新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练4

新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练4
一、作业1
1．（2023高三下·济南开学考）各项均为正数的数列，其前n项和记为，且满足对，都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．
2．（2023高三下·济南开学考）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
二、作业2
3．（2023高三下·济南开学考）已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）证明：A＝2B；
（2）若a＝3，b＝2，求的面积．
4．（2023高三下·山东开学考）为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1~4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．
月份 1月份 2月份 3月份 4月份
报名人员数/千人 5 7
录用人才数/千人
附：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
（1）求出y关于x的经验回归方程；
（2）假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴
（i）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；
（ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为，．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求的取值范围．
三、作业3
5．（2023高三下·山东开学考）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，数列满足，求的前项和．
6．（2023高三下·山东开学考）在中，，是边上一点，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围．
四、作业4
7．（2023高三下·山东开学考）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
8．（2023高三下·安徽开学考）等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式.
（2）记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列 若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
五、作业5
9．（2020高三上·运城期中）某高档小区有一个池塘，其形状为直角 ， ， 百米， 百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．
（1）若在 内部取一点P，建造APC连廊供居民观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且 ，求连廊 的长；
（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造 连廊供居民观赏，如图②，使得 为正三角形，求 连廊长的最小值．
10．（2023高三下·安徽开学考）2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
（1）假设该疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为%，设这位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将位居民分成组，每组人；
方案二：将位居民分成组，每组人；
试分析哪一个方案的工作量更少？
（参考数据：，）
六、作业6
11．图1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达的位置，且．
（1）求证：平面平面ABED．
（2）在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
12．（2023高三下·安徽开学考）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且．
（1）求和；
（2）若，证明：．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：由已知：对于， ， ，
则
∴，且数列各项均为正数
∴，
，因为，得，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
故.
（2）证明：，，
故
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)结合递推式，可得，进而得，得到数列是首项为1，公差为1的等差数列， 进而可得通项公式；
(2)由，利用放缩法得，利用裂项求和即可求解.
2．【答案】（1）证明：由题意，
取分别为棱的中点， 连接，
则；
∵， 且，
∴， 且，
∴四边形为平行四边形， 故.
∵为棱的中点，
∴；
∵， 平面底面， 平面底面，
∴平面，
∵平面，
∴；
又，且在平面内
∴平面.
∵，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面.
（2）解：由题意及（1）得，
取中点为， 连接，
∵为等边三角形，
∴，
∵平面底面，
∴底面，
过作， 交于点， 则；
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设， 则，
则，
由（1）可知平面 故平面的法向量取，
设平面的法向量为，
由， 解得，
令， 得，
设平面与平面的夹角为，
∴，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取分别为棱的中点， 连接，先证明平面，得， 平面，从而得到平面平面；
（2） 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设， 则， 分别求出平面的法向量，平面的法向量 ，利用向量坐标公式即可求出平面与平面夹角的余弦值.
3．【答案】（1）证明：因为，
所以，即，
，
，
，
，
所以或，，
又，
所以；
（2）解：由(1) ，又a＝3，b＝2，
所以，
由余弦定理可得，
因为，所以，
所以的面积.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理化边为角， 所以，即， 结合余弦定理可得，再化边为角，结合三角恒等变换即可证明；
(2)结合(1)求得，由余弦定理求，再求，利用面积公式即可求解.
4．【答案】（1）解：由题意得，，
所以，
故关于的经验回归方程为．
（2）解：（ⅰ）将代入，得，
所以（万元），
故估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额为1060万元．
（ⅱ）设小王和小李两人中被录用的人数为，则的可能取值为，，，
则，
，
，
所以，
则，解得．
又，所以，则．故的取值范围是．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据所给数据求出 ，，即可求出，，从而求出回归直线方程；
（2） （ⅰ）将代入，得， 即可估计需要发放的生活津贴的总金额；
（ii） 设小王和小李两人中被录用的人数为，则的可能取值为，，， 求出所对应的概率，即可求出数学期望，即可得到且，即可求出的取值范围.
5．【答案】（1）解：数列满足
所以，，解得，
由得，即，
所以，数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，即
所以，的通项公式为
（2）解：因为，，
所以，，，，
所以，，
令，
设数列的前项和为，
因为数列为等差数列，为等比数列，
所以，
因为数列的前项和为与的和，，
所以，.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据递推关系解方程得， 由得，所以数列是等比数列，公比为，首项为， 所以，的通项公式为 ；
（2）由题知， 所以，， 记数列， 设数列的前项和为，数列的前项和为与的和 ，再根据等差数列与等比数列求和公式求解即可.
6．【答案】（1）解：由，，
可得，．
在中，由正弦定理得；
在中，由正弦定理得；
在中，由正弦定理得，
所以．
（2）解：由，得．
设，则，，
所以，，
，则，
故．
设，则．
因为，所以，则．
设，，则．
因为当时，，所以函数在区间上单调递增．
因为，，所以，
故的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；解三角形；正弦定理
【解析】【分析】（1）首先求出 ，，再在、、中分别利用正弦定理计算可得；
（2） 设，则，， 由面积公式表示出，，，即可得到，从而得到， 设，则，设利用导数说明函数的单调性，即可求出的值域，即可得解.
7．【答案】（1）证明：设的中点为，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，
因为在等边三角形中，为的中点，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）解：连接，由（1）知，平面，
因为平面，所以，
因为，，，
所以四边形为矩形，
即，，，所以，
设，， ，，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，
所以，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
则，，
即， ，
取，，则，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 设的中点为，连接， 利用线面垂直的判定定理可得平面 ，进而得到平面，然后根据面面垂直的判定定理即得平面平面 ；
（2）根据题意以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 分别求出平面的法向量，平面的法向量， 利用向量公式，计算求解即可.
8．【答案】（1）解：由题意可知，有两种组合满足条件.
①，此时等差数列中，，公差d=4，
所以数列的通项公式为 .
②，此时等差数列中，，公差d=2，
所以数列的通项公式为.
（2）解：若选择①，，
则 .
若成等比数列，则，
即，整理得，即
此方程无正整数解，故不存在正整数，使成等比数列.
若选择②，，
则.
若成等比数列，则，
即，整理得，
因为k为正整数，所以 .
故存在正整数 ，使得成等比数列.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【分析】（1）根据题意，满足的组合有和两种情况，进而选择一种，求解即可；
（2）结合（1）中的组合，求得，再根据等比中项求解方程即可.
9．【答案】（1）解：因为P是等腰三角形PBC的顶点，且 ，
又 ，所以 ， ，又因为 ，所以 ，
则在三角形PAC中，由余弦定理可得：
，解得 ，
所以连廊 百米；
（2）解：设正三角形DEF的边长为a， ，
则 ， ，且 ，所以 ，
在三角形ADF中，由正弦定理可得：
，即 ，
即 ，化简可得 ，
所以 （其中 为锐角，且 ），
即边长的最小值为 百米，
所以三角形DEF连廊长的最小值为 百米．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)先在三角形PBC中利用已知条件求出PC的长度，再在三角形PAC中利用余弦定理求出PA的长度，即可求解；
(2)线设出等腰三角形的边长以及角CEF，则可求出CF的长度，进而可得AF的长度，再利用角的关系求出角ADF的大小，然后在三角形ADF中利用正弦定理化简出a的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a的最小值，进而可以求解.
10．【答案】（1）解：设事件为 “核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”
由题意可得，
由条件概率公式得：
即
故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为
（2）解：设方案一中每组的检测次数为，则的取值为
所以的分布列为
所以
即方案一检测的总次数的期望为
设方案二中每组的检测次数为，则的取值为
；
所以的分布列为
所以
即方案二检测的总次数的期望为
由，则方案二的工作量更少
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1） 设事件为 “核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病” 利用条件概率公式求解即可；
（2）设方案一和方案二中每组的检测次数为，，分别求出两种方案检测次数的分布列，进而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论.
11．【答案】（1）解：如图所示：
在图1中，连接，交于O，因为四边形是边长为2的菱形，并且，所以，且．
在图 2 中， 相交直线 ，均与 垂直， 所以 是二面角 的平面角， 因为 ， 所以 ，，所以平面 平面 ；
（2）解：由 （1） 知， 分别以，， 为 x，y，z 轴建立如图 2 所示的空间直角坐标系， 则 ，，，，， ，，，，.
设 ，，
则 .
设平面 的法向量为 ，
则， 即 ， 取 ，
因为点 到平面 的距离为 ，
所以 ， 解得 ，
则 ， 所以 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)在图1中连接AC，交BE于O，由题意知AC⊥BE，且 ，再在图2中由 是二面角 的平面角，根据勾股定理得 ，证明出平面 平面 ；
(2) 分别以，， 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标， 利用向量法求出直线 与平面 所成角的正弦值 .
12．【答案】（1）解：因为，，
当时，则，解得或（舍去）；
当时，，
则，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
因此，且，则，
当时，，且符合上式．
故，．
（2）证明：记为数列的前n项和，
当时，则；
当时，；
又符合上式，所以．
由（1）可知，可得，，
下证当时，，即证，
因为，
所以得证，
故当时，则得证.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 当时， ，时，根据 和 的关系可得，结合等差数列的通项可得，进而可求；
（2）根据题意分析可知要证原不等式成立，则证当时，，利用二项展开式分析证明即可.
新高考四大基础题（三角+数列+立体几何+概率）一天两题--专练4
一、作业1
1．（2023高三下·济南开学考）各项均为正数的数列，其前n项和记为，且满足对，都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，证明：．
【答案】（1）解：由已知：对于， ， ，
则
∴，且数列各项均为正数
∴，
，因为，得，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
故.
（2）证明：，，
故
，
所以.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】(1)结合递推式，可得，进而得，得到数列是首项为1，公差为1的等差数列， 进而可得通项公式；
(2)由，利用放缩法得，利用裂项求和即可求解.
2．（2023高三下·济南开学考）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，侧面底面，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：由题意，
取分别为棱的中点， 连接，
则；
∵， 且，
∴， 且，
∴四边形为平行四边形， 故.
∵为棱的中点，
∴；
∵， 平面底面， 平面底面，
∴平面，
∵平面，
∴；
又，且在平面内
∴平面.
∵，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面.
（2）解：由题意及（1）得，
取中点为， 连接，
∵为等边三角形，
∴，
∵平面底面，
∴底面，
过作， 交于点， 则；
以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
设， 则，
则，
由（1）可知平面 故平面的法向量取，
设平面的法向量为，
由， 解得，
令， 得，
设平面与平面的夹角为，
∴，
∴平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取分别为棱的中点， 连接，先证明平面，得， 平面，从而得到平面平面；
（2） 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设， 则， 分别求出平面的法向量，平面的法向量 ，利用向量坐标公式即可求出平面与平面夹角的余弦值.
二、作业2
3．（2023高三下·济南开学考）已知中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）证明：A＝2B；
（2）若a＝3，b＝2，求的面积．
【答案】（1）证明：因为，
所以，即，
，
，
，
，
所以或，，
又，
所以；
（2）解：由(1) ，又a＝3，b＝2，
所以，
由余弦定理可得，
因为，所以，
所以的面积.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用正弦定理化边为角， 所以，即， 结合余弦定理可得，再化边为角，结合三角恒等变换即可证明；
(2)结合(1)求得，由余弦定理求，再求，利用面积公式即可求解.
4．（2023高三下·山东开学考）为了促进地方经济的快速发展，国家鼓励地方政府实行积极灵活的人才引进政策，被引进的人才，可享受地方的福利待遇，发放高标准的安家补贴费和生活津贴．某市政府从本年度的1月份开始进行人才招聘工作，参加报名的人员通过笔试和面试两个环节的审查后，符合一定标准的人员才能被录用．现对该市1~4月份的报名人员数和录用人才数（单位：千人）进行统计，得到如下表格．
月份 1月份 2月份 3月份 4月份
报名人员数/千人 5 7
录用人才数/千人
附：经验回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为
（1）求出y关于x的经验回归方程；
（2）假设该市对被录用的人才每人发放2万元的生活津贴
（i）若该市5月份报名人员数为8000人，试估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额；
（ii）假设在参加报名的人员中，小王和小李两人被录用的概率分别为，．若两人的生活津贴之和的均值不超过3万元，求的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，，
所以，
故关于的经验回归方程为．
（2）解：（ⅰ）将代入，得，
所以（万元），
故估计该市对5月份招聘的人才需要发放的生活津贴的总金额为1060万元．
（ⅱ）设小王和小李两人中被录用的人数为，则的可能取值为，，，
则，
，
，
所以，
则，解得．
又，所以，则．故的取值范围是．
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据所给数据求出 ，，即可求出，，从而求出回归直线方程；
（2） （ⅰ）将代入，得， 即可估计需要发放的生活津贴的总金额；
（ii） 设小王和小李两人中被录用的人数为，则的可能取值为，，， 求出所对应的概率，即可求出数学期望，即可得到且，即可求出的取值范围.
三、作业3
5．（2023高三下·山东开学考）已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若，数列满足，求的前项和．
【答案】（1）解：数列满足
所以，，解得，
由得，即，
所以，数列是等比数列，公比为，首项为，
所以，即
所以，的通项公式为
（2）解：因为，，
所以，，，，
所以，，
令，
设数列的前项和为，
因为数列为等差数列，为等比数列，
所以，
因为数列的前项和为与的和，，
所以，.
【知识点】等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）根据递推关系解方程得， 由得，所以数列是等比数列，公比为，首项为， 所以，的通项公式为 ；
（2）由题知， 所以，， 记数列， 设数列的前项和为，数列的前项和为与的和 ，再根据等差数列与等比数列求和公式求解即可.
6．（2023高三下·山东开学考）在中，，是边上一点，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）解：由，，
可得，．
在中，由正弦定理得；
在中，由正弦定理得；
在中，由正弦定理得，
所以．
（2）解：由，得．
设，则，，
所以，，
，则，
故．
设，则．
因为，所以，则．
设，，则．
因为当时，，所以函数在区间上单调递增．
因为，，所以，
故的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；解三角形；正弦定理
【解析】【分析】（1）首先求出 ，，再在、、中分别利用正弦定理计算可得；
（2） 设，则，， 由面积公式表示出，，，即可得到，从而得到， 设，则，设利用导数说明函数的单调性，即可求出的值域，即可得解.
四、作业4
7．（2023高三下·山东开学考）如图，在四棱锥中，为等边三角形，为的中点，，平面平面．
（1）证明：平面平面；
（2）若，，，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明：设的中点为，连接，
因为为等边三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，平面，
所以平面，又因为平面，
所以，
因为在等边三角形中，为的中点，
所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
（2）解：连接，由（1）知，平面，
因为平面，所以，
因为，，，
所以四边形为矩形，
即，，，所以，
设，， ，，
以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
所以，，，，，，
所以，，，，
设平面和平面的法向量分别为，，
则，，
即， ，
取，，则，，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 设的中点为，连接， 利用线面垂直的判定定理可得平面 ，进而得到平面，然后根据面面垂直的判定定理即得平面平面 ；
（2）根据题意以为原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 分别求出平面的法向量，平面的法向量， 利用向量公式，计算求解即可.
8．（2023高三下·安徽开学考）等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 5 8 2
第二行 4 3 12
第三行 16 6 9
（1）请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式.
（2）记（1）中您选择的的前n项和为Sn，判断是否存在正整数k，使得成等比数列 若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意可知，有两种组合满足条件.
①，此时等差数列中，，公差d=4，
所以数列的通项公式为 .
②，此时等差数列中，，公差d=2，
所以数列的通项公式为.
（2）解：若选择①，，
则 .
若成等比数列，则，
即，整理得，即
此方程无正整数解，故不存在正整数，使成等比数列.
若选择②，，
则.
若成等比数列，则，
即，整理得，
因为k为正整数，所以 .
故存在正整数 ，使得成等比数列.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比关系的确定
【解析】【分析】（1）根据题意，满足的组合有和两种情况，进而选择一种，求解即可；
（2）结合（1）中的组合，求得，再根据等比中项求解方程即可.
五、作业5
9．（2020高三上·运城期中）某高档小区有一个池塘，其形状为直角 ， ， 百米， 百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．
（1）若在 内部取一点P，建造APC连廊供居民观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且 ，求连廊 的长；
（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造 连廊供居民观赏，如图②，使得 为正三角形，求 连廊长的最小值．
【答案】（1）解：因为P是等腰三角形PBC的顶点，且 ，
又 ，所以 ， ，又因为 ，所以 ，
则在三角形PAC中，由余弦定理可得：
，解得 ，
所以连廊 百米；
（2）解：设正三角形DEF的边长为a， ，
则 ， ，且 ，所以 ，
在三角形ADF中，由正弦定理可得：
，即 ，
即 ，化简可得 ，
所以 （其中 为锐角，且 ），
即边长的最小值为 百米，
所以三角形DEF连廊长的最小值为 百米．
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】 (1)先在三角形PBC中利用已知条件求出PC的长度，再在三角形PAC中利用余弦定理求出PA的长度，即可求解；
(2)线设出等腰三角形的边长以及角CEF，则可求出CF的长度，进而可得AF的长度，再利用角的关系求出角ADF的大小，然后在三角形ADF中利用正弦定理化简出a的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a的最小值，进而可以求解.
10．（2023高三下·安徽开学考）2020年席卷全球的新冠肺炎给世界人民带来了巨大的灾难，面对新冠肺炎，早发现、早诊断、早隔离、早治疗是有效防控疾病蔓延的重要举措之一.某社区对位居民是否患有新冠肺炎疾病进行筛查，先到社区医务室进行口拭子核酸检测，检测结果成阳性者，再到医院做进一步检查，已知随机一人其口拭子核酸检测结果成阳性的概率为%，且每个人的口拭子核酸是否呈阳性相互独立.
（1）假设该疾病患病的概率是%，且患病者口拭子核酸呈阳性的概率为%，设这位居民中有一位的口拭子核酸检测呈阳性，求该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率；
（2）根据经验，口拭子核酸检测采用分组检测法可有效减少工作量，具体操作如下：将位居民分成若干组，先取每组居民的口拭子核酸混在一起进行检测，若结果显示阴性，则可断定本组居民没有患病，不必再检测；若结果显示阳性，则说明本组中至少有一位居民患病，需再逐个进行检测，现有两个分组方案：
方案一：将位居民分成组，每组人；
方案二：将位居民分成组，每组人；
试分析哪一个方案的工作量更少？
（参考数据：，）
【答案】（1）解：设事件为 “核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病”
由题意可得，
由条件概率公式得：
即
故该居民可以确诊为新冠肺炎患者的概率为
（2）解：设方案一中每组的检测次数为，则的取值为
所以的分布列为
所以
即方案一检测的总次数的期望为
设方案二中每组的检测次数为，则的取值为
；
所以的分布列为
所以
即方案二检测的总次数的期望为
由，则方案二的工作量更少
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件
【解析】【分析】（1） 设事件为 “核酸检测呈阳性”，事件为“患疾病” 利用条件概率公式求解即可；
（2）设方案一和方案二中每组的检测次数为，，分别求出两种方案检测次数的分布列，进而得出期望，通过比较期望的大小即可得出结论.
六、作业6
11．图1是直角梯形ABCD，，∠D＝90°，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE为折痕将△BCE折起，使点C到达的位置，且．
（1）求证：平面平面ABED．
（2）在棱上是否存在点P，使得点P到平面的距离为？若存在，求出直线EP与平面所成角的正弦值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示：
在图1中，连接，交于O，因为四边形是边长为2的菱形，并且，所以，且．
在图 2 中， 相交直线 ，均与 垂直， 所以 是二面角 的平面角， 因为 ， 所以 ，，所以平面 平面 ；
（2）解：由 （1） 知， 分别以，， 为 x，y，z 轴建立如图 2 所示的空间直角坐标系， 则 ，，，，， ，，，，.
设 ，，
则 .
设平面 的法向量为 ，
则， 即 ， 取 ，
因为点 到平面 的距离为 ，
所以 ， 解得 ，
则 ， 所以 .
设直线 与平面 所成的角为 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】 (1)在图1中连接AC，交BE于O，由题意知AC⊥BE，且 ，再在图2中由 是二面角 的平面角，根据勾股定理得 ，证明出平面 平面 ；
(2) 分别以，， 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标， 利用向量法求出直线 与平面 所成角的正弦值 .
12．（2023高三下·安徽开学考）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且．
（1）求和；
（2）若，证明：．
【答案】（1）解：因为，，
当时，则，解得或（舍去）；
当时，，
则，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
因此，且，则，
当时，，且符合上式．
故，．
（2）证明：记为数列的前n项和，
当时，则；
当时，；
又符合上式，所以．
由（1）可知，可得，，
下证当时，，即证，
因为，
所以得证，
故当时，则得证.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1） 当时， ，时，根据 和 的关系可得，结合等差数列的通项可得，进而可求；
（2）根据题意分析可知要证原不等式成立，则证当时，，利用二项展开式分析证明即可.