物线的标准方程，利用相关点代入法、焦半径、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：对于A．由S△MOF＝×p×4＝p＝3，可得抛物线的标准方程为y2＝6x，故A错误；
对于B．抛物线的焦点为，
，，则，yA＝2yR，
代入y2＝6x，得，整理得，
所以点R的轨迹方程为，故B正确；
对于C．由于，所以A，F，B三点共线，设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π），
|AF|＝xA+，xA＝|AF|﹣，|AF|cosθ+＝xA＝|AF|﹣，解得|AF|＝，
同理可得|BF|＝，依题意，即，
，所以θ为锐角，所以，故C正确；
对于D．设直线AB的方程为x＝my+t，
由，消去x并化简得y2﹣6my﹣6t＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
x1+x2＝4＝m（y1+y2）+2t，则2t＝4﹣6m2，
，
所以当时，|AB|max＝7，2t＝4﹣6m2＝4﹣1＝3，解得t＝，
满足Δ＝36m2+24t＞0．故D正确．
故选：BCD．
（多选）12．已知双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是C右支上一点，下列结论正确的有（ ）
A．若C的离心率为，则过点M（2，3）且与C的渐近线相同的双曲线的方程是
B．若点，则|AP|+|PF2|的最小值为
C．过F1作∠F1PF2的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q到直线的距离的最大值为3a
D．若直线PF2与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点M，且，则C的离心率为
【分析】利用共渐近线的双曲线方程可判断A；利用|AP|+|PF|＝|AP|+|PF|﹣2a≥|AF1|﹣2a可判断B；利用已知可得Q是以O为圆心，a为半径的圆上一点．可求点Q到直线的距离的最大值判断C；根据对称性，不妨设直线PF2的方程为，联立方程组可求得M的坐标，进而求得P的坐标，利用P在双曲线上，可求双曲线的离心率．
【解答】解：对于选项A，因为C的离心率为，所以，
则．因为双曲线与C的渐近线相同，
所以设双曲线的方程为，将M（2，3）代入得，解得λ＝﹣2，
则双曲线的方程为，故A不正确．
对于选项B，因为P是C右支上一点，所以|PF1|﹣|PF2|＝2a，
则|AP|+|PF|＝|AP|+|PF|﹣2a≥|AF1|﹣2a＝，故B正确．
对于选项C，如图，延长F1Q并与PF2相交于点B，连接OQ．
由题可知，Q为BF1的中点，则，|BF2|＝|PB|﹣|PF2|＝|PF1|﹣|PF2|＝2a，
所以|OQ|＝a，则Q是以O为圆心，a为半径的圆上一点．
点O到直线 的距离，
所以点Q到直线的距离的最大值为2a，故C不正确；
对于选项D．根据对称性，不妨设直线PF2的方程为，
联立方程组，得M（，），
由，得P（，），代入C的方程得＝1，
则C的离心率．故D正确．
故选：BD．
三．填空题（共4小题）
13．已知双曲线，O为坐标原点，F1，F2为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得F2P的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ．
【分析】根据，且双曲线上的点到焦点的最小距离为c﹣a，得到，进而求得离心率的范围．
【解答】解：因为O，M分别为F1F2，PF2的中点，所以．
又双曲线上的点到焦点的最小距离为c﹣a，
所以，解得，
因此双曲线的离心率e的取值范围是．
故答案为：．
14．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1，从坐标原点O向圆C作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若∠POQ＝，则|a﹣b+3|的取值范围是 [3﹣2，3+2] ．
【分析】由题意可得|OC|＝2|CQ|＝2，可得C的轨迹方程，进而可得a＝2cosθ，b＝2sinθ，代入可求|a﹣b+3|的取值范围．
【解答】解：由圆C：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝1，知圆心C（a，b），半径为r＝1，
由∠POQ＝，可得∠COP＝，所以|OC|＝2|CQ|＝2，
所以圆心C的轨迹方程为x2+y2＝4，
所以a＝2cosθ，b＝2sinθ，
所以|a﹣b+3|＝|2cosθ﹣2sinθ+3|＝|2（θ+）+3|，
所以|a﹣b+3|的取值范围是[3﹣2，3+2]．
故答案为：[3﹣2，3+2]．
15．已知F是椭圆C：的左焦点，点P为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则|PF|+|PA|的最大值为 8 ；的最小值为 ．
【分析】由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，利用三角形三边大小关系可得：|PF1|+|PA|＝8﹣|PF2|+|PA|≤8+|AF2|即可得出．利用椭圆的第二定义，转化求解最小值即可．
【解答】解：如图所示：
由椭圆C：可得a＝3，F（﹣2，0），右焦点F2（2，0）．
在椭圆内部，
∵|PF|+|PF2|＝2a＝6，
∴|PF|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|≤6+|AF2|
＝8+＝2+6＝8．
∴当且仅当三点P，F2，A共线时，|PF|+|PA|取得最大值为8．
椭圆的离心率为：e＝，过P作PN垂直椭圆的左准线于N，左准线方程为x＝﹣．
|PF|＝；
＝≥，
的最小值为＝＝．
故答案为：8；．
16．如图抛物线Γ1的顶点为A，焦点为F，准线为l1，焦准距为4；抛物线Γ2的顶点为B，焦点也为F，准线为l2，焦准距为6．Γ1和Γ2交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是 ①②③④
①|AB|＝5；②四边形MNST的面积为；③；④|CD|的取值范围为．
【分析】根据抛物线的定义可得|AB|＝5判断①，以A为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线Γ1的方程为y2＝8x，可得，进而判断②，利用抛物线的定义结合条件可得可判断③，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断④．
【解答】解：设直线AB与直线l1，l2分别交于G、H，
由题可知|GA|＝|AF|＝2，|FB|＝|BH|＝3，
所以|GH|＝|MN|＝10，|AB|＝5，故①正确；
如图以A为原点建立平面直角坐标系，则F（2，0），l1：x＝﹣2，
所以抛物线Γ1的方程为y2＝8x，
连接PF，由抛物线的定义可知|PF|＝|MP|，|PF|＝|NP|，
又|MN|＝10，
所以xP＝3，
代入y2＝8x，可得，
所以，
又|MN|＝10，
故四边形MNST的面积为，故②正确；
连接QF，因为|QF|＝|QT|＝|QS|，
所以∠QFT＝∠QTF，∠QFS＝∠QSF，
所以，
故，故③正确；
根据抛物线的对称性不妨设点D在封闭曲线APBQ的上部分，
设C，D在直线l1，l2上的射影分别为C1，D1，
当点D在抛物线BP，点C在抛物线AQ上时，|CD|＝|CC1|+|DD1|，
当C，D与A，B重合时，|CD|最小，最小值为|CD|＝5，
当D与P重合，点C在抛物线AQ上时，因为，
直线，
与抛物线Γ1的方程为y2＝8x联立，可得3x2﹣13x+12＝0，
设C（x1，y1），D（x2，y2），
则，，
所以；
当点D在抛物线PA，点C在抛物线AQ上时，设CD：x＝ty+2，
与抛物线Γ1的方程为y2＝8x联立，可得y2﹣8ty﹣16＝0，
设C（x3，y3），D（x4，y4），
则y3+y4＝8t，，
当t＝0，即CD⊥AB时取等号，
故此时；
当点D在抛物线PA，点C在抛物线QB上时，
根据抛物线的对称性可知，；
综上，，故④正确．
故答案为：①②③④．
四．解答题（共6小题）
17．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4）、B（﹣2，﹣1）、C（2，3）．
（1）求边BC的中垂线所在的直线方程和平行四边形ABCD的顶点D的坐标；
（2）求△BCD的面积．
【分析】（1）直接利用中点坐标公式和点斜式求出结果；
（2）利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．
【解答】解：（1）如图，设BC边中点为E，∵B（﹣2，﹣1）、C（2，3），
∴
边BC的中垂线所在的直线的斜率为﹣1，由直线的点斜式方程得边BC的中垂线所在的直线为y﹣1＝﹣1（x﹣0），即x+y﹣1＝0．
设AC边中点为M，则M点坐标为，
设点D的坐标为（x，y），由已知得M为线段BD的中点，
故：，解得，∴D（3，8）．
（2）由B（﹣2，﹣1）、C（2，3）得，
直线BC的方程为：x﹣y+1＝0，
∴D到直线BC的距离，
∴．
18．某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：
（1）在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？
（2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度．
【分析】（1）先结合题意建立直角坐标系，写出A，B的坐标，进而可求直线AB的方程，然后结合点到直线的距离公式即可判断；
（2）对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，然后结合点到直线的距离公式可求直线方程，进而可求D，E的坐标，可求．
【解答】解：（1）设O为原点，正东方向为x轴，建立平面直角坐标系，O（0，0），
因为，∠AOx＝45°，则A（10，10），依题意得，游客所在位置为B（﹣4，0），
则直线AB的方程为5x﹣7y+20＝0，
所以圆心O到直线AB的距离，
所以直线AB与圆O相离，所以游客在该摄像头的监控范围内，
（2）由图知，过A的直线与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，
所以设直线l过点A且和圆切，
（1）若直线l垂直于x轴，则直线l不会和圆相切；
（2）若直线l不垂直于x轴，设l：y﹣10＝k（x﹣10），整理得l：kx﹣y+10﹣10k＝0，
所以圆心O到直线l的距离为，解得或，
所以或，
即3x﹣4y+10＝0或4x﹣3y﹣10＝0，
观景直道所在直线方程为y＝﹣5，
设两条直线与y＝﹣5的交点为D，E，
由，解得x＝﹣10，y＝﹣5，
由，解得，
所以，
答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米．
19．已知圆C与圆（x+4）2+（y﹣3）2＝2关于直线8x﹣6y+25＝0对称．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）直线y＝kx+m与圆C交于A，B两点，O为坐标原点．设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，当k1k2＝3时，求k的取值范围．
【分析】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，b），则，然后求解即可；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y＝kx+b，联立直线与圆的分析，消y整理可得：（1+k2）x2+2kbx+b2﹣2＝0，即b2＜2k2+2，①，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合韦达定理，k1 k2＝3，然后结合直线的斜率公式求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）圆C与圆（x+4）2+（y﹣3）2＝2关于直线8x﹣6y+25＝0对称．
设圆C的圆心坐标为（a，b），
则，
解得，
即圆C的方程为x2+y2＝2；
（Ⅱ）设直线AB的方程为y＝kx+b，
联立，
消y整理可得：（1+k2）x2+2kbx+b2﹣2＝0，
由题意有Δ＝4k2b2﹣4（1+k2）（b2﹣2）＞0，
即b2＜2k2+2，①
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2＝，x1x2＝，
又k1 k2＝3，
则＝3，
即y1y2＝3x1x2，
即（kx1+b）（kx2+b）＝3x1x2，
即（k2﹣3）x1x2+kb（x1+x2）+b2＝0，
即b2＝3﹣k2，②
又b2≥0，
即k2﹣3≤0，
即，
将②代入①可得：2k2+2＞3﹣k2，
即或k，
综上可得：k的取值范围为．
20．如图，平面五边形ABCDE中，△ADE是边长为2的等边三角形，CD∥AE，CD＝AE，，将△ADE沿AD翻折，使点E翻折到点P．
（Ⅰ）证明：PC⊥BC；
（Ⅱ）若PC＝3，求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【分析】（Ⅰ）在平面图形中取AD中点O，则有OP⊥AD，OC⊥AD，再应用线面垂直的判定、性质能证明PC⊥BC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得OP⊥AD，OC⊥AD，则二面角P﹣AD﹣B的平面角为∠POC，在△POC中利用余弦定理即可；在平面POC内作OM⊥OC，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，利用向量法能求出直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：在平面图形中取AD中点O，连接OC，OE，
∵△ADE是边长为2的等边三角形，
∴OE⊥AD，OD＝1，故翻折后有OP⊥AD，
又∵CD∥AE，∴∠CDO＝∠DAE＝，
∵CD＝AE＝2，∴OC⊥AD，且PO∩OC＝O，
∴AD⊥平面POC，
∵，∴AD∥BC，∴BC⊥平面POC，
∵PC 平面POC，∴PC⊥BC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得OP⊥AD，OC⊥AD，∴二面角P﹣AD﹣B的平面角为∠POC，
在△POC中，OC＝OP＝，PC＝3，
由余弦定理得cos∠POC＝﹣，∴，
二面角P﹣AD﹣B的大小是，
在平面POC内作OM⊥OC，交PC于M，
∵AD⊥平面POC，
∴以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
由（Ⅰ）得四边形OABC为矩形，
∵∠POC＝，OP＝，
∴A（1，0，0），D（﹣1，0，0），B（1，，0），C（0，，0），P（0，﹣，），
∴＝（1，，﹣），＝（0，，﹣），＝（1，，0），
设平面PCD的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝1，得＝（﹣，1，），
设直线PB与平面PCD所成角为θ，
则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为：
sinθ＝＝＝．
21．已知抛物线H：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，O为坐标原点，cos∠OFM＝﹣．
（1）求抛物线H的方程；
（2）若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线x＝﹣1上的动点．
①求证：∠ACB≤．
②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形？若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由条件列方程求参数p，由此可得抛物线H的方程；（2）设直线AB：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣1，n），联立方程得关于y的表达式，结合韦达定理和向量的表示方法，即可求证；可假设存在点C，设AB的中点为N，由直线AB和CN垂直关系求出点N，由韦达定理和弦长公式求得弦|AB|，结合即可求解具体的m的值，进而求解点C．
【解答】解：（1）因为抛物线H的方程为y2＝2px，M抛物线H上且的横坐标为5，
所以M的纵坐标为，
当点M的坐标为时，过点M作MN⊥OF，垂足为N，
因为，所以，所以，
又，所以，
所以，所以，又p＞0，
所以p＝2，
同理当点M的坐标为时，p＝2，
所以抛物线H的方程为y2＝4x；
（2）证明：①设直线AB：x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣1，n），
由，得y2﹣4my﹣4＝0，
则，
，
，
所以，所以；
②假设存在这样的点C，设AB的中点为N，由①知N（2m2+1，2m），
∵CN⊥AB，∴，则n＝2m3+4m，则C（﹣1，2m3+4m），
则，
而，
由得，，
所以存在点．
22．已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线x＝ty﹣1（t≠0）交椭圆于M，N两点，交y轴于P点，，，记△OMN，△OMF2，△ONF2（F2为C的右焦点）的面积分别为S1，S2，S3．
（1）证明：λ+μ为定值；
（2）若S1＝mS2+μS3，﹣4≤λ≤﹣2，求m的取值范围．
【分析】（1）首先得到椭圆方程为，设点M（x1，y1），N（x2，y2），利用向量关系得到，，再联立椭圆与直线方程得（t2+2）y2﹣2ty﹣1＝0，则，再整体代换得定值．
（2），，，结合（1）中向量式得，
再代入S1＝mS2+μS3有y1﹣y2＝my1﹣μy2，联立解得，再结合μ的范围，利用导数或是对勾函数性质求出其范围．
【解答】（1）证明：由题意得，左焦点F（﹣1，0） c＝1，b2＝a2﹣c2＝1，
所以椭圆C的标准方程为：．
设M（x1，y1），N（x2，y2），显然t≠0，令x＝0，，则，
则，，
由得，解得，同理，
联立，得（t2+2）y2﹣2ty﹣1＝0，
，
，从而λ+μ＝﹣4（定值）．
（2）解：结合图象，不妨设y1＞0＞y2，，，，
由得，
代入S1＝mS2+μS3，有，则y1﹣y2＝my1﹣μy2，
解得
∵﹣4≤λ≤﹣2，∴μ+3＝﹣1﹣λ∈[1，3]，
设u＝μ+3，则u∈[1，3]，设，则，
令h′（u）＞0，解得，令h′（u）＜0，解得，
故h（u）在上单调递减，在上单调递增，则，
且，则，则．
