14.3因式分解
14.3.2 公式法
第2课时 用完全平方公式分解因式
【知识重点】
知识点1 用完全平方公式分解因式
1. 完全平方式 形如a2±2ab＋b2这样的式子叫做完全平方式.
完全平方式的条件：(1)多项式是二次三项式；(2)首末两项是两个数(或式子)的平方且符号相同，中间项是这两个数(或式子)的积的2 倍，符号可以是“＋”，也可以是“－”.
2. 完全平方公式 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
特别解读
①因式分解中的完全平方公式是整式乘法中的完全平方公式的逆用.
②结果是和的平方还是差的平方由乘积项的符号确定，乘积项的符号可以是“＋”，也可以是“－”，而两个平方项的符号必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公式进行因式分解.
③用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先提取公因式，再用完全平方公式分解因式.
3. 因式分解的一般步骤
(1)当多项式有公因式时，先提取公因式；当多项式没有公因式时(或提取公因式后)，若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；
(2)当不能直接提取公因式或不能用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；
(3)当乘积中每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.
【经典例题】
【例1】已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是__________.
解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.
【例2】分解因式：
(1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2；
(3)a2－ab＋b2； (4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运用完全平方公式分解因式.
【例3】(1)－3a3b＋48ab3；
(2)x4－8x2＋16；
(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).
解题秘方：先观察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式.
方法总结：“一提、二套、三查”是分解因式的步骤
即有公因式的先提取公因式，然后套用公式，若多项式是两项，则考虑用平方差公式，若多项式是三项，则考虑用完全平方公式，最后检查乘积中每一个多项式的因式是否分解彻底.
【同步练习】
一、选择题
1．下列式子是完全平方式的是( )
A．x2＋2x＋2 B．x2－xy＋y2
C．a2－2b＋b2 D．x2＋2x＋1
2．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( )
A．x2－4 B．x2－2x－1 C．x2－2x＋1 D．x2＋4x＋1
3．多项式x2－4x＋4因式分解的结果是( )
A．x(x－4)＋4 B．(x＋2)(x－2) C．(x＋2)2 D．(x－2)2
4．下列各式能用完全平方公式分解因式的是( )
A．a2＋2a－1 B．a2＋a＋1
C．a2－9 D．a2－a＋
5．利用乘法公式判断，下列等式何者成立( )
A．2482＋248×52＋522＝3002 B．2482－248×48－482＝2002
C．2482＋2×248×52＋522＝3002 D．2482－2×248×48－482＝2002
6．把12m3－12m2＋3m进行因式分解正确的是( )
A．3m(4m2－4m＋1) B．12m2(m－1)
C．3m(2m＋1)2 D．3m(2m－1)2
7．下列因式分解正确的是( )
A．(x＋1)2＋2(x＋1)＋1＝(x＋1＋1)2 B．m4－8m2＋16＝(m2－4)2
C．a2b4－ab3＋b2＝ D．m4－1＝(m2＋1)(m＋1)(m－1)
8．把x4－2x2y2＋y4分解因式，结果是( )
A．(x－y)4 B．(x2－y2)4 C．(x2－y2)2 D．(x＋y)2(x－y)2
9．如果ax2＋24x＋b＝(mx－3)2，则a，b，m的值是( )
A．a＝16，b＝9，m＝－4 B．a＝64，b＝9，m＝－8
C．a＝－16，b＝－9，m＝－8 D．a＝16，b＝9，m＝4
10．下列各式分解因式错误的是( )
A．9－6(x－y)＋(x－y)2＝(3－x＋y)2 B．4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2＝(a＋2b)2
C．(a＋b)2－2(a＋b)(a－c)＋(a－c)2＝(b＋c)2 D．(m－n)2－2(m－n)＋1＝(m－n＋1)2
11．已知a－＝3，则a2＋的值是( )
A．3 B．7 C．9 D．11
二、填空题
12．若a＋b＝5，则a2＋2ab＋b2＝ .
13．分解因式：
(1) 2 022x2－4 044x＋2 022＝________________；
(2) ay2＋6ay＋9a＝_________________.
14．(1)若x2－8x＋k是完全平方式，则k＝ ；
(2)若x2＋kx＋16是完全平方式，则k＝ .
15．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a－b＝2，求代数式6a－2b－1的值．”可以这样解：6a－2b－1＝2(3a－b)－1＝2×2－1＝3.根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax＋b＝3的解，则代数式4a2＋4ab＋b2＋4a＋2b－1的值是______.
16．若4x2＋2(m－8)x＋25是关于x的完全平方式，则m＝ .
17．多项式9x2＋1加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是________________________________________.
18．(1)多项式x2－2x＋4的最小值是 ；
(2)多项式－x2＋4x－7的最大值是 .
19．若m＝5n＋3，则m2－10mn＋25n2的值为 .
三、解答题
20．分解因式：
(1)9x2＋6x＋1；
(2)4m2－12mn＋9n2；
(3)x2－xy＋y2；
(4)0.49m2－2.8mn＋4n2.
21．分解因式：
(1)－4a2－8ab－4b2；
(2)－m2＋2m－2；
(3)－x3y＋x2y－xy；
(4)6a3b2－12a2b3＋6ab4.
22．分解因式：
(1)－2a4b＋16a2b3－32b5；
(2)(a2－2a)2＋2(a2－2a)＋1.
23．已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14.
(1)求此长方形的面积；
(2)求2ab3＋4a2b2＋2a3b的值．
24．已知x－y＝－2，xy＝－，求－2x3y3＋x2y4＋x4y2的值．
25．若|m＋4|与n2－2n＋1的和为0，把多项式x2＋4y2－mxy－n分解因式．
26．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：
例如：x2－2xy＋y2－4＝(x2－2xy＋y2)－4＝(x－y)2－22＝(x－y－2)(x－y＋2)．
②拆项法：
例如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1－2)(x＋1＋2)＝(x－1)(x＋3)．
③十字相乘法：
例如：x2 ＋6x－7.
解：原式＝(x＋7)(x－1)．
仿照以上方法，按照要求分解因式：
(1)(分组分解法)4x2＋4x－y2＋1；
(2)(拆项法)x2－6x＋8；
(3)(十字相乘法)x2－5x＋6＝_________________.
27．阅读材料：
如果一个数可以写成a2＋b2的形式，我们就把这个数叫做“和数”，例如5＝22＋12，所以5是“和数”；再如M＝a2＋2ab＋2b2＝(a＋b)2＋b2，所以M也是“和数”．
解决问题：
(1)已知29是“和数”，请将它写成a2＋b2(a，b是整数)的形式_______________；
(2)若N＝x2－6x＋4y2＋8y＋k是“和数”，试求出k的值并说明理由；
(3)如果m，n都是“和数”，试说明mn也是“和数”．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
()
参考答案
【经典例题】
【例1】已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是__________.
解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.
解：：∵ 9a2＝(3a)2，16＝42，9a2＋ka＋16是一个完全平方式，
∴ ka＝±2×3a×4＝±24a.
∴ k＝±24.
【例2】分解因式：
(1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2；
(3)a2－ab＋b2； (4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运用完全平方公式分解因式.
解：(1)x2－14x＋49＝x2－2·x·7＋72＝(x－7)2；
(2)－6ab－9a2－b2 ＝－(9a2＋6ab＋b2)
＝－[(3a)2＋2·3a·b＋b2]
＝－(3a＋b)2；
(3)a2－ab＋b2＝ －2· a·b＋b2＝；
(4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81
＝(x2＋6x)2＋2·(x2＋6x)·9＋92
＝(x2＋6x＋9)2
＝(x＋3)4.
【例3】(1)－3a3b＋48ab3；
(2)x4－8x2＋16；
(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a).
解题秘方：先观察是否有公因式，若有，先提取公因式，然后通过观察项数确定能用哪个公式分解因式.
解：(1)－3a3b＋48ab3＝－3ab(a2－16b2)
＝－3ab(a＋4b)(a－4b)；
(2)x4－8x2＋16＝[(x＋2)(x－2)]2
＝(x＋2)2(x－2)2；
(3)25x2(a－b)＋36y2(b－a)
＝25x2(a－b)－36y2(a－b)
＝(a－b)(25x2－36y2)
＝(a－b)(5x＋6y)(5x－6y).
方法总结：“一提、二套、三查”是分解因式的步骤
即有公因式的先提取公因式，然后套用公式，若多项式是两项，则考虑用平方差公式，若多项式是三项，则考虑用完全平方公式，最后检查乘积中每一个多项式的因式是否分解彻底.
【同步练习】
一、选择题
1．下列式子是完全平方式的是( D )
A．x2＋2x＋2 B．x2－xy＋y2
C．a2－2b＋b2 D．x2＋2x＋1
2．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是( C )
A．x2－4 B．x2－2x－1 C．x2－2x＋1 D．x2＋4x＋1
3．多项式x2－4x＋4因式分解的结果是( D )
A．x(x－4)＋4 B．(x＋2)(x－2) C．(x＋2)2 D．(x－2)2
4．下列各式能用完全平方公式分解因式的是( D )
A．a2＋2a－1 B．a2＋a＋1
C．a2－9 D．a2－a＋
5．利用乘法公式判断，下列等式何者成立( C )
A．2482＋248×52＋522＝3002 B．2482－248×48－482＝2002
C．2482＋2×248×52＋522＝3002 D．2482－2×248×48－482＝2002
6．把12m3－12m2＋3m进行因式分解正确的是( D )
A．3m(4m2－4m＋1) B．12m2(m－1)
C．3m(2m＋1)2 D．3m(2m－1)2
7．下列因式分解正确的是( D )
A．(x＋1)2＋2(x＋1)＋1＝(x＋1＋1)2 B．m4－8m2＋16＝(m2－4)2
C．a2b4－ab3＋b2＝ D．m4－1＝(m2＋1)(m＋1)(m－1)
8．把x4－2x2y2＋y4分解因式，结果是( D )
A．(x－y)4 B．(x2－y2)4 C．(x2－y2)2 D．(x＋y)2(x－y)2
9．如果ax2＋24x＋b＝(mx－3)2，则a，b，m的值是( A )
A．a＝16，b＝9，m＝－4 B．a＝64，b＝9，m＝－8
C．a＝－16，b＝－9，m＝－8 D．a＝16，b＝9，m＝4
10．下列各式分解因式错误的是( D )
A．9－6(x－y)＋(x－y)2＝(3－x＋y)2 B．4(a－b)2－12a(a－b)＋9a2＝(a＋2b)2
C．(a＋b)2－2(a＋b)(a－c)＋(a－c)2＝(b＋c)2 D．(m－n)2－2(m－n)＋1＝(m－n＋1)2
11．已知a－＝3，则a2＋的值是( D )
A．3 B．7 C．9 D．11
二、填空题
12．若a＋b＝5，则a2＋2ab＋b2＝ .
【答案】25
13．分解因式：
(1) 2 022x2－4 044x＋2 022＝________________；
(2) ay2＋6ay＋9a＝_________________.
【答案】2 022(x－1)2 a(y＋3)2
14．(1)若x2－8x＋k是完全平方式，则k＝ ；
(2)若x2＋kx＋16是完全平方式，则k＝ .
【答案】16 ±8
15．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知3a－b＝2，求代数式6a－2b－1的值．”可以这样解：6a－2b－1＝2(3a－b)－1＝2×2－1＝3.根据阅读材料，解决问题：若x＝2是关于x的一元一次方程ax＋b＝3的解，则代数式4a2＋4ab＋b2＋4a＋2b－1的值是______.
【答案】14
16．若4x2＋2(m－8)x＋25是关于x的完全平方式，则m＝ .
【答案】－2或18
17．多项式9x2＋1加上一个单项式后，能成为一个整式的完全平方，那么加上的单项式可以是________________________________________.
【答案】6x或－6x或x4或－9x2或－1
18．(1)多项式x2－2x＋4的最小值是 ；
(2)多项式－x2＋4x－7的最大值是 .
【答案】3 －3
19．若m＝5n＋3，则m2－10mn＋25n2的值为 .
【答案】9
三、解答题
20．分解因式：
(1)9x2＋6x＋1；
解：原式＝(3x＋1)2.
(2)4m2－12mn＋9n2；
解：原式＝(2m－3n)2.
(3)x2－xy＋y2；
解：原式＝.
(4)0.49m2－2.8mn＋4n2.
解：原式＝(0.7m－2n)2.
21．分解因式：
(1)－4a2－8ab－4b2；
解：原式＝－4(a＋b)2.
(2)－m2＋2m－2；
解：原式＝－(m2－4m＋4)
＝－(m－2)2.
(3)－x3y＋x2y－xy；
解：原式＝－xy
＝－xy.
(4)6a3b2－12a2b3＋6ab4.
解：原式＝6ab2(a2－2ab＋b2)
＝6ab2(a－b)2.
22．分解因式：
(1)－2a4b＋16a2b3－32b5；
解：原式＝－2b(a＋2b)2(a－2b)2.
(2)(a2－2a)2＋2(a2－2a)＋1.
解：原式＝(a2－2a＋1)2
＝(a－1)4.
23．已知长方形的长为a，宽为b，周长为16，两边的平方和为14.
(1)求此长方形的面积；
(2)求2ab3＋4a2b2＋2a3b的值．
解：由题意知a＋b＝8，a2＋b2＝14.(1)∵a＋b＝8，∴a2＋2ab＋b2＝64，∵a2＋b2＝14，∴ab＝25，答：长方形的面积为25
(2)2ab3＋4a2b2＋2a3b＝2ab(b2＋2ab＋a2)＝2ab(a＋b)2＝2×25×82＝3200
24．已知x－y＝－2，xy＝－，求－2x3y3＋x2y4＋x4y2的值．
解：－2x3y3＋x2y4＋x4y2
＝x2y2(x2－2xy＋y2)
＝x2y2(x－y)2
当x－y＝－2，xy＝－时，
原式＝×(－2)2
＝1.
25．若|m＋4|与n2－2n＋1的和为0，把多项式x2＋4y2－mxy－n分解因式．
解：∵|m＋4|＋n2－2n＋1＝0，
∴|m＋4|＋(n－1)2＝0，
∴m＝－4，n＝1，
∴x2＋4y2－mxy－n
＝x2＋4y2＋4xy－1
＝(x＋2y)2－1
＝(x＋2y＋1)(x＋2y－1)．
26．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．
①分组分解法：
例如：x2－2xy＋y2－4＝(x2－2xy＋y2)－4＝(x－y)2－22＝(x－y－2)(x－y＋2)．
②拆项法：
例如：x2＋2x－3＝x2＋2x＋1－4＝(x＋1)2－22＝(x＋1－2)(x＋1＋2)＝(x－1)(x＋3)．
③十字相乘法：
例如：x2 ＋6x－7.
解：原式＝(x＋7)(x－1)．
仿照以上方法，按照要求分解因式：
(1)(分组分解法)4x2＋4x－y2＋1；
(2)(拆项法)x2－6x＋8；
(3)(十字相乘法)x2－5x＋6＝_________________.
解：(1)原式＝(4x2＋4x＋1)－y2＝(2x＋1)2－y2＝(2x＋y＋1)(2x－y＋1)．
(2)原式＝x2－6x＋9－1＝(x－3)2－1＝(x－3－1)(x－3＋1)＝(x－4)(x－2)．
(3)(x－2)(x－3)
27．阅读材料：
如果一个数可以写成a2＋b2的形式，我们就把这个数叫做“和数”，例如5＝22＋12，所以5是“和数”；再如M＝a2＋2ab＋2b2＝(a＋b)2＋b2，所以M也是“和数”．
解决问题：
(1)已知29是“和数”，请将它写成a2＋b2(a，b是整数)的形式_______________；
(2)若N＝x2－6x＋4y2＋8y＋k是“和数”，试求出k的值并说明理由；
(3)如果m，n都是“和数”，试说明mn也是“和数”．
解：(1)29＝25＋4＝52＋22
(2)N＝x2－6x＋4y2＋8y＋k＝x2－6x＋9－9＋(2y)2＋2×2×2y＋22－4＋k＝(x－3)2＋(2y＋2)2＋k－13，当k－13＝0，k＝13时，N＝x2－6x＋4y2＋8y＋k是“和数”
(3)∵m，n都是“和数”，可设m＝a2＋b2，n＝c2＋d2，mn＝(a2＋b2)(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2＝a2c2＋b2d2＋2abcd－2abcd＋a2d2＋b2c2＝(ac＋bd)2＋(ad－bc)2，∴mn也是“和数”
