河南省郑州市四禾美术学校2023-2024学年高三上册数学8月月考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x∈Z｜x2－4x＋30}，则 U（A∪B）＝（ ）
A．{1，3} B．{0，3} C．{－2，1} D．{－2，0}
2．已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝（ ）
A．－1－i B．－1＋i C．－＋i D．－－i
3．下列结果正确的是（ ）
A．
B．loga（MN）＝logaM＋logaN
C．
D．(log32＋log92)·(log43＋log83)=
4．下列命题正确的是（ ）
A．已知x∈R，则“x＜－1”是“x2＞1”的必要不充分条件
B．已知命题p： x≥0，ex≥1或sinx＜1，则 p为 x＜0，ex＜1且sinx≥1
C．函数的最小值是4
D．不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为
5．某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中a＝0.12
B．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为50
C．这100名学生成绩的中位数为70
D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
6．已知定义在R上的函数f(x)，给出的下列性质中不正确的是（ ）
A．对，都有则f(x)是R上的增函数.
B．对，都有f(x)+f(-x)＝0，若f(x)的最大值为M最小值为N，则M+N=0.
C．对，都有f(x)=f(2a-x)(a>0)，则f(x)是R上的周期函数.
D．对，都有f(a+x)=f(a-x)，则f(x)的图象关于直线x=a对称.
7．某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数f（x）＝x2－xf'（1），则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 （ ）
A．3x－y－4＝0 B．3x－y＋4＝0 C．3x＋y＋4＝0 D．3x＋y－4＝0
9．第24届冬奥会开幕式于2022年2月4日在北京举行.本届冬奥会开幕式上的“大雪花”融合了中国诗词、中国结和剪纸技艺等中国传统文化元素，很好地将奥林匹克精神和中国人民的友谊传递到世界各个角落，获得了世界人民的普遍赞誉.为弘扬中华优秀传统文化，某艺术中心将举办一次以“雪花”为主题的剪纸比赛.要求参赛选手完成规定作品和创意设计作品各2幅，若选手共有不少于3幅作品入选，则该选手将获得“冰雪之韵”纪念品.某选手完成了规定作品和创意设计作品各6幅，指导教师评定其中规定作品4幅和创意设计作品3幅符合入选标准，现从这12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅，则指导教师预测该选手获得“冰雪之韵”纪念品的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．已知a=log50.2，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知函数若关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．(1，+∞) B．[1，+∞） C．（-∞，1] D．(-∞，1）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.）
13． log381－log98·log23－＝ .
14．（2022高三下·广东月考）的展开式中系数为有理数的各项系数之和为 .
15．已知函数，若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是 ．
16．已知函数f(x)=2x-2-x，则当实数t满足f(lnt)-f(1)>0时t的取值范围为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知二次函数＝ax2＋bx＋c，满足.
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的值域.
18．已知函数且点（4，2）在函数f（x）的图象上.
（1）求函数f（x）的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）＜1的解集.
19．第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施.某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意情况，随机抽取了本市200名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：
满意 情况 年龄 合计
50岁以下 50岁或50岁以上
满意 95
不满意 25
合计 120 200
（1）完成上述列联表，并估计本市5G手机用户对5G网络满意的概率；
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下是否有关.
附：
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
，其中n＝a＋b＋c＋d.
20．已知函数f(x)=ax+b，g(x)=logax，(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数.
（1）若函数f(x)的图像经过点A(0，2)，B(1，3)，求a，b的值；
（2）如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1，0]，求a+b的值.
（3）若a满足不等式22a+1>25a-2，且函数g(2x-1)在区间[1，3]上有最小值-2，求实数a的值.
21．为了监控某一条生产线的生产过程，从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，其中质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率是公比为的等比数列.
（1）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（2）若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望.
22．已知函数(x∈R，e为自然对数的底数).
（1）求的单调区间；
（2）求函数在区间[0，m]上的最大值和最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由解得，因为，所以，则，即.
故答案为：D.
【分析】解一元二次不等式求集合B，再利用集合的并、补运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：化简可得.
故答案为：B.
【分析】根据复数的乘法除法运算法则化简求解即可.
3．【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：A、当 为偶数，并且时，，故A错误；
B、，当时才成立，故B 错误；
C、，故C 错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据指数幂的运算即可判断AC；根据对数的运算性质即可判断BD.
4．【答案】D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：A、由可得，所以是的充分不必要条件，故A 错误；
B、命题 p：的否定为 ，故B错误；
C、因为，所以，根据基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，但，则取不到最小值4，故C错误；
D、不等式化为标准不等式为，解得，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据充分、必要条件判断A；根据含一个量词命题的否定判断B；利用基本不等式判断C；解一元二次不等式判断D.
5．【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A、根据频率分布直方图所有小矩形的面积和为1，可得，解得，故A错误；
B、随机抽取的100名学生中成绩在内的频率为10（0.02+0.032）=0.52，所以该区间的人数为52，故B错误；
C、由频率分布直方图，前两个小矩形的面积为，第三个小矩形的面积为，所以这100名学生成绩的中位数在之间，故C错误；
D、根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，计算a的值即可判断A；再结合频率分布直方图中平均数、中位数的性质逐项判断即可.
6．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、根据增函数的定义，，则函数是上的增函数，故A不符合题意；
B、因为，所以定义域关于原点对称，又，即函数为奇函数，所以函数的最大值和最小值的和，故B不符合题意；
C、由，，则函数的图象关于直线对称，但不是R上的周期函数，故C符合题意；
D、由，，则函数的图象关于直线对称，故D 不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据增函数、奇函数的定义判断AB选项；根据函数的性质判断CD选项.
7．【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：根据题意可知： 共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格 ，答对每题的概率为0.5，符合二项分布，则他能合格的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据二项分布的概率公式直接计算即可.
8．【答案】A
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，令，则，即，所以函数，，所以，所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：A.
【分析】先对函数求导，令计算，从而求得函数，再求导，计算的值，最后写出切线方程即可.
9．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：从12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅，共有种不同的选法；
而选手获得“冰雪之韵”纪念品，共有种不同的选法；
故指导教师预测该选手获得“冰雪之韵”纪念品的概率为.
故答案为：B.
【分析】先分别求从12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅的基本事件个数以及选手获得“冰雪之韵”纪念品的基本事件的个数，最后根据古典概率公式计算即可.
10．【答案】A
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据对数函数的单调性，易知 a=log50.2 <0， b=log0.50.2 >0，而 0
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，找中间值比较大小即可.
11．【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：易知函数的图象过定点，因为直线经过定点，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定点坐标，代入直线中求得，再利用基本不等式求得最小值即可.
12．【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 关于x的方程有且只有一个实根，转化为函数图象与直线只有一个交点，
，当时，函数，则恒成立，所以函数在区间上单调递增；
当时，函数，则恒成立，所以函数在区间上单调递增，又因为，则函数的图象如图所示：
由图可知，函数图象与直线只有一个交点，只需要满足，故实数a的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】问题转化为函数图象与直线只有一个交点，利用导数判断函数的单调性画出函数的图象，根据图象即可求出实数a的取值范围.
13．【答案】0
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：
故答案为：0.
【分析】根据对数的运算，结合对数运算的性质化简求解即可.
14．【答案】117
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为
展开式的通项为
，则当
，
均为整数，即
或6时，展开式中的系数为有理数，故所求系数之和为
.
故答案为：117
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合已知条件即可求出r的取值，再把结果代入到通项公式计算出结果即可。
15．【答案】(-1，4)
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数所以函数在区间上单调递减，在区间上保持不变，若，所以或，解得，即实数x的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先判断函数的单调性，结合列不等式求解即可.
16．【答案】（e，+∞）
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数，定义域为，易知函数是上的增函数，不等式等价于，即，故，所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先判断函数的单调性，不等式转化为，利用函数的单调性解不等式求解即可求得的取值范围.
17．【答案】（1）解：由＝2可得c＝2，
f(x+1)＝a(x+1)^2＋b(x+1)＋c＝ax2＋(2a+b)x＋a＋b＋c，
由，得2ax＋a＋b＝2x－1，
所以解得所以＝x2－2x＋2.
（2）解：由（1）可得＝x2－2x＋2＝(x-1)2+1，
则的图象的对称轴方程为x＝1，＝1.
又＝5，＝2，所以在区间[-1，2]上的值域为[1，5].
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，再根据列出关于的关系式，求解即可得函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式，结合二次函数的性质即可求得函数在区间的值域.
18．【答案】（1）解：∵点(4，2)在函数的图象上，∴＝loga4＝2，∴a＝2.
∴画出函数的图象如图所示.
（2）解：不等式等价于或解得，所以原不等式的解集为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据已知点在函数的图象上代入求得，从而求得函数的解析式，描点画出函数的图象即可；
（2）将原不等式转化为不等式组求解即可.
19．【答案】（1）解：列联表如下：
满意 情况 年龄 合计
50岁以下 50岁或50岁以上
满意 95 55 150
不满意 25 25 50
合计 120 80 200
所以本市5G手机用户对5G网络满意的概率约为.
（2）解：零假设为H0：本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关.
根据列联表中的数据，计算可得2.778＜3.841.
根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验原则，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关.
【知识点】独立性检验
【解析】【分析】（1）根据已知条件，完善列联表，再根据古典概型的概率公式计算本市5G手机用户对5G网络满意的概率即可；
（2）先进行零假设，再计算卡方值，与参考值比较即可判断.
20．【答案】（1）解：∵函数f(x)的图像经过点A(0，2)，B(1，3)，
（2）解：当a>1时，函数f(x)=ax+b在[-1，0]上为增函数，由题意得无解
当0
（3）解：∵22a+1>25a-2，∴2a+1>5a-2，解得a<1，又a>0，∴0
∴当x=3时，y取得最小值-2，即loga5=-2，∴，解得，
故.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象过点A，B，代入即可求a，b的值；
（2）根据指数函数的单调性结合函数的定义域和值域的概念分和两种情况讨论即可；
（3）先根据不等式求得a的取值范围，再由对数函数的单调性求出a的值即可.
21．【答案】（1）解：设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，则在区间[65，75），[55，65）内的频率分别为2x和4x.
依题意，得（0.004＋0.012＋0.019＋0.03）×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.
所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.
（2）解：由（1）得，这些产品质量指标值落在区间[45，75）内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.
从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，
所以X～B（n，p），其中n＝3，p＝0.6.
因为X的所有可能取值为0，1，2，3，
且P（X＝0）＝×0.60×0.43＝0.064，
P（X＝1）＝×0.61×0.42＝0.288，
P（X＝2）＝×0.62×0.41＝0.432，
P（X＝3）＝×0.63×0.40＝0.216.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
根据二项分布期望公式可知，X的数学期望为E（X）＝np＝3×0.6＝1.8.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中，长方形面积为对应区间的概率，概率之和为1，结合质量指标值落在区间内 [55，65），[65，75），[75，85] 的频率为公比为的等比数列，即可求出对应区间的概率；
（2）根据直方图求出位于区间 [45，75） 内的概率为0.6，从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X～B（n，p），写出X的可能取值即可得到分布列，根据二项分布的期望公式可以计算数学期望.
22．【答案】（1）解：，求导得，，
令，即，解得或.
令，即，解得.
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞，-)，(，+∞)，单调递减区间为
(-，).
（2）解：①当0
②当
③当m>2时，因为f(x)在[-，]上递减，f(x)在[，+∞)上递增，且f(m)>0=f(0)，
所以f(x)在[0，m]上的最大值为f(m)=(m2-2m)em，最小值为f()=.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，根据导函数的正负即可求函数的单调区间；
（2）根据（1）中单调区间，分 0
河南省郑州市四禾美术学校2023-2024学年高三上册数学8月月考试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x∈Z｜x2－4x＋30}，则 U（A∪B）＝（ ）
A．{1，3} B．{0，3} C．{－2，1} D．{－2，0}
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由解得，因为，所以，则，即.
故答案为：D.
【分析】解一元二次不等式求集合B，再利用集合的并、补运算求解即可.
2．已知(1－i)2z＝3＋2i，则z＝（ ）
A．－1－i B．－1＋i C．－＋i D．－－i
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：化简可得.
故答案为：B.
【分析】根据复数的乘法除法运算法则化简求解即可.
3．下列结果正确的是（ ）
A．
B．loga（MN）＝logaM＋logaN
C．
D．(log32＋log92)·(log43＋log83)=
【答案】D
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：A、当 为偶数，并且时，，故A错误；
B、，当时才成立，故B 错误；
C、，故C 错误；
D、，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据指数幂的运算即可判断AC；根据对数的运算性质即可判断BD.
4．下列命题正确的是（ ）
A．已知x∈R，则“x＜－1”是“x2＞1”的必要不充分条件
B．已知命题p： x≥0，ex≥1或sinx＜1，则 p为 x＜0，ex＜1且sinx≥1
C．函数的最小值是4
D．不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为
【答案】D
【知识点】命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】解：A、由可得，所以是的充分不必要条件，故A 错误；
B、命题 p：的否定为 ，故B错误；
C、因为，所以，根据基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，但，则取不到最小值4，故C错误；
D、不等式化为标准不等式为，解得，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据充分、必要条件判断A；根据含一个量词命题的否定判断B；利用基本不等式判断C；解一元二次不等式判断D.
5．某校为了解学生体能素质，随机抽取了100名学生进行体能测试，并将这100名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中正确的是（ ）
A．图中a＝0.12
B．这100名学生中成绩在[50，70）内的人数为50
C．这100名学生成绩的中位数为70
D．这100名学生的平均成绩为68.2（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
【答案】D
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：A、根据频率分布直方图所有小矩形的面积和为1，可得，解得，故A错误；
B、随机抽取的100名学生中成绩在内的频率为10（0.02+0.032）=0.52，所以该区间的人数为52，故B错误；
C、由频率分布直方图，前两个小矩形的面积为，第三个小矩形的面积为，所以这100名学生成绩的中位数在之间，故C错误；
D、根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1，计算a的值即可判断A；再结合频率分布直方图中平均数、中位数的性质逐项判断即可.
6．已知定义在R上的函数f(x)，给出的下列性质中不正确的是（ ）
A．对，都有则f(x)是R上的增函数.
B．对，都有f(x)+f(-x)＝0，若f(x)的最大值为M最小值为N，则M+N=0.
C．对，都有f(x)=f(2a-x)(a>0)，则f(x)是R上的周期函数.
D．对，都有f(a+x)=f(a-x)，则f(x)的图象关于直线x=a对称.
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A、根据增函数的定义，，则函数是上的增函数，故A不符合题意；
B、因为，所以定义域关于原点对称，又，即函数为奇函数，所以函数的最大值和最小值的和，故B不符合题意；
C、由，，则函数的图象关于直线对称，但不是R上的周期函数，故C符合题意；
D、由，，则函数的图象关于直线对称，故D 不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据增函数、奇函数的定义判断AB选项；根据函数的性质判断CD选项.
7．某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格.若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二项分布
【解析】【解答】解：根据题意可知： 共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格 ，答对每题的概率为0.5，符合二项分布，则他能合格的概率为.
故答案为：A.
【分析】根据二项分布的概率公式直接计算即可.
8．已知函数f（x）＝x2－xf'（1），则曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为 （ ）
A．3x－y－4＝0 B．3x－y＋4＝0 C．3x＋y＋4＝0 D．3x＋y－4＝0
【答案】A
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，所以，令，则，即，所以函数，，所以，所以曲线在点处的切线方程为.
故答案为：A.
【分析】先对函数求导，令计算，从而求得函数，再求导，计算的值，最后写出切线方程即可.
9．第24届冬奥会开幕式于2022年2月4日在北京举行.本届冬奥会开幕式上的“大雪花”融合了中国诗词、中国结和剪纸技艺等中国传统文化元素，很好地将奥林匹克精神和中国人民的友谊传递到世界各个角落，获得了世界人民的普遍赞誉.为弘扬中华优秀传统文化，某艺术中心将举办一次以“雪花”为主题的剪纸比赛.要求参赛选手完成规定作品和创意设计作品各2幅，若选手共有不少于3幅作品入选，则该选手将获得“冰雪之韵”纪念品.某选手完成了规定作品和创意设计作品各6幅，指导教师评定其中规定作品4幅和创意设计作品3幅符合入选标准，现从这12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅，则指导教师预测该选手获得“冰雪之韵”纪念品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合及组合数公式
【解析】【解答】解：从12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅，共有种不同的选法；
而选手获得“冰雪之韵”纪念品，共有种不同的选法；
故指导教师预测该选手获得“冰雪之韵”纪念品的概率为.
故答案为：B.
【分析】先分别求从12幅作品中随机抽取规定作品和创意设计作品各2幅的基本事件个数以及选手获得“冰雪之韵”纪念品的基本事件的个数，最后根据古典概率公式计算即可.
10．已知a=log50.2，b=log0.50.2，c=0.50.2，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a
【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：根据对数函数的单调性，易知 a=log50.2 <0， b=log0.50.2 >0，而 0
【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，找中间值比较大小即可.
11．已知直线经过函数图象过的定点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】对数函数的图象与性质；基本不等式
【解析】【解答】解：易知函数的图象过定点，因为直线经过定点，所以，因为，所以，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为4.
故答案为：C.
【分析】先求函数的定点坐标，代入直线中求得，再利用基本不等式求得最小值即可.
12．已知函数若关于x的方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（ ）
A．(1，+∞) B．[1，+∞） C．（-∞，1] D．(-∞，1）
【答案】D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 关于x的方程有且只有一个实根，转化为函数图象与直线只有一个交点，
，当时，函数，则恒成立，所以函数在区间上单调递增；
当时，函数，则恒成立，所以函数在区间上单调递增，又因为，则函数的图象如图所示：
由图可知，函数图象与直线只有一个交点，只需要满足，故实数a的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】问题转化为函数图象与直线只有一个交点，利用导数判断函数的单调性画出函数的图象，根据图象即可求出实数a的取值范围.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.）
13． log381－log98·log23－＝ .
【答案】0
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：
故答案为：0.
【分析】根据对数的运算，结合对数运算的性质化简求解即可.
14．（2022高三下·广东月考）的展开式中系数为有理数的各项系数之和为 .
【答案】117
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为
展开式的通项为
，则当
，
均为整数，即
或6时，展开式中的系数为有理数，故所求系数之和为
.
故答案为：117
【分析】根据题意由二项展开式的通项公式，结合已知条件即可求出r的取值，再把结果代入到通项公式计算出结果即可。
15．已知函数，若f(x－4)>f(2x－3)，则实数x的取值范围是 ．
【答案】(-1，4)
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数所以函数在区间上单调递减，在区间上保持不变，若，所以或，解得，即实数x的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先判断函数的单调性，结合列不等式求解即可.
16．已知函数f(x)=2x-2-x，则当实数t满足f(lnt)-f(1)>0时t的取值范围为 .
【答案】（e，+∞）
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数，定义域为，易知函数是上的增函数，不等式等价于，即，故，所以的取值范围为.
故答案为：.
【分析】先判断函数的单调性，不等式转化为，利用函数的单调性解不等式求解即可求得的取值范围.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知二次函数＝ax2＋bx＋c，满足.
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的值域.
【答案】（1）解：由＝2可得c＝2，
f(x+1)＝a(x+1)^2＋b(x+1)＋c＝ax2＋(2a+b)x＋a＋b＋c，
由，得2ax＋a＋b＝2x－1，
所以解得所以＝x2－2x＋2.
（2）解：由（1）可得＝x2－2x＋2＝(x-1)2+1，
则的图象的对称轴方程为x＝1，＝1.
又＝5，＝2，所以在区间[-1，2]上的值域为[1，5].
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法
【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，再根据列出关于的关系式，求解即可得函数的解析式；
（2）根据（1）的解析式，结合二次函数的性质即可求得函数在区间的值域.
18．已知函数且点（4，2）在函数f（x）的图象上.
（1）求函数f（x）的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数f（x）的图象；
（2）求不等式f（x）＜1的解集.
【答案】（1）解：∵点(4，2)在函数的图象上，∴＝loga4＝2，∴a＝2.
∴画出函数的图象如图所示.
（2）解：不等式等价于或解得，所以原不等式的解集为.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）根据已知点在函数的图象上代入求得，从而求得函数的解析式，描点画出函数的图象即可；
（2）将原不等式转化为不等式组求解即可.
19．第五代移动通信技术（简称5G）是最新一代蜂窝移动通信技术，是实现人机物互联的网络基础设施.某市工信部门为了解本市5G手机用户对5G网络的满意情况，随机抽取了本市200名5G手机用户进行了调查，所得情况统计如下：
满意 情况 年龄 合计
50岁以下 50岁或50岁以上
满意 95
不满意 25
合计 120 200
（1）完成上述列联表，并估计本市5G手机用户对5G网络满意的概率；
（2）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下是否有关.
附：
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
，其中n＝a＋b＋c＋d.
【答案】（1）解：列联表如下：
满意 情况 年龄 合计
50岁以下 50岁或50岁以上
满意 95 55 150
不满意 25 25 50
合计 120 80 200
所以本市5G手机用户对5G网络满意的概率约为.
（2）解：零假设为H0：本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关.
根据列联表中的数据，计算可得2.778＜3.841.
根据小概率值α＝0.05的χ2独立性检验原则，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为H0成立，即认为本市5G手机用户对5G网络满意与年龄在50岁以下无关.
【知识点】独立性检验
【解析】【分析】（1）根据已知条件，完善列联表，再根据古典概型的概率公式计算本市5G手机用户对5G网络满意的概率即可；
（2）先进行零假设，再计算卡方值，与参考值比较即可判断.
20．已知函数f(x)=ax+b，g(x)=logax，(a>0，a≠1)，其中a，b均为实数.
（1）若函数f(x)的图像经过点A(0，2)，B(1，3)，求a，b的值；
（2）如果函数f(x)的定义域和值域都是[-1，0]，求a+b的值.
（3）若a满足不等式22a+1>25a-2，且函数g(2x-1)在区间[1，3]上有最小值-2，求实数a的值.
【答案】（1）解：∵函数f(x)的图像经过点A(0，2)，B(1，3)，
（2）解：当a>1时，函数f(x)=ax+b在[-1，0]上为增函数，由题意得无解
当0
（3）解：∵22a+1>25a-2，∴2a+1>5a-2，解得a<1，又a>0，∴0
∴当x=3时，y取得最小值-2，即loga5=-2，∴，解得，
故.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数图象过点A，B，代入即可求a，b的值；
（2）根据指数函数的单调性结合函数的定义域和值域的概念分和两种情况讨论即可；
（3）先根据不等式求得a的取值范围，再由对数函数的单调性求出a的值即可.
21．为了监控某一条生产线的生产过程，从其产品中随机抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，其中质量指标值落在区间[55，65），[65，75），[75，85]内的频率是公比为的等比数列.
（1）求这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率；
（2）若将频率视为概率，从该条生产线的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45，75）内的产品件数为X，求X的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：设这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为x，则在区间[65，75），[55，65）内的频率分别为2x和4x.
依题意，得（0.004＋0.012＋0.019＋0.03）×10＋4x＋2x＋x＝1，解得x＝0.05.
所以这些产品质量指标值落在区间[75，85]内的频率为0.05.
（2）解：由（1）得，这些产品质量指标值落在区间[45，75）内的频率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，将频率视为概率得p＝0.6.
从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，
所以X～B（n，p），其中n＝3，p＝0.6.
因为X的所有可能取值为0，1，2，3，
且P（X＝0）＝×0.60×0.43＝0.064，
P（X＝1）＝×0.61×0.42＝0.288，
P（X＝2）＝×0.62×0.41＝0.432，
P（X＝3）＝×0.63×0.40＝0.216.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P 0.064 0.288 0.432 0.216
根据二项分布期望公式可知，X的数学期望为E（X）＝np＝3×0.6＝1.8.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中，长方形面积为对应区间的概率，概率之和为1，结合质量指标值落在区间内 [55，65），[65，75），[75，85] 的频率为公比为的等比数列，即可求出对应区间的概率；
（2）根据直方图求出位于区间 [45，75） 内的概率为0.6，从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X～B（n，p），写出X的可能取值即可得到分布列，根据二项分布的期望公式可以计算数学期望.
22．已知函数(x∈R，e为自然对数的底数).
（1）求的单调区间；
（2）求函数在区间[0，m]上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：，求导得，，
令，即，解得或.
令，即，解得.
所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞，-)，(，+∞)，单调递减区间为
(-，).
（2）解：①当0
②当
③当m>2时，因为f(x)在[-，]上递减，f(x)在[，+∞)上递增，且f(m)>0=f(0)，
所以f(x)在[0，m]上的最大值为f(m)=(m2-2m)em，最小值为f()=.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，根据导函数的正负即可求函数的单调区间；
（2）根据（1）中单调区间，分 0
