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14.3因式分解课时训练-2023-2024学年八年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．若，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．9 D．12
2．的分解因式结果中，含有的因式是( )
A． B． C． D．
3．实数a，b满足，，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．4
4．下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
（1）（2）（3）（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列何者为多项式的因式（ ）
A． B． C． D．
6．已知可以被10到20之间的某两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．12，14 B．13，15 C．14，16 D．15，17
7．多项式的公因式是（ ）
A．a B． C． D．
8．把提取公因式后，另一个因式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．因式分解： ．
10．设，则 ．
11．已知多项式分解因式后为，则m的值为 ．
12．把多项式分解因式的结果是 ．
13．因式分解 ．
14．把多项式分解因式的结果是 ．
15．已知，则多项式的值是 ．
16．若一个三位正整数（各个数位上的数字均不为满足，则称这个三位正整数为“吉祥数”．对于一个“吉祥数” ，将它的百位数字和个位数字交换以后得到新数，记．如：满足，则216为“吉祥数”，那么，所以．则最小的“吉祥数”是 ；对于任意一个“吉祥数”m，若能被7整除，则满足条件的“吉祥数”m的最大值是 ．
三、解答题
17．把下列多项式分解因式
(1)；
(2)．
18．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若，求m和n的值．
解：∵
∴
∴
∴
∴
问题：
(1)若，求的值．
(2)已知a，b，c是的三边长，满足，且c是中最长的边，求c的取值范围．
19．根据已学知识，我们已经能比较有理数的大小，下面介绍一种新的比较大小的方法：
①，；
②，；
③，．
像上面这样，根据两数之差是正数、负数或，判断两数大小关系的方法叫做作差法比较大小．
(1)请将上述比较大小的方法用字母表示出来：
若，则__________；若，则__________；若，则__________．
(2)请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写答案）．
①__________；
②当时，__________；
③当时，__________．
(3)代数式，，试比较代数式、的大小，并说明理由．
20．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①，利用配方法求代数式的最小值．
解：
（先加上16，再减去16）
（运用完全平方公式）
，当时，有最小值．
②用配方法分解因式：
(1)若，求的最小值；
(2)请把下列多项式因式分解：
①
②
21．（1）在分解因式时，小婧和小玥对一道题产生了分歧，下面是她们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．
题目：将分解因式．
小婧： 原式……第1步 ……第2步 ……第3步 小玥： 原式…第1步 ……第2步 ……第3步
任务一：经过讨论，她们发现小玥的解答正确，她第1步依据的乘法公式用字母表示为________；小婧的解答错误，从第______步开始出错，错误的原因是_________；
任务二：按照小婧的思路，写出正确的解答过程．
（2）先化简，再求值：，其中，．
参考答案：
1．C
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握完全平方公式、提公因式法，将原式变形为是解决本题的关键．
【详解】解：
，
∵，，
∴原式，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查因式分解，利用添项和分组分配法分解因式即可得解，掌握分组分配法是解题的关键．
【详解】解：∵
，
∴的分解因式结果中，含有因式，
故选：C．
3．C
【分析】此题考查了因式分解的应用，提公因式法分解因式，将利用因式分解变形为，然后将代入得到，开方即可求解，解题的关键是掌握提公因式法分解因式．
【详解】∵，
∴，
∴
∴
∴．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了因式分解中的公式法，涉及完全平方公式以及平方差公式，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：，故（1）符合题意；
不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；
，故（3）符合题意；
，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；
所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），
故选：B
5．C
【分析】本题考查了用个平方差公式因式分解，根据平方差公式进行因式分解，即可解答．
【详解】解：，
∴是多项式的因式．
故选：C．
6．D
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解．
【详解】解：由题意得：
，
∴这两个数是15和17；
故选D．
7．A
【分析】本题考查了公因式的定义，根据公因式的定义判断即可．确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．掌握确定公因式的方法是解题的关键．
【详解】解：的公因式是a．
故选：A．
8．C
【分析】此题考查了因式分解的方法，利用提公因式法分解因式即可．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．
【详解】解：
∴把提取公因式后，另一个因式是．
故选：C．
9．
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解．解题的关键是掌握提公因式法和公式法的应用．
【详解】解：，
故答案为．
10．6
【分析】本题主要考查实数的运算及因式分解，先对所求代数式因式分解，然后将代入运用平方差公式进行计算即可；灵活选用计算方法是解题的关键．
【详解】解：；
故答案为6．
11．
【分析】此题考查了因式分解和整式整式乘法的关系，将展开为，然后根据题意得到即可求解，解题的关键是掌握因式分解和整式整式乘法是互逆关系．
【详解】
∵多项式分解因式后为，
∴
∴．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了综合提公因式法，公式法进行因式分解，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
先提公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是正确运用完全平方公式进行分解．
【详解】解：，
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，先正确找出公因式，在根据平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
15．3
【分析】此题主要考查了平方差公式，正确掌握平方差公式是解题的关键．直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：3
16． 117 351
【分析】本题考查整式的加减，因式分解，解题的关键是：根据题意最小的“吉祥数”百位上是1，十位上是1，则个位是7即可解答；设，其中，则，表示出，，2，，然后把依次代入找出符合题意得即可解答．
【详解】解：，各个数位上的数字均不为0，这个三位数要最小，
百位上是1，十位上是1，
个位是7，
最小的“吉祥数”是 117；
设，其中，则，
，
，且，，均不为0，
，2，，
当时，，不能被7整除，不合题意，
当时，，不能被7整除，不合题意，
当时，，不能被7整除，不合题意，
当时，，不能被7整除，不合题意，
当时，，能被7整除，符合题意，
，
，，，
或252或351，
当时，，不能被7整除，不合题意，
当时，，不能被7整除，不合题意，
满足条件的“吉祥数” 的最大值是351．
故答案为：117，351．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解，理解并掌握因式分解的常用方法是解题关键．
（1）用提公因式法分解即可；
（2）先将括号去掉，合并同类项，再用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，非负数的性质，三角形三边的关系，通过完全平方公式把等式左边配方成两个完全式，等式右边为0的等式是解题的关键．
（1）仿照题意得到，由此求出x、y的值即可得到答案；
（2）仿照题意得到，由此求出a、b的值，再根据三角形三边的关系进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c是的三边长，且c是中最长的边，
∴，即，
∴．
19．(1)，，
(2)，，
(3)
【分析】本题主要考查作差法比大小，
（1）直接依据题意利用作差的结果的正，负或，直接可以进行比大小．
（2）利用第小问的提示，进行知识迁移即可比较两个多项式的大小．
（3）直接根据题目中第小问的提示，先作差，再判定符号，最后判定大小，即可得出代数式与的大小关系．
【详解】（1）解：∵；
∴；
∵；
∴；
∵；
∴．
（2）∵；
∴；
；
∵；
∴；
∴；
③；
∵；
∴；
∴．
（3）由题可知，；
；
；
；
则；
；
；
；
∴（当时取等号）．
20．(1)
(2)①；②
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，分解因式，正确理解题意并熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）仿照题意将原式进行配方得到，由，可得当时，有最小值；
（2）仿照题意对原式先平方，再利用平方差公式进行分解因式即可．
【详解】（1）解：
，
∵，
∴
当时，有最小值；
（2）解：①
②
．
21．（1）任务一：，1，括号前是负号，去括号时没有变号；任务二：见解析；（2），
【分析】本题考查了因式分解的基本步骤．
（1）根据完全平方公式，以及平方差公式进行计算，逐一判断即可解答；
（2）先利用完全平方公式和多项式乘多项式展开，再合并同类项，最后将a，b代入即可解答．
【详解】解：（1）任务一：；
小婧的解答错误，从第1步开始出错；
错误的原因是：括号前是负号，去括号时没有变号；
故答案为：；1；括号前是负号，去括号时没有变号；
任务二：原式
；
（2）原式
；
当，时，原式．
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