沈阳重点中学2023-2024学年上学期第二次月考
高二（25届）数学试题
说明：1.测试时间：120分钟总分：150分
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上
一 选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知，则（ ）
A. B. C. D.
2.如图所示，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是（ ）
A.-1 B.1 C. D.
3.若展开式中存在常数项，则正整数的最小值是（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
4.已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值（ ）
A. B. C.±1或 D.±1或
5.2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游.除常见的五个旅游热门地北京 上海 广州 深圳 成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲 乙 丙 丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A.1800 B.720 C.1080 D.360
6.已知直线与轴 轴分别交于两点，动直线和交于点，则的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.若，则被8整除的余数为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
8.如图所示，已知抛物线过点，圆.过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，则的最小值为（ ）
A.23 B.42 C.12 D.13
二 多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心为圆心的圆形轨道I上绕月球飞行，然后在点处变轨进入以为一焦点的椭圆轨道II上绕月球飞行，最后在点处变轨进入以为圆心的圆形轨道III上绕月球飞行.设圆形轨道I的半径为，圆形轨道III的半径为，则下列结论中正确的是（ ）
A.轨道II的焦距为
B.轨道II的长轴长为
C.若不变，越大，轨道II的短轴长越小
D.若不变，越大，轨道II的离心率越大
10.将4个编号分别为的小球放入4个编号分别为的盒子中.下列说法正确的是（ ）
A.共有种放法
B.每个盒子都有球，有种放法
C.恰好有一个空盒，有种放法
D.每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同有种放法
11.如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（ ）
A.与所成角为
B.平面截正方体所得截面的面积为
C.平面
D.若，则三棱锥的体积最大值是
12.数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论，其中结论正确的有（ ）
A.曲线围成的图形的面积是
B.曲线围成的图形的周长是
C.曲线上的任意两点间的距离不超过2
D.若是曲线上任意一点，则的最小值是
三 填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.）
13.正方体的棱长为分别为的中点，则平面与平面的距离为__________.
14.已知椭圆的离心率为，直线与椭圆交于两点，直线与直线的交点恰好为线段的中点，则直线的斜率为__________.
15.现有7名志愿者，其中只会俄语的有3人，既会俄语又会英语的有4人.从中选出4人担任“一带一路”峰会开幕式翻译工作，2人担任英语翻译，2人担任俄语翻译，共有__________种不同的选法.
16.已知椭圆，点是椭圆的左 右焦点，点是椭圆上一点，的内切圆的圆心为，若，则椭圆的离心率为__________.
四 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10分）如图，一个正方形花圃被分成5份.
（1）若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红 黄 蓝 绿4种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？
（2）若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？
18.（本小题12分）已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由.
19.（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面底面为棱的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
20.（本小题12分）已知是正整数，的展开式中的系数为17.
（1）当展开式中的系数最小时，求出此时的系数；
（2）已知的展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，求.
21.（本小题12分）在三棱柱中.四边形为菱形，，点 分别为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，点为的中点，，则在线段上是否存在一点，使得二面角为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
22.（本小题12分）动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜率均存在，并分别记为，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.
数学试题答案
一 单选题：
1-4CBAD 5-8CBBD
二 多选题：
9.ABD 10.BC 11.BCD 12.ABD
三 填空题：
13. 14.60 15. 16.
四 解答题
17.解：（1）先对部分种植，有4种不同的种植方法；
再对部分种植，有3种不同的种植方法；
对部分种植进行分类：
①若与相同，有2种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，
共有（种）；
②若与不同，有2种不同的种植方法，有1种不同的种植方法，有2种不同的种植方法，共有（种）；
综上所述，共有96种种植方法；
（2）将7个盆栽分成5组，有2种分法：
①若分成2-2-1-1-1的5组，有种分法；
②若分成3-1-1-1-1的5组，有种分法；
将分好的5组全排列，对应5个部分，则一共有种分法.
18.解：（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为.
（2）假设直线过定点，设与联立，得，
设.
由，解得，
过定点.
19.解：（1）证明：平面底面，平面底面，
又平面底面，又底面，
，又底面为正方形，则，
平面平面，又平面，
平面平面；
（2）解：由（1）知，底面，如图以点为原点建立空间直角坐标系，
不妨设，可得，
由为棱的中点，得
设为平面的法向量，则，即，
不妨令，可得为平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以，直线与平面所成角的正弦值为；
20.解：（1）根据题意得，即，①
中的的系数为.
将①变形为代入上式，得，
故当或时，的系数的最小值为64，
此时，的系数为.
（2）由（1）知，所以可得，再根
据
即求得，此时，所以.
21.解：（1）证明：连接，因为为的中点，所以为的中点，
所以在中，由是中点可得，
因为面，所以面；
（2）连接，由，可得，且，
又因为，所以，且，
因为平面平面，所以平面平面，所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设则，
所以，
设是平面的一个法向量，
则
得，
取，又是平面的法向量，
所以，即，所以，
所以存在点，且
22.解：（1）由题意，点与定点的距离，点到直线的距离，所以，化简得.故曲线的方程为.
（2）由题意可得，直线的方程分别为，设，
.由直线与圆相切可得.
，同理，
所以是方程的两个根，所以，
所以.
因为是曲线上的一动点，
所以，
则有，联立方程，所以，
所以，同理，
所以，
因为，所以，
所以.
