2023~2024学年度第一学期期中考试
高一数学试题
注意:本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．请将答案填涂在答题卡上，直接写在试卷上不得分.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题只有一个选项符合题意.
1.设集合 A 1,2 ,B {1,2,3,4}，则 BA （ ）
A． 1，2 B． 2 C． 1，2，3，4 D． 3,4
2.命题“ x R， x2 ≥ 0 ”的否定是（ ）
A.不存在 x R， x2 0 B. x 20 R， x 0 C. x R， x
2 0 D. x0 R， x 20 ≥ 0
3.已知 A 0，1，2 ，B 0，1，2，2，4 ，下列对应关系不．能．作为从 A到 B的函数的是（ ）
A. f : x 1 y x f : x y x 2B. C. f : x y D. f : x y x
x
4.不等式 x(x 2) x(3 x) 1的解集为（ ）
A． ( 1 ,1) B． ( 1 1, ) C． ( 1 1 , ) (1, ) D． ( , 1) ( , )
2 2 2 2
5.设 f (x) 3为奇函数，且当 x≥ 0 时， f (x) x x，则当 x 0 时， f (x) （ ）
x3A. x 3B. x x C. x3 x 3D. x x
6.已知关于 x的不等式 ax2 bx c 0的解集是 ( ,1) (3, )，则不等式
bx2 ax c≥0的解集是（ ）
A. 1,
3 3 3 3
B. ,1
C. ( , 1, ) D. ( , 1 , ) 4 4 4 4
7.已知函数 f (x) 是偶函数，对于 x1, x2 (0, ) ，当 x2 x1 时，都有
f (x2 ) f (x1) (x2 x1) 0 恒成立，设 a f ( 1) ，b f ( 2)，c f (4)，则 a，b，
c的大小关系为（ ）
A. a b c B. c b a C. b c a D. b a c
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8.17 世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，
对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞
“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知 lg 2 0.3010 ，
lg3 0.4771 N 45，设 ( 3)40 ，则 N 所在的区间为（ ）
A. (1010 ,1011) 11 12B. (10 ,10 ) C. (1012 ,1013) D. (1013 ,1014 )
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.以下四个关系式表达正确的有（ ）
A.0 B. R C.N* Z D. A A B
10.已知 a,b,c,d 都是正数，且 a b,c d，则下列关系正确的有（ ）
1 1 a c a d
A. a c b d B. a c b d C. D.
ac bd b c b d
11.下列运算中正确的是（ ）
13
3 2 log 8
A. 当 a 0时， a a3 a 6 B. 4 log8 5log4 5
1 1 1 log 7
C. 若 a 2 a 2 3，则 a a 1 14 . D. ( ) 3 ln(ln e) 7
3
12. 2已知 a,b 0 ，a b 1，则下列选项一定正确的是（ ）
1
A. a b的最大值为 B.a b≤ 2 C. b 2a 1 4的最大值为 2 D. 2 ≥ 92 b a
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
13.对于集合 A，B，我们把集合 x | x A，且x B 叫做集合 A与 B的差集，记作 A B .
若 A {1,2,3,4,5}， B {4,5,6,7,8}，则 B A =__________．
14.“ x y 0 ”是“ x2 y2 ”的__________.（选“充分不必要条件”、“必要不充分条
件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”之一填空）
15.函数 f (x) x 2 1 2 (x 3)
0 的定义域为__________.
x 4
1
+1, x c,16.已知函数 f (x) x 若 f (x) 的值域为 1,5 ，则实数 c的取值范
2 x 2x+2,c≤ x≤3.
围是_________.
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四、解答题：本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）
已知 A x |1≤ x≤ 4 ， B x |m≤ x≤m 2 ，其中m R .
（1）当m 3时，求 A B和 A B；
（2）若 A B B，求实数m的取值范围.
18．（本小题满分 12 分）
1 3 1
计算：（1）83 e 1 0 ( 2) 2 2 8 4 4 2 ；
lg100 e ln3（2） log 5 25 log 3 32 log 2 3 ．
19.（本小题满分 12 分）
2
已知命题 p :函数 y x 5x m的两个零点均在 (0, )上，命题 q : m a 2．
（1）若 p是真命题，求实数m的取值范围；
（2）若q是 p的充分且不必要条件，求实数 a的取值范围．
20．（本小题满分 12 分）
（1）当 a 0 2时，求不等式 ax (2a 1)x 2≥2x的解集；
9 1
（2）若正数 a，b满足 a b 1，证明： ≥16．
a b
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21．（本小题满分 12 分）
无人机被视为衡量科技实力、创新能力和高端制造水平的重要标志，2022 年我国民用
无人机总产值超过 300 亿元，我国无人机产业呈现出蓬勃发展的态势.现有某企业销售甲、
乙两种小型无人机所得的利润分别是 P (单位：万元)和Q (单位：万元)，它们与投入资金
t 1 3(单位：万元)的关系有经验公式 P t，Q t .今将 3 万元资金投入经营甲、乙两
5 5
种小型无人机，其中对甲无人机投资 x (单位：万元).
（1）试用 x表示总利润 y (单位：万元)，并写出 x的取值范围.
（2）求当 x为多少时，总利润 y取得最大值，并求出最大值.
22．（本小题满分 12 分）
(x 1)(x a) 1
设 a为实数，已知函数 f (x) 2 为偶函数．x x
（1）求 a的值；
（2）判断 f (x) 在区间 (0, )上的单调性，并加以证明；
（3）已知 为实数，存在实数m，n满足0 n 1 1 m ，当函数 f (x) 的定义域为 , 时， m n
函数 f (x) 的值域恰好为[2 m, 2 n]，求所有符合条件的 的取值集合．
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2023~2024 学年度第一学期期中考试
高一数学试题答案
一、单项选择题：1.D; 2.B; 3.C; 4.A; 5.D; 6.B; 7.A; 8.C
二、多项选择题：9.BD 10.BCD 11.AD 12.ABD
三、填空题： 13. {6，7 ，8} 14.充分不必要条件 15. (2,3) (3, ) 16. 1,
1
4
四、解答题：
17（1）当m 3时， A B= x |3≤ x≤4 A B x |1≤ x≤5
， …………5分；
m≥1
(2)若 A B B，则 B A，则 ，解得1≤m≤ 2
m 2≤ 4 ……………
10分
1 3 3 1
18. 1 (23（ ）原式 )3 1 (22 ) 2 2 4 2 4 2 1 8 2 11
…………6分；
（2）原式 lg102 3 log 1 52 log 253 log2 3 2 3 4 5 4 .
52 …………12 分.
2 =25 4m 0
19.（1）因为函数 y x 5x m的两个零点均在 (0, )上，所以 ，所
m 0
以0 25 25 m ，所以实数m的取值范围为0 m
4 4 …………5 分；
（2）因为 m a 2，所以 a 2 m a 2。因为q是 p的充分且不必要条件，
a 2≥0
17
所以 a 2 25
且两等号不同时成立， 2≤ a≤ ，所以实数 a 的取值范围为
≤ 4 4
2 a 17≤ ≤ 。
4 …………12 分.
20.（1） ax2 (2a 1)x 2 2x 2，所以 ax (2a 1)x 2 0
所以 a(x 1 )(x 2) 1 1 1 0。因为 a 0，所以当 a 时， 2，原不等式解集为 x x
a 2 a a
或 x 2 1 1；当 a 时， 2，原不等式解集为 R；当0 a 1 1 时， 2，原不等式解
2 a 2 a
集为 x x 2或 x 1 。
a
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a 1 1 1综上所述：当 时，原不等式解集为 x x 或 x 2 ；当 a 时，原不等式解集2 a 2
1 1
为 R；当0 a 时，原不等式解集为 x x 2或 x .2 a …………6 分；
（2）证明：∵ a b 1， a 0,b 0，
9 1 9 1 (a b) 10
9b a 9b a
≥10 2 16，
a b a b a b a b
9b a
当且仅当 ，又a b 1 a 3 b 1，即 ， 时等号成立，
a b 4 4
∴原不等式成立．(不给出等号取得的条件扣 2分)
…………12 分.
1 3
21.(1) y x 3 x (0≤ x≤3) ；(不给 x范围或给错扣 1 分)
5 5 …………4 分；
2 1 3 1 2 3
(2)设 3 x m，则0≤m≤ 3 且 x 3 m ， y x 3 x (3 m ) m
5 5 5 5
1
(m2 3m 3) 1 3 21 3 3 3 (m )2 ，所以当m ，即 3 x ，x 时， y的
5 5 2 20 2 4 4
21 3 9
最大值为 万元.故，应对甲无人机投资 万元，应对乙无人机投资 万元，总利润最大，
20 4 4
21
最大为 万元.
20 …………12 分.
x 1 x a 1
22.（1）函数 f x 2 的定义域为 ( , 0) (0, )，因 f (x)是偶函数，x x
x 1 x a x 1 x a即 f x =f x 1 1 ，因此 2 2 ，整理得x x x x
x 1 x a x 1 x a ，即 2 a 1 x 0，于是得 a 1，所以 a 1 .
……2分；
1 1
（2）由（1）知， f x 1 2 ，显然函数 f (x)在 (0, )上单调递增，x x
2
s, t (0, ), t s f (s) f (t) 1 1 1 1 s t
2 s t s t
，则 2 2 (s t st) ，s s t t s2t 2 st s2t 2
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因 s t 0，则 s t st 0， s t 0，即 f s f t 0，
因此 f x 在 0, 上单调递增.
…………6 分；
1 1 1 1
（3 ）由（2）知， f x 在 , 上单调递增，又函数 f (x)在 , 上的值域恰好为 m n m n
f (
1 ) 2 m 2
[2 m, 2 n] m m (1 )m 1 0，于是得 ，有 2 ，
f (1) 2 n n (1 )n 1 0
n
2
即关于 x 的方程 x 1 x 1 0 在 0, 上有两个不等的正根 m ， n ，则
Δ (1 )2 4 0
m n 1 0 ，解得 3，所以 的取值集合是{ | 3} .
…………12 分.
mn 1 0
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