2023-2024学年辽宁省协作校高二上学期期中大联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知向量，，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
2.已知点，，若直线与线段相交，则的取值范围是( )
A. B. 或
C. 或 D.
3.已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为( )
A. B. C. D.
4.设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
5.故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶如图所示的五面体的底面为一个矩形，，，，棱，，分别是，的中点求直线与平面所成角的正弦值( )
A. B. C. D.
6.已知圆的半径为，圆心在直线上点，若圆上存在点，使得，则圆心的横坐标的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知直四棱柱，，，侧棱，，分别是与的中点，点在平面上的射影是的重心，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
8.已知、分别为双曲线的左右焦点，双曲线上的点到原点的距离为，且，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，，则下列正确的是( )
A. B.
C. ， D. 的长为
10.已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是( )
A. 当时，曲线是椭圆
B. 当或时，曲线是双曲线
C. 若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
D. 若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
11.如图，长方体中，，，是侧面的中心，是底面的中心，点在线段上运动，则下面选项正确的是( )
A. 四面体的体积为定值
B. 点到平面的距离
C. 异面直线与所成的角为
D. 存在点，使得直线与平面所成的角为
12.已知，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点不在轴上，外接圆的圆心为，半径为，内切圆的圆心为，半径为，直线交轴于点，为坐标原点，则( )
A. 最大时， B. 的最小值为
C. D. 的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.若直线与直线平行，则 。
14.已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程为 。
15.已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作切线，切点为，则的最小值为 ．
16.三棱锥中，，，两两垂直，，点为平面内的动点，且满足，则三棱锥体积的最大值 ，若记直线与直线的所成角为，则的取值范围为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
分别求满足下列条件的圆的标准方程：
经过点，，圆心在轴上
经过直线与的交点，圆心为点．
18.本小题分
已知直线的方向向量与直线的方向向量共线且过点
求的方程
若与抛物线交于点、，为坐标原点，设直线，直线的斜率分别是，求及的值．
19.本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，，，分别是，上的点，且满足将沿折起，得到如图所示的四棱锥．
设平面平面，证明：
若垂直于点，，求直线与平面所成角的正弦值．
20.本小题分
如图，在正四棱台中，
证明：平面
若正四棱台的侧棱长为，过直线的平面与平行，求平面与平面夹角的正弦值．
21.本小题分
设圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，记圆的圆心轨迹为
求的方程
过曲线上一点作两条直线，，且点，点都在曲线上，若直线的斜率为，记直线的斜率为，直线的斜率为，试探究是否为定值，若为定值请求出值，并说明理由。
22.本小题分
已知为坐标原点，椭圆的两个顶点坐标为，，短轴长为，直线交椭圆于，两点，直线与轴不平行，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．
求证：直线恒过定点
斜率为的直线交椭圆于，两点，记以，为直径的圆的面积分别为、，的面积为，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量的数量积的运算，向量的坐标运算，向量的模，向量共线的充要条件，考查计算能力．属于基础题．
根据向量数量积、平行、垂直、模等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解： ，选项不正确．
，所以选项错误．
所以选项不正确．
，所以选项正确．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线斜率公式的应用，直线过定点问题，是较易题．
直线：恒过定点且直线斜率，然后结合直线的斜率公式及直线倾斜角与斜率变化关系可求．
【解答】
解：直线：，可化为，则直线过定点，
如图，
，，
直线：与线段相交，
则直线的斜率的取值范围是或．
故或．
解得或．
故选C．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了椭圆定义的应用，考查了运算求解能力，属于基础题．
由椭圆的定义可得，，由勾股定理可得，即可求得三角形面积．
【解答】
解：由题意，椭圆，所以，所以，
又，所以，
因为，
所以，
所以，
故的面积．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了共线向量问题，考查对应思想，是基础题．
根据共线向量得到关于的方程组，解出即可．
【解答】解：由题意，若，，三点共线，
则，
，，，
，
，解得：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与平面所成角的向量求法，考查面面垂直的判定及性质定理，属于较难题．
证明以及，根据面面垂直的判定定理可得平面平面，在平面中，过作，为垂足，则平面，以为坐标原点，过点作，交于，交于，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得，求得平面的法向量，再利用向量的夹角公式即可求得答案．
【解答】
解：因为，为的中点，
所以，
在矩形中，，，分别为，的中点，
故，
所以，
又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
在平面中，过作，为垂足，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
以为坐标原点，过点作，交于，交于，
以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，
由题意得，，
，
所以，，，，
所以，
，．
设平面的法向量，
则
即，
令，得为平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
故选C．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆与圆的位置关系及应用，属于中档题．
由题意可设圆的圆心，设，由 可得，则点在以原点为圆心，为半径的圆上，继而可知圆与圆有公共点，再利用圆与圆相交的性质建立关于的不等式，解不等式即可．
【解答】解：圆的圆心在直线上，
则可设圆的圆心，
则圆：，
设，
因为，
所以，
整理得，
所以点在以原点为圆心，为半径的圆上，
所以点为圆与圆的交点，
即圆与圆有公共点，
所以，
整理得到，
解得，
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了棱柱的结构特征，线面垂直的性质，线面垂直的向量表示和点面距离的向量求法，属于中档题．
利用直棱柱的结构特征，结合题目条件和线面垂直的性质得、、两两垂直，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系，设，利用线面垂直的向量表示得，再利用点面距离的向量求法，计算得结论．
【解答】
解：在直四棱柱中，因为，，所以．
因为平面，、平面，所以、，因此、、两两垂直．
以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系如下图：
设．
因为，、分别是、的中点，所以，，，，
因此的重心的坐标为，所以，，，．
设平面的法向量为，则由得，取得，，
因此是平面的一个法向量．
因为点在平面上的射影是的重心，所以，因此，解得，
所以，，因此点到平面的距离为．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，由，得，由双曲线的定义可得，，又，则，即可得出答案．
【解答】
解：设为双曲线的下焦点，为双曲线的上焦点，如图，
因为
所以，
因为，
所以，，
由题易知，，
因为，
所以，
则
化简整理得，
又，，即．
故选C．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间向量基本定理、线性运算和数量积，属于中档题题．
根据已知条件，利用空间向量基本定理、线性运算和数量积逐个判断即可．
【解答】解：由题意，得，故A正确；
因为，故B错误；
因为
，，
，，
故C正确；
，
，故D错误．
故选AC．
10.【答案】
【解析】【分析】本题考查了双曲线和椭圆的标准方程的定义及其运用，属于基础题．
根据双曲线和椭圆的标准方程的定义结合选项进行分析即可得到答案．
【解答】
解：当曲线是椭圆时，解得或，故A错误；
当曲线是等轴双曲线时，，解得或，故B正确；
若曲线是焦点在轴上的双曲线，则解得，故C正确；
若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查棱锥的体积公式，考查点面距离的向量求法，考查直线与直线所成角的向量求法，考查直线与平面所成的向量求法，考查线面平行的判定，考查长方体的结构特征，属于较难题．
对于，易证得平面，可知点到平面的距离为定值，再结合棱锥的体积公式即可判断；以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，利用点面距离的向量求法、直线与直线所成角的向量求法、直线与平面所成角的向量求法即可判断、、选项．
【解答】
解：对于，长方体中，，
又平面，平面，
平面，
上任一点到平面的距离均相等，设为，
点在线段上运动，
点到平面的距离为定值，
则，
显然为定值，又为定值，
为定值，即四面体的体积为定值，故A正确；
对于，以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，
，，
设平面的一个法向量，
又，
则
取，则，，
则是平面的一个法向量，
则点到平面的距离为，故B正确；
对于，结合选项建立的空间直角坐标系，
有，
，
设异面直线与所成的角为，
则
，
则异面直线与所成的角不为，故C错误；
对于，结合选项建立的空间直角坐标系，
点在线段上运动，
设，
，
由选项可知是平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
，
解得，
即存在点，使得直线与平面所成的角为，故D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的性质，基本不等式，向量的应用，正弦定理的综合应用、二倍角正弦公式、二倍角余弦公式、利用正弦定理求三角形外接圆半径，属于较难题．
对于，根据当在短轴的端点时，取得最大，再根据面积相等代入进而即可求解；对于，然后结合平面向量数量积的几何意义与基本不等式即可求解；对于，运用角平分线定理即可求解；对于，由正弦定理可得，再又结合可得，再根据题意即可求解．
【解答】
解：由椭圆方程可得，，
对于，设，，则，且，
所以，
则当在短轴的端点时，取得最大，且最大值为，
又，
所以当最大时，，即，故A错误；
对于，过点作，垂足为点，
又点为外接圆的圆心，
即为三条边的中垂线的交点，则点为的中点，
由，
又，
同理，
所以，
当且仅当时等号成立，即的最小值为，故B正确；
对于，由内切圆的圆心为，
则，分别是，的角平分线，
则由角平分线定理可得，
即，
所以，故C正确；
对于，设，，，
由正弦定理可得，
即，
则，
即，
因为，
又结合有，
所以，即，
所以，
又因为当在短轴的端点时，最大，此时，，
所以，
即
所以
故，故D正确．
故选BCD．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
利用直线平行的性质列方程直接求解．
【解答】
解：直线与直线平行，
，解得 ，
经检验时，两直线平行且不重合，符合题意，
故实数．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查轨迹的求法，设，由，化简即可答案．
【解答】
解：设，因为，，
所以，整理得，
所以曲线的方程为．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的切线长，考查抛物线的方程，考查两点间的距离公式及二次函数的最值，属于中档题．
由勾股定理可得，设，可得，利用二次函数的性质即可求解．
【解答】
解：由题意可得，，
则．
设，则，
所以当，即时，．
所以，即的最小值为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间动点轨迹问题，涉及三棱锥的最值、线面成角的范围问题，属较难题．
过点作平面于点，由题意可得为等边三角形，即为其中心，由的值可得点轨迹为以为圆心，以为半径的圆，结合图形可得点位于线段于圆的交点处时，三棱锥的体积取得最大值；过作直线于，连接，分析可得，根据范围即可得范围．
【解答】
解：过点作平面于点，
连接并延长交于，
、、两两垂直，且，
，为则正的中心，
中，，，
则，
又点为平面内的动点，，
则，
故点在平面内，以为圆心，以为半径的圆上，
故当点位于线段于圆的交点处时，三棱锥的体积取得最大值，
最大值为
．
过作直线于，连接，
中，，又，故，
故直线与直线的所成角，即为与所成的角，即，
平面，平面，，
又，，、平面，
故平面，又平面，，
中，，
，
故答案为，
17.【答案】解：设圆的方程为，
由题意得：
解得：
所以圆的标准方程为．
联立与，
解得：，所以交点为，
则圆的半径为，
所以圆的标准方程为．
【解析】本题主要考查求圆的标准方程的求法，关键是确定圆心和半径，属于基础题．由题意，设圆的方程为，用待定系数法求得、的值，从而得到圆的方程．
先求出直线与的交点为的坐标，可得半径，从而求得圆的方程．
18.【答案】解：直线的斜率为，
直线的方程为即．
设，，由，
得：，
设点到直线距离为，，由得，
则，而，
得
故．
【解析】本题考查了直线的点斜式方程，直线与抛物线位置关系，两条直线垂直的判定，属于中档题。
利用直线的点斜式方程即可；
设，，利用韦达定理得的值，即可求解，设点到直线距离为，由即可求解．
19.【答案】解：，平面，平面，
平面，
平面，平面平面，
；
由图，得，，
又，所以以为坐标原点，
，，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，
则，
令，得，，故，
设与平面所成角为．
，．
直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题考查线面平行的性质和直线与平面所成角的向量求法，属于中档题．
先证明平面，再由线面平行的性质即可得证；
建立空间直角坐标系，得出平面的一个法向量，利用空间向量求解即可．
20.【答案】证明：连接，，
设正四棱台的上、下底面的中心分别为，，
则，分别为，的中点，连接．
因为是正四棱台，所以平面，又平面，
所以．
因为为正方形，所以，
又，平面，
所以平面，
设，的中点分别为，，连接，，易知，，两两垂直，
则以为坐标原点，分别以，，的方向分别为轴，轴，轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由，得，
得，又因为，
所以，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则
取，则，，所以，
设平面的法向量为，
则
取则，，
所以，
设平面与平面的夹角为，
则，．
所以平面与平面夹角的正弦值为．
【解析】本题考查线面垂直的判定、利用空间向量求面面的夹角，属于中档题．
连接，，设正四棱台的上、下底面的中心分别为，，则，分别为，的中点，连接推导出，，然后再由线面垂直的判定定理可得平面
设，的中点分别为，，连接，，易知，，两两垂直，则以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可．
21.【答案】解：圆与两圆，中的一个内切，另一个外切，
则，
所以的轨迹是以，为焦点，为实轴长的双曲线，
，，，，
其标准方程
设，，直线方程：
联立，得
将代入得
【解析】本题主要考查轨迹方程的求解，双曲线的定义及其应用等知识，属于中档题．
根据几何意义即可求得轨迹方程；
设出直线的方程，与双曲线方程联立，结合韦达定理与斜率公式即可求解．
22.【答案】解：由题意可得，，
则，
则椭圆方程为：，
设，，
直线与轴不平行，
因此可设直线方程为，
联立直线的方程与椭圆方程
消去并整理得：，
则
，，
因在椭圆上，有，
直线斜率即为，
则．，
则，
即，
而
，
解得，
此时，直线恒过点，
所以直线恒过定点
设直线方程为，
联立直线的方程与椭圆方程
消并整理得，
设，，
，
即，
，，
设直线的斜率为，点到直线的距离为，
，
又，，
，
．，
当且仅当，即时等号成立，
的最大值为．
【解析】本题考查椭圆的标准方程，考查直线过定点问题，考查直线与椭圆的位置关系及应用，考查椭圆中三角形的面积问题，属于较难题．
由题意易得椭圆方程，设，，由题意易得，则有，设直线方程为，与椭圆方程联立并结合韦达定理即可求出的值，继而可证得直线恒过定点；
由题意设，，设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理和点到直线距离公式即可得出，易求出，再利用基本不等式即可求出的最大值．
第2页，共24页
